２０１５年（芝中学）陣地の広さの比は？

Ａ君，Ｂ君の２人は，以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は２人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨１枚を投げて，表が出ればＡ君の勝ち，裏が出ればＢ君の勝ちとします。

　　　ただし，硬貨の表裏の出方は，等しいとします。

③勝った方は，負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

（１）２回の勝負をして，Ａ君は１回目は勝ち，２回目は負けました。

　　　このとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

（２）３回の勝負をしました。

　　（ア）Ａ君が３連勝したとき，Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

　　（イ）Ａ君は２勝１敗でした。Ａ君の陣地が最大となるとき，

　　　　　　Ａ君の陣地とＢ君の陣地の広さの比は□：□です。

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最初Ａ、Ｂがもっている陣地を１：１とすると、

（１）１回目、Ａは３/２　、Ｂは１/２　になっています。

２回目、Ａは３/２×１/２＝３/４　になり、２人の合計は常に２なので、

Ｂは２－３/４＝５/４　より、Ａ：Ｂ＝３：５　です。

（２）

（ア）Ｂは３連敗なので、１/２×１/２×１/２＝１/８

Ａ＝２－１/８＝１５/８　より、Ａ：Ｂ＝１５：１

（イ）Ａが２勝１敗になるには、○○×、○×○、×○○の３通り、

○○×→Ｂは２回目まで、１/２×１/２＝１/４なので、Ａは７/４

３回目でＡは７/４×１/２＝７/８になるので、Ａ：Ｂ＝７：９

○×○→１回目でＢは１/２、Ａは３/２

２回目でＡは３/４、Ｂは５/４、

３回目でＢは５/８、Ａは１１/８になるので、Ａ：Ｂ＝１１：５

×○○→１回目でＡは１/２、Ｂは３/２　より、

３回目でＢは、３/２×１/２×１/２＝３/８、Ａは１３/８になるので、

Ａの陣地が最大になるのは、×○○の場合で、Ａ：Ｂ＝１３：３

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