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2015年3月15日 (日)

2015年(芝中学)陣地の広さの比は?

A君,B君の2人は,以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は2人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨1枚を投げて,表が出ればA君の勝ち,裏が出ればB君の勝ちとします。

   ただし,硬貨の表裏の出方は,等しいとします。

③勝った方は,負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

(1)2回の勝負をして,A君は1回目は勝ち,2回目は負けました。

   このとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

(2)3回の勝負をしました。

  (ア)A君が3連勝したとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

  (イ)A君は2勝1敗でした。A君の陣地が最大となるとき,

      A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

Smbl148sSmbl152s

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最初A、Bがもっている陣地を1:1とすると、

(1)1回目、Aは3/2 、Bは1/2 になっています。

2回目、Aは3/2×1/2=3/4 になり、2人の合計は常に2なので、

Bは2-3/4=5/4 より、A:B=3:5 です。

(2)

(ア)Bは3連敗なので、1/2×1/2×1/2=1/8

A=2-1/8=15/8 より、A:B=15:1

(イ)Aが2勝1敗になるには、○○×、○×○、×○○の3通り、

○○×→Bは2回目まで、1/2×1/2=1/4なので、Aは7/4

3回目でAは7/4×1/2=7/8になるので、A:B=7:9

○×○→1回目でBは1/2、Aは3/2

2回目でAは3/4、Bは5/4、

3回目でBは5/8、Aは11/8になるので、A:B=11:5

×○○→1回目でAは1/2、Bは3/2 より、

3回目でBは、3/2×1/2×1/2=3/8、Aは13/8になるので、

Aの陣地が最大になるのは、×○○の場合で、A:B=13:3

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