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2015年3月29日 (日)

図形の置き方は何通り?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

1cm×2cmの長方形の紙がたくさんあります。
これらを2cm×3cmの長方形の上に、重なることもはみ出すこともすきまを作ることもなくならべると、(例)のように3通りの置き方があります。

1

では、1辺1cmの正方形16個でできた(図1)の図形の上への置き方は何通りありますか。

2

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面積2c㎡ ずつしきつめていくので、

(図2)のように(ア)ABの部分で2つの図形に分かれる場合と、

(イ)ABがつながって3つの図形に分かれる場合(図3)に

分けて考えます。

3

(ア)ABの部分で2つの図形に分かれる場合

向きはちがっていてもどちらも2cm×4cmの長方形なので

しきつめ方は次の5通り

4

一方の5通りそれぞれに対して

もう一方の5通りが考えられるので、

この場合のしきつめ方は、5×5=25通り。

(イ)ABがつながって3つの図形に分かれる場合

(図3)の左の図形のしきつめ方は次の3通り。

5

(図3)の右の図形のしきつめ方は次の2通

6

左の図形の3通りそれぞれに対して

右の図形の2通りが考えられるので、

この場合のしきつめ方は、3×2=6通り

真ん中の図形をたて長に分ける場合を考えると

(ア)の場合と重複してしまうので除きます。

以上から求める答えは、25+6=31通り。

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