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2015年3月19日 (木)

100人中5人しか解けなかった難問(2006年算数オリンピック、ファイナルより)

図において、四角形PQRSは長方形ABCDの内側に接していて、AP=4cm、AS=2cm、QC=7cm、RC=3cmで、角SPQ=90度、角QRS=45度です。このとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

1

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QからSRに垂線を引き、その交点をTとすると、

△QRTは直角二等辺三角形となり、

直角三角形RQCと、

黄と緑の合同な2つの直角三角形とに囲まれ、

図の長方形EQCFの中にすべて収まります。

3

aとbの和が7cm、差が3cmより、和差算で、

a=(7-3)÷2=2cm

b=7-2=5cmと求められます。

さらに、直角三角形SRD(紫線)と直角三角形TRF(緑)は、

相似になるので、SD : DR=TF:FR=b:a=5:2となります。

SD=⑤、DR=②とすると、

AB=DC=②+3cmより、

BP=②+3cm-4cm=②-1cm

BC=AD=⑤+2cmより、

BQ=⑤+2cm-7cm=⑤-5cm

ここで、△青と△赤は、角A=角B=90度

角APS=90度ー角QPB=角BQP

これにより、、△青と△赤は相似で、AS:AP=BP:BQ=1:2

消去算で、

⑤-5cm=(②-1cm)×2

⑤-5cm=④-2cm

⑤-3cm=④

①=3cm

これにより,

SD=⑤=3cmx5=15 cm

DR=②=3cmx2=6 cm

AB=DC=6cm+3cm=9 cm

BC=AD=15 cm+2cm=17 cm

BP=9cm-4cm=5cm

BQ=17cm-7cm=10 cm

以上より

四角形PQRS=長方形ABCD-

△青-△赤-△水色-△紫線

=9×17-2×4÷2-10×5÷2-7×3÷2-15×6÷2

=153-4-25-10.5-45=68.5c㎡

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2006のファイナルの答えって80ですか?

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