正十二角形の性質は？（２００４年算数オリンピック、ファイナル問題より）

図のように同じ中心を持ち、半径の差が２ｃｍの２つの円の内側にそれぞれ接する２つの正十二角形があります。色のついた部分の面積が２００４ｃ㎡のとき、小さいほうの円の半径は何ｃｍですか？

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正十二角形の面積は、１２個の頂角３０゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

小さい円の半径を②ｃｍとすると、

黄色い平行四辺形の面積は２ｃｍ×①ｃｍ＝②ｃ㎡

緑の三角形の面積は、２ｃｍ×１ｃｍ÷２＝１ｃ㎡

色部分の合計は（②＋１）ｃ㎡

（②＋１）×１２＝２００４ｃ㎡　なので、

②＝１６６ｃｍ　になります。

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