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2015年3月28日 (土)

正十二角形の性質は?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

図のように同じ中心を持ち、半径の差が2cmの2つの円の内側にそれぞれ接する2つの正十二角形があります。色のついた部分の面積が2004c㎡のとき、小さいほうの円の半径は何cmですか?

1

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正十二角形の面積は、12個の頂角30゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

2

小さい円の半径を②cmとすると、

黄色い平行四辺形の面積は2cm×①cm=②c㎡

緑の三角形の面積は、2cm×1cm÷2=1c㎡

色部分の合計は(②+1)c㎡

(②+1)×12=2004c㎡ なので、

②=166cm になります。

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