１００人中５人しか解けなかった難問（２００６年算数オリンピック、ファイナルより）

図において、四角形PQRSは長方形ABCDの内側に接していて、ＡＰ＝４ｃｍ、ＡＳ＝２ｃｍ、ＱＣ＝７ｃｍ、ＲＣ＝３ｃｍで、角SPQ＝90度、角QRS＝45度です。このとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

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ＱからSRに垂線を引き、その交点をＴとすると、

△QRTは直角二等辺三角形となり、

直角三角形RQCと、

黄と緑の合同な２つの直角三角形とに囲まれ、

図の長方形EQCFの中にすべて収まります。

ａとｂの和が７ｃｍ、差が３ｃｍより、和差算で、

ａ＝(７－３)÷２＝２ｃｍ

ｂ＝７－２＝５ｃｍと求められます。

さらに、直角三角形ＳＲＤ（紫線）と直角三角形TRF（緑）は、

相似になるので、ＳＤ ： ＤＲ＝ＴＦ：ＦＲ＝ｂ：ａ＝５：２となります。

ＳＤ＝⑤、ＤＲ＝②とすると、

ＡＢ＝ＤＣ＝②＋３ｃｍより、

ＢＰ＝②＋３ｃｍ－４ｃｍ＝②－１ｃｍ

ＢＣ＝ＡＤ＝⑤＋２ｃｍより、

ＢＱ＝⑤＋２ｃｍ－７ｃｍ＝⑤－５ｃｍ

ここで、△青と△赤は、角Ａ＝角B＝90度

角APS＝90度ー角QPB＝角BQP

これにより、、△青と△赤は相似で、AS：AP＝BP：BQ＝１：２

消去算で、

⑤－５ｃｍ＝（②－１ｃｍ)×２

⑤－５ｃｍ＝④－２ｃｍ

⑤－３ｃｍ＝④

①＝３ｃｍ

これにより，

ＳＤ＝⑤＝３ｃｍｘ５＝１５ ｃｍ

ＤＲ＝②＝３ｃｍｘ２＝６ ｃｍ

ＡＢ＝ＤＣ＝６ｃｍ＋３ｃｍ＝９ ｃｍ

ＢＣ＝ＡＤ＝１５ ｃｍ＋２ｃｍ＝１７ ｃｍ

ＢＰ＝９ｃｍ－４ｃｍ＝５ｃｍ

ＢＱ＝１７ｃｍ－７ｃｍ＝１０ ｃｍ

以上より

四角形PQRS＝長方形ABCD－

△青－△赤－△水色－△紫線

＝9×17－2×4÷2－10×5÷2－7×3÷2－15×6÷2

＝153－4－25－10．5－45＝68.5ｃ㎡

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