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2015年3月14日 (土)

座り方は何通り?(第1回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

A国、B国、C国、D国の4か国、4組の夫妻が、あるパーティーでまるいテーブルを囲んで座ることになりました。ところが、8人はみんなやきもちやきなので、自分の夫が他の国の女性のとなり(あるいは、自分の妻が他の国の男性のとなり)の席にならないように座ることにしました。このような座り方は全部で何通りありますか。A国の夫の席がすでに決まっているものとして答えなさい。また、席順が同じでも、右回りと左回りでは別の座り方とみなします。

Ilm10_ac07003s

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夫を大文字、妻を小文字であらわすと、

まず、同じ国の夫婦をとなり合わせにする座り方は、

たとえば[AabBCcdD]で、

この座り方は3×2×1で6通り、

逆回りも数えるので2倍の12通り、

また、夫婦が離れて4人ずつ向き合う座り方は、

たとえば[ABCDdcba]で、

妻の並び方が決まれば、妻4人をはさむ夫も決まり、

その場合の座り方は4×3×2×1で24通り、

妻4人をはさむ夫以外の夫2人は入れ替われるので、

24×2で48通り、

これは逆回りが合まれており、2倍する必要はないので、

合計、12+48=60で、60通り。

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