100人中5人しか解けなかった難問(2006年算数オリンピック、ファイナルより)
図において、四角形PQRSは長方形ABCDの内側に接していて、AP=4cm、AS=2cm、QC=7cm、RC=3cmで、角SPQ=90度、角QRS=45度です。このとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。
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QからSRに垂線を引き、その交点をTとすると、
△QRTは直角二等辺三角形となり、
直角三角形RQCと、
黄と緑の合同な2つの直角三角形とに囲まれ、
図の長方形EQCFの中にすべて収まります。
aとbの和が7cm、差が3cmより、和差算で、
a=(7-3)÷2=2cm
b=7-2=5cmと求められます。
さらに、直角三角形SRD(紫線)と直角三角形TRF(緑)は、
相似になるので、SD : DR=TF:FR=b:a=5:2となります。
SD=⑤、DR=②とすると、
AB=DC=②+3cmより、
BP=②+3cm-4cm=②-1cm
BC=AD=⑤+2cmより、
BQ=⑤+2cm-7cm=⑤-5cm
ここで、△青と△赤は、角A=角B=90度
角APS=90度ー角QPB=角BQP
これにより、、△青と△赤は相似で、AS:AP=BP:BQ=1:2
消去算で、
⑤-5cm=(②-1cm)×2
⑤-5cm=④-2cm
⑤-3cm=④
①=3cm
これにより,
SD=⑤=3cmx5=15 cm
DR=②=3cmx2=6 cm
AB=DC=6cm+3cm=9 cm
BC=AD=15 cm+2cm=17 cm
BP=9cm-4cm=5cm
BQ=17cm-7cm=10 cm
以上より
四角形PQRS=長方形ABCD-
△青-△赤-△水色-△紫線
=9×17-2×4÷2-10×5÷2-7×3÷2-15×6÷2
=153-4-25-10.5-45=68.5c㎡
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2006のファイナルの答えって80ですか?
投稿: | 2018年2月15日 (木) 17時37分