２０１５年（東大寺学園中学）それから何秒後か？

図のような長方形ＡＢＣＤがあります。

点Ｐは頂点Ａを出発して，長方形の周上を時計と逆回りでＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａの順に，

点Ｑは頂点Ａを出発して，長方形の周上を時計回りでＡ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａの順に，

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

２点Ｐ，Ｑが同時に頂点Ａを出発してから５．２秒後に，点Ｐは辺ＢＣ上に，

点Ｑは辺ＤＣ上にあり，三角形ＡＰＱが直角二等辺三角形になりました。

２点Ｐ，Ｑが重なるのはそれから何秒後ですか。

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図のように、△ＡＰＱにおいて角Ｐが直角になる場合、

ＡＰは常にＡＢ＝５ｃｍより長く、ＰＱは常にＢＣ＝４ｃｍより短いので、

ＡＰ＝ＰＱなることはありません。

△ＡＰＱが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Ｑが直角になるときです。

角○＋角□＝９０°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、ＡＤ＝ＱＣ＝４ｃｍ　になるので、

ＤＱ＝ＣＰ＝１ｃｍ、ＰＢ＝３ｃｍ　になります。

Ｐは５＋３＝８ｃｍを５．２秒で進んだので、秒速（８/５．２）ｃｍ

Ｑは４＋１＝５ｃｍを５．２秒で進んだので、秒速（５/５．２）ｃｍ

２点が重なるまでのキョリは４＋１＝５ｃｍ　なので、向かい合う旅人算で考えると、

２点が出会うまで、５÷（８/５．２＋５/５．２）＝２秒　です。

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