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2015年3月

2015年3月31日 (火)

整数Aはいくつ?(筑波大学附属中学 2014年)

2つの整数AとBがあります。AはBよりも大きく、AはBで割れません。

AとBの最大公約数と最小公倍数の和と差を計算したところ、

それぞれ432と408になりました。このとき、整数Aはいくつですか?

Mpsb1101cs

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最大公約数を大、最小公倍数を小とすると、

大+小=432

小-大=408 なので、

大=(432-408)÷2=12・・・・・・最大公約数

小=408+12=420・・・・・・最小公倍数

A、Bとも12の倍数であることがわかります。

420=2×2×3×5×7=12×5×7 なので、

12×5=60 も 12×7=84 も420で割り切れることから、

A=84、B=60 とわかります。

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長さは?面積は?比は?(2015年 学習院中等科)

下の図の平行四辺形ABCDで、MはABの真ん中の点、

EはED=10cmとなる点、FはFC=5cmとなる点です。

また、台形ABFE、EFCDの面積はそれぞれ84c㎡、60c㎡です。

3311

(1)AEの長さは何cmですか。

(2)三角形MFDの面積は何c㎡ですか。

(3)EP:PFは何対何ですか。

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(1)台形EFCDの面積が60c㎡より、

(10+5)×高さ÷2=60 なので、

平行四辺形の高さ=120÷15=8cm

(AE+BF)×8÷2=84 より、

AE+BF=21cm

BF-AE=5cm なので、

AE=(21-5)÷2=8cm

(2)△AMD=18×4÷2=36c㎡

△MBF=13×4÷2=26c㎡

△DFC=5×8÷2=20c㎡

△MFD=18×8-(36+26+20)=62c㎡

(3)DNとCBを延長して、その交点をQとします。

3313

MB:DC=1:2 より、QB:QC=1:2 

したがって、QB=BC=18cm

△EPDと△FPQは相似なので、

QF:ED=(36-5):10=31:10

EP:PF=10:31

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2015年3月30日 (月)

ジュニアではちょっと難しいのでは?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

7けたの整数2004□□□は2,3,4,5,6,7,8すべての倍数です。□□□に入る3けたの整数を求めなさい。

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この7けたの整数を2004ABCとします。

8の倍数であれば2,4の倍数でもあり,

2,3の倍数であれば6の倍数なので,

3,5,7,8の倍数であれば2~8までのすべての倍数です。

この整数が5と8の公倍数であることから、C=0ときまります。

4の倍数×10=4の倍数×2×5=8の倍数×5より、

3けたの整数AB0が8の倍数であるためには

2けたの整数ABが4の倍数であればよいことになります。・・・①

さらに2004ABOが3の倍数となるためには、

各位の数の和が3の倍数であればよいので、

2+0+0+4+A+B+0=6+A+Bが3の倍数、つまり、

A+Bが3の倍数であればよいことになります。・・・②

①と②の両方を満足させる2けたの整数ABは、

00,12,24,36,48,60,72,84,96の9通り、

ここまでで,2,3,4,5,6,8の倍数となる条件を

満たしているので、あとは7の倍数になればよいことになります。

2004AB0が7で割り切れるには、

2004ABが7で割り切れればよいので、

まず2004を7で割ると

2004÷7=286あまり2 なので、

これにより、3けたの整数2ABが7の倍数であればよいので、

上の9通りからその条件を満たす2けたのABを探すと

AB=24のときだけが224÷7=32で条件を満たします。

以上から7けたの整数2004□□□の下3けたの□□□は

240になります。

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何台機械を増やした?(2015年 浦和実業学園中学)

同じ機械12台を使い、30日で終わる仕事を始めました。

11日目から同じ性能の機械を増やしたので、全部で25日で仕事が終わりました。

何台機械を増やしたのでしょうか?

Ilm01_ae01005s

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機械1台なら、12倍の日数がかかるので、

全体の仕事量を360、機械1台の1日の仕事量を1とします。

10日間の仕事量は、1×12×10=120 なので、

残りの仕事量は、360-120=240 です。

それを25-10=15日間で終えたので、

機械の台数は、240÷15=16台

増やした機械は、16-12=4台 です。

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2人で買い物に行ける日は?(2015年 東京女学館中学)

さくらさんは3日間働いて1日休み、

さきさんは5日間働いて2日休むようにしています。

2人は共通の休日に買い物にでかけることにしました。

2人とも4月1日から働き始めるとして、

5月に2人で買い物にでかけることかできる日にちをすべて答えなさい。

Ilm03_aa08014s

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さくらさんは、4月は4日が休みで、あとは4の倍数が休みです。

4月最後の休みは28日なので、5月最初の休みは2日です。

以後4日ごとなので、5月の休みは、2、6、10、14、18、22、26、30日、

さきさんは、7日ごとの周期で2日間休みが来るので、

4月は、6、7、13、14、20、21、27、28日なので、

5月は、4、5、11、12、18、19、25、26日が休みです。

したがって、5月の共通の休みは、18日と26日です。

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2015年3月29日 (日)

図形の置き方は何通り?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

1cm×2cmの長方形の紙がたくさんあります。
これらを2cm×3cmの長方形の上に、重なることもはみ出すこともすきまを作ることもなくならべると、(例)のように3通りの置き方があります。

1

では、1辺1cmの正方形16個でできた(図1)の図形の上への置き方は何通りありますか。

2

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面積2c㎡ ずつしきつめていくので、

(図2)のように(ア)ABの部分で2つの図形に分かれる場合と、

(イ)ABがつながって3つの図形に分かれる場合(図3)に

分けて考えます。

3

(ア)ABの部分で2つの図形に分かれる場合

向きはちがっていてもどちらも2cm×4cmの長方形なので

しきつめ方は次の5通り

4

一方の5通りそれぞれに対して

もう一方の5通りが考えられるので、

この場合のしきつめ方は、5×5=25通り。

(イ)ABがつながって3つの図形に分かれる場合

(図3)の左の図形のしきつめ方は次の3通り。

5

(図3)の右の図形のしきつめ方は次の2通

6

左の図形の3通りそれぞれに対して

右の図形の2通りが考えられるので、

この場合のしきつめ方は、3×2=6通り

真ん中の図形をたて長に分ける場合を考えると

(ア)の場合と重複してしまうので除きます。

以上から求める答えは、25+6=31通り。

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最初の食塩水の濃度は?(2015年 聖光学院中学)

ある濃度の食塩水に,水を1秒間に10gの割合で入れていきます。

食塩水の濃度は,水を入れ始めてから5秒後に5%,

それからさらに5秒後に3%になりました。

最初の食塩水の濃度は何%ですか。

Sst055s

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最初の食塩の量を□g、食塩水の重さを△gとすると、

5秒後に、□/(△+50)=0.05

10秒後に、□/(△+100)=0.03 になったので、

0.05×(△+50)=0.03×(△+100)

0.05×△+2.5=0.03×△+3

0.02×△=0.5

△=25g

□=(25+50)×0.05=75×0.05=3.75g

最初の食塩水の濃度は、3.75÷25×100=15%

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切断された個数は?(2015年 市川中学)

図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

3291

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図のように、切断された立方体と、切断されなかった立方体は同数で、

8個です。

Capture_2015_03_29_08_26_47_62

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2015年3月28日 (土)

正十二角形の性質は?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

図のように同じ中心を持ち、半径の差が2cmの2つの円の内側にそれぞれ接する2つの正十二角形があります。色のついた部分の面積が2004c㎡のとき、小さいほうの円の半径は何cmですか?

1

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正十二角形の面積は、12個の頂角30゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

2

小さい円の半径を②cmとすると、

黄色い平行四辺形の面積は2cm×①cm=②c㎡

緑の三角形の面積は、2cm×1cm÷2=1c㎡

色部分の合計は(②+1)c㎡

(②+1)×12=2004c㎡ なので、

②=166cm になります。

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角アは何度?(2015年 頌栄女子学院中学)

下の三角形ABCは、AB=ACの二等辺三角形です。

AD=DE=EF=FB=BCのとき、角アは何度ですか。

32811

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図のように角B、角Cをイとすると、角Aはアになります。

32822

角EDF=角EFD=2×ア

角FEB=角FBE=イ-ア

なので、角ウを考えると、

角ウ=180-2×(イ-ア)=180-(2×ア+イ) なので、

2×(イ-ア)=2×ア+イ

2×イ-2×ア=2×ア+イ

4×ア=イ となり、

△BCFの内角は、ア+2×イ=9×ア=180°なので、

ア=20° です。

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展開図に文字を入れて!(2015年 東洋英和女学院中学)

側面に「おんぷ♪」と書かれた立方体、があります。

図1はその展開図のひとつです。

図2展開図に、残りの文字を正しい向きで記入してください。

図1

3281

図2

3282

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図のようになります。

3283

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2015年3月27日 (金)

長方形の面積は?(2004年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

図の長方形ABCDで、APはPBの5倍、CQはQDの2倍の長さになっています。いま三角形アと三角形イの面積の和、三角形ウと三角形エの面積の和をそれぞれ求めて比べてみると、その差が10c㎡こなりました。長方形ABCDの面積は何c㎡になりますか。

1

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AP=⑩,PB=②,QD=④,CQ=⑧とすると,

2_2

ア-エ=三角形PRS-三角形QRS

   =3×⑩÷2-3×④÷2

   =⑮-⑥

   =⑨

エ=ア-⑨……(1)

ウ-イ=三角形QBT-三角形PBT

   =8×⑧÷2-8×②÷2

   =?-⑧

   =?

ウ=イ+?……(2)

(1)、(2)より

ウ+エ=ア-⑨+イ+?=ア+イ+⑮

⑮=10より、①=2/3

AB=⑫=2/3×12=8cm

長方形ABCD=8×12=96c㎡

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子供たちは何人?(2015年 普連土学園中学)

何人かの子供にガムを一人に8個ずつ配ると49個余り、

14個ずつ配ると最後の一人だけは、いくつか足りませんでした。

そこで、一人に13個ずつ配ると全員に配ることができ、いくつか余りました。

子供の人数を求めなさい。

Ilm03_aa02005s

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最初に8個ずつ配り、

49個のあまりから、13-8=5個ずつ配っていくと、

49÷5=9あまり4で、9人まで13個を配ることができ、さらにあまりがでます。

49個のあまりから、14-8=6個ずつ配っていくと、

49÷6=8あまり1で、8人まで14個を配ることができ、

あと一人は1個配ることができ、9個になるので、

子供の人数は、9人です。

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トーナメントの勝敗は?(2015年 早稲田中学)

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図のトーナメント表はA~Fのチームの勝敗が記録されています。

勝ち進んだ場合は太線(青)になっています。

各チームは結果について次のように言っています。

 A:1試合目で負けてしまったが、もし勝ち進んでいたら3試合勝てば優勝できた。
 B:Aとは戦わなかった。
 C:Dと戦って負けてしまった。
 D:2試合目にBと戦った。
 E:Cとは戦わなかった。
 F:1試合目は勝った。

このとき、トーナメント表の(い)と(か)に入るチームをそれぞれ答えなさい。

3271

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BとDは2試合目で対戦したので、下図の場合を考えると、

3272

Aは(い)か(う)なので、Bと対戦しない(う)に決まりますが、

CはDと対戦できなくなり、矛盾します。

次にBとDを入れ替えて考えると、

3273

Cを(か)にすると、1試合目で勝つFがどこにも入らず矛盾します。

以下のように、(か)をD、(あ)をB、(え)をFにすると矛盾がありません。

3274

したがって、(い)=E、(か)=D です。

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2015年3月26日 (木)

落とす高さは?(2015年 横浜雙葉中学)

落とした高さに対していつも同じ割合で跳ね上がるボールがあります。

4m50cmの高さから落としたところ、1回目に何mか跳ね上がり、

2回目に2m跳ね上がりました。

このボールをある高さから落として、3回目に80cm跳ね上がるためには、

何m何cmの高さから落とせばよいですか。

P326

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跳ね上がる割合を□とすると、

4.5m×□×□=2 なので、

□×□=2/4.5=4/9、

□=2/3 です。

落とす高さを△mとすると、

△×2/3×2/3×2/3=0.8m 

△×8/27=0.8

△=0.8×27/8=2.7m

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小円の面積は?(2015年 立教池袋中学 改題)

図のように、大、中、小の円をかきました。

大と中の半径の差と、中と小の半径の差が等しいとき、

小の円の面積は何c㎡ですか。(円周率は3.14とします)。

326

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大+中=17cm・・・・・・①

大+小=14cm なので、

中-小=17-14=3cm

したがって、大-中=3cm・・・・・・②

①と②より、

中=(17-3)÷2=7cm

小=7-3=4cm

小円の面積=4×4×3.14=50.24c㎡

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2015年3月25日 (水)

面積は何倍?(2015年 東京都市大学付属中学)

下の図のように、正方形の各辺の真ん中の点E、F、G、Hと

4つの頂点A、B、C、Dを結んで内部に小さな正方形を作ります。

この小さい正方形も同じようにして、さらに小さい斜線部分のような正方形を作りました。

このとき、斜線部分の正方形の面積は、もとの正方形ABCDの面積の何倍ですか?

P3251

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図のように黄色の直角三角形は真ん中の正方形の面積と等しくなるので、

真ん中の正方形の面積は、もとの正方形の面積の1/5

P3252

したがって、斜線部分は 1/5×1/5=1/25 倍です。

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等しい面積はどこ?(2015年 中央大学附属中学)

図の長方形ABCDにおいて、斜線部分の(ア)と(イ)の面積が等しいとき、

AEの長さは何cmですか。

325

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ア=イ なので、

△FGCが共通なので、△赤=△黄 になります。

3252

△黄=(8-3)×12÷2=30c㎡=△赤

ED=30×2÷8=7.5cm

AE=12-7.5=4.5cm

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2015年3月24日 (火)

つりあったおもりの位置は?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

1

図1で、(左うでにかかる力)=2×2+4×1=8

(右うでにかかる力)=(1十3)×2=8

となり、つり合っています。また両うでをつりさげているひもには、すべてのおもりの重さの和である(1+2+3+4=10の重量がかかっています。

いま、1kg、2kg、3  kg、・・・9kgのおもりが1個ずつあります。それらを図2のようにつりさげるとすべてつり合いました。それぞれのおもをどこにさげたでしょうか。□の中に1~9の数字を書き入れなさい。ただしこの場合、おのおののうでの目もりは等間隔であり、うでやひもの重さは考えないことにします。

2

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まず、下図のA部分を考えると、

右腕を最小にしても、(1+2)×2+3=9kgなので、

左は最大の9kgになります。

3

次にBの部分を考えると、

(左のおもり)×3=(右のおもり)×2で、

4~8kgでこの条件を満たすには、

4kgx3=6kgx 2 しかありません。

これをもとに、全体を計算すると、

(①十②)×3+10×1=③×2+15×3

つまり、(①+②)×3=③×2+35

この式に残った5、7、8kgをあてはめると、

①、②は7か8kg、③は5kgになります。

4

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2015年(逗子開成中学)42番目までの合計は?

次のように、規則的に数字がならんでいます。

1番目の数字から42番目までの数字をすべて足すといくつになりますか?

1,9,0,3,1,9,0,3,1,9,0,3,1,9,0,3,…

Pce022s

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1、9、0、3の4つのまとまりで考えます。

42÷4=10 あまり 2 なので、

(1+9+3)×10+(1+9)=140

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2015年(洗足学園中学)角アの大きさは?

図のように、直径の比が9:5となる半円が2つあります。

大きい半円の太線の長さと、小さい半円の太線長さが等しいとき、

角アの大きさは何度ですか。

3241

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小さい半円の直径を5とすると、

小さい半円の太線の長さは、5×3.14÷2=2.5×3.14

大きい半円の直径を9とすると、

大きい半円の長さは、9×3.14÷2=4.5×3.14

大きい半円の太線部分は半円の、(2.5×3.14)/(4.5×3.14)=5/9

色部分の扇形の中心角は180×5/9=100°

3242

△黄は二等辺三角形なので、

角ア=(180-100)÷2=40°

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2015年3月23日 (月)

その日は何曜日だったか?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

A君は月曜、火曜、水曜にはうそをつき、その他の曜日は本当のことを言います。Bさんは木曜、金曜、土曜にはうそをつき、その他の曜日は本当のことを言います。ある日に2人はつぎのように言いました。

A君「きのうは、ぼくがうそをつく曜日だった」

Bさん「きのうは、私がうそをつく曜日だったわ」

さて、2人がこのように言った日は何曜日だったでしょうか。

Pfa010s Pfa020s

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Aが本当のことを言うのは、木曜、金曜、土曜、日曜だから、

Aの言ったことが本当だとすると、

言った日は木曜日です。

また、Aがうそをつく日は、月曜、火曜、水曜だから、

Aがうそをついているとすると、

きのうは本当のことを言う曜日となるので、

言ったロは月曜日です。

同様にBについて考えると、

Bが本当のことを言っているとすると、

言った日は日曜日、

Bがうそをついているとすると、

言った日は木曜日です。

このことから、2人が言った日は、

共通している木曜日となります。

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2015年(跡見学園中学)分母が11の分数はいくつ?

2/7より大きく、7/8より小さい、分母が11の分数は全部でいくつありますか?

1

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2/7の分母7を11にすると、分子は11÷7×2=3.14・・・

7/8の分母8を11にすると、分子は11÷8×7=9.625

よって、分子は4、5、6、7、8、9 の6通りが考えられるので、

6個です。

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2015年(渋谷教育学園渋谷中学)Bは何%?

Aの容器には8%の食塩水が300g、Bの容器には□%の食塩水が100g、

Cの容器には12%の食塩水が1COgあります。

Aの食塩水300gにBの食塩水を100g混ぜる予定でしたが、

まちがえてCの食塩水を100g混ぜてしまったので、

予定より1.5%濃くなってしまいました。

Bは何%でしたか?

Sst055s

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てんびん図にすると、AとCの重さの比は3:1なので、

長さの比は逆比になって1:3、

したがって、混ぜた食塩水の濃度は9%です。

323

AとBを混ぜると、9-1.5=7.5%になるはずなので、

てんびん図で表すと、重さの比がA:B=3:1なので、

長さの比が逆比で、1:3になり、

①=0.5%なので、

Bは7.5-0.5×3=6% とわかります。

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2015年3月22日 (日)

2015年(安田学園中学)森の日は何日?

先生と生徒が以下のようにカレンダーについての会話をしています。

先生「今日は,22日月曜日なので,ショートケーキの日ですよ。」

生徒「なぜ,ショートケーキの日なのですか?」

先生「それはカレンダーで見ると,22日の上に必ず15(イチゴ)日があるからですよ。」

生徒「それじゃ,日は周りにある8つの数字をすべて足すと88(葉っぱ)になるから,

    森の日ですね。」

□は何日?

Apa0107s

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カレンダーは、ある日を中心にして、

たて、横、斜め(2つ)の4つの数の和は等しくなります。

周りの数の和が88なので、88÷4=22 で、

たて、横、斜め(2つ)の4つの数の和が22になる日をさがすと、

11日の木曜日が森の日です。

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2015年(広尾学園中学)小さい円の半径は?

下の図のような点Oを中心とする2つの円があり,その半径の差は30cmです。

点Aは内側の円周を,点Bは外側の円周を,

常に点0,A,Bが一直線上にあるように回っています。

点Bは点Aの速さの2.5倍で回っているとき,

内側の円の半径を求めなさい。ただし,円周率は3.14とします。

322

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----------------------------------------------------

内側の円の半径を□cm、Aの動く速さを△cm/秒 としてみます。

A、Bとも1周する時間は同じなので、

(2×□×3.14)/△={2×(□+30)×3.14}/(2.5×△)

2.5×(2×□×3.14)=2×(□+30)×3.14

5×□×3.14=2×□×3.14+60×3.14

3×□×3.14=60×3.14

3×□=60

□=20

内側の円の半径は 20cm です。

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2015年3月21日 (土)

どのカードをとったか?(第4回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

3,4,5,6の4枚のカードがあります。一郎君と花子さんが1枚ずつとりました。一郎君のとったカードの数の2倍と、花子さんのとったカードの数の3倍とをたしあわせると22になりました。2人はどのカードをとったのでしょうか?

1_2

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一郎君は2倍したので偶数になります。

3倍した花子さんの数をたしても22の偶数なので、

花子さんのとったカードは3倍して偶数になる数です。

それは4か6です。

6だとすると、一郎君は、

(22-6×3)÷2=2ですが、2のカードはないので不適当、

花子さんは4のカードをとり、

一郎君は(22-4×3)÷2=5 です。

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2015年(日本女子大学附属中学)正方形の面積は?

底辺が10cm、高さが15cmの二等辺三角形の中に、

正方形がぴったり入っています。

正方形の面積は何c㎡ですか?

P3211

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----------------------------------------------------

底辺と高さの比は10:15=2:3 なので、

△緑の底辺と高さの比も相似なので、2:3になります。

P3212

すると、15cmは③+②=⑤に相当するので、①=3cm になります。

②=6cm なので、

正方形の面積=6×6=36c㎡ です。

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2015年(東邦大学付属東邦中学)色部分の面積は?

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半径6cmの円の中心がOで、×印の角度が15度のとき、

黄色部分(①)と緑部分(②)の面積はそれぞれ何c㎡ですか。

3211

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----------------------------------------------------

黄色部分は図のように、

中心角30°の扇形と、頂角150°の二等辺三角形に分けられます。

3212

水色部分を2つに分けて、図のように重ねると頂角30°の二等辺三角形になり、3213_2

ABは6cmの半分の3cmですから、

面積は6×3÷2=9c㎡

残る黄色部分の扇形は、

6×6×3.14×30/360=3×3.13=9.42c㎡

①=9+9.42=18.42c㎡

図のように黄色部分は①と同じ面積で、

△赤が直角二等辺三角形になるので、

②部分の面積は、△赤+円の1/4-①で求められます。

3214

6×6÷2+6×6×3.14×1/4-18.42=

18+9×3.14-18.42=

27.84c㎡

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2015年3月20日 (金)

2015年(桐蔭学園中学校男子部 改題)立方体にならないのは?

下の図の中で、組み立てたとき立方体にならないのはどれでしょう?

P320

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エ だけが組み立てても立方体になりません。

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2015年(聖セシリア女子中学)グラフから速さを求める!

家から4km離れた駅へ行きます。家からバス停までは一定の速さで歩き、バス停でバスを5分待って乗りました。バスは一定の速さで走り、途中停車することなく駅に着きました。家を出てから15分後に忘れ物に気がついたお母さんが車で同じ道を通って一定の速さで追いかけたところ、バスより3分早く駅に着きました。下のグラフはその時の様子を表したものです。次の各問いに答えなさい。

320

(1)歩く速さは分速何mですか。

(2)バスの走る速さは時速何kmですか。

(3)お母さんがバスを追いこしたのは、家から何mのところですか。

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----------------------------------------------------

(1)10分で800m歩いたので、分速は 800÷10=80m

(2)23-(10+5)=8分で、4-0.8=3.2km進むので、

分速 3.2÷8=0.4km → 時速 0.4×60=24km

(3)車の速さは、分速 4000m÷(20-15)=800m

最初のバスとの差は800m、

バスに追いつくまでにかかった時間は、800÷(800-400)=2分

2分間に車は、800×2=1600m進むので、家から1600mのところです。

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2015年3月19日 (木)

100人中5人しか解けなかった難問(2006年算数オリンピック、ファイナルより)

図において、四角形PQRSは長方形ABCDの内側に接していて、AP=4cm、AS=2cm、QC=7cm、RC=3cmで、角SPQ=90度、角QRS=45度です。このとき、四角形PQRSの面積を求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

QからSRに垂線を引き、その交点をTとすると、

△QRTは直角二等辺三角形となり、

直角三角形RQCと、

黄と緑の合同な2つの直角三角形とに囲まれ、

図の長方形EQCFの中にすべて収まります。

3

aとbの和が7cm、差が3cmより、和差算で、

a=(7-3)÷2=2cm

b=7-2=5cmと求められます。

さらに、直角三角形SRD(紫線)と直角三角形TRF(緑)は、

相似になるので、SD : DR=TF:FR=b:a=5:2となります。

SD=⑤、DR=②とすると、

AB=DC=②+3cmより、

BP=②+3cm-4cm=②-1cm

BC=AD=⑤+2cmより、

BQ=⑤+2cm-7cm=⑤-5cm

ここで、△青と△赤は、角A=角B=90度

角APS=90度ー角QPB=角BQP

これにより、、△青と△赤は相似で、AS:AP=BP:BQ=1:2

消去算で、

⑤-5cm=(②-1cm)×2

⑤-5cm=④-2cm

⑤-3cm=④

①=3cm

これにより,

SD=⑤=3cmx5=15 cm

DR=②=3cmx2=6 cm

AB=DC=6cm+3cm=9 cm

BC=AD=15 cm+2cm=17 cm

BP=9cm-4cm=5cm

BQ=17cm-7cm=10 cm

以上より

四角形PQRS=長方形ABCD-

△青-△赤-△水色-△紫線

=9×17-2×4÷2-10×5÷2-7×3÷2-15×6÷2

=153-4-25-10.5-45=68.5c㎡

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2015年(立教女学院中学)何本のマッチ棒が必要?

図のように(矢印の方向に)正方形を作っていく場合を考えます。

1辺の長さがマッテ棒1本分の正方形を25個作るには,

何本のマッチ棒が必要ですか。?

P3191

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----------------------------------------------------

図のように、1辺が1の正方形の場合は、1×4=4本

1辺が2の正方形の場合は、2×6=12本

1辺が3の正方形の場合は、3×8=24本

P3192

と、1辺の本数×(1辺の本数×2+2)のように規則的に増えていきます。

1辺が4本では、4×(4×2+2)=40本

25個では1辺に5本使われているので、

5×(5×2+2)=60本になります。

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2015年(早稲田大学高等学院中学部)角アの大きさは何度?

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下の図において,AE=EB,AD=BCのとき,角アの大きさは何度ですか。

ただし,3点A,E,Bと3点C,D,Eはそれぞれ一直線上にあるとします。

3191

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----------------------------------------------------

図のように、△黄を△緑の位置までEを中心に回転させます。

3192

AEはBEに重なり、D’EDは一直線になります。

すると、△D’BCは二等辺三角形になるので、

角D’=角ア=36°です。

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2015年3月18日 (水)

最短時間は何分?(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図の各数字は2つの○の間を移動するときの所要時間(単位:分)を示しています。AからBまで移動するときにかかる最も短い時間を求めなさい。

1_2

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----------------------------------------------------

ある○には1通り、または2通りの行き方があります。

2通りの場合は、

下から来た場合の時間を下に、

左から来た場合の時間を上に書いていきます。

例えば、最初のブロックは図1のようになります。

2

かかった時間の長い方を消していくと、

図2のようになり、

3

29分になります。

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2015年(世田谷学園中学)今から何年後?

現在、父、母、兄、妹の年齢の和は125才です。

父の年齢は兄の年齢の3倍より6歳年上で、

母の年齢は妹の年齢の4倍より1歳年下です。

また、兄は妹より3歳年上です。

兄と妹の年齢の和の3倍が、父と母の年齢の和を初めてこえるのは、

今から何年後ですか。

2202

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----------------------------------------------------

母=妹×4-1

兄=妹+3

父=兄×3+6=(妹+3)×3+6=妹×3+9+6=妹×3+15

父+母+兄+妹=125 なので、

妹×3+15+妹×4-1+妹+3+妹=125

妹×9+17=125

妹×9=108

妹=12

兄=15

母=47

父=51

□年後に、

兄と妹の年齢の和の3倍が、父と母の年齢の和と等しくなると考えると、

(15+□+12+□)×3=51+□+47+□

□×6+81=□×2+98

□×4=17

□=4.25 なので、

初めて超えるのは、5年後です。

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2015年(青山学院中等部)回転した長さは?

図の3つの円A、B、Cはそれぞれ連動して回ります。

円Aが時計回りに60°回転すると、円Bは180°回転しました。

このとき、円Bの半径は何cmですか。

また、円Cは何度回転しましたか。

318

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----------------------------------------------------

円Aの円周が回転した長さは、

6×2×3.14×60/360=2×3.14 cm

円Bの円周も同じだけ回転するので、円Bの半径を□cmとすると、

□×2×3.14×180/360=2×3.14

□×1/2=1

□=2cm

円Cの円周も同じだけ回転するので、円Cの回転した角度を△°とすると、

4.5×2×3.14×△/360=2×3.14

4.5×△/360=1

△=360÷4.5=80°

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2015年3月17日 (火)

点はいくつあるか?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

円周上に点がいくつかならんでいます。これらの点を一つおきに直線でつないでいだところ、すべての点を通って、はじめの点にもどりました。こうしてできた図形のとがった部分の角度(図の黒い部分)の合計は2700度でした。円周上に点はいくつありますか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

一つおきに点を結んでいき、最初の点に戻ったので、

点は奇数個になります。

2_2

図の角度Aの合計は2700゜

角度Bの合計は2周して最初の角度に戻ったのだから、

全部くっつけて考えると、

360゜×2=720゜

つまり、180゜×点の数=2700゜+720゜

点の数=3420゜÷180゜=19個

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この立体の体積は?(2014年 成城学園中学)

下の図は直方休を平らな面でななめに切ってできた立体です。

この立体の体積は何立方cmですか?

P3171

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同じ立体を逆さまにして、上にのせると、もとの直方体になります。

P3172

求める立体の体積=5×6×8÷2=120立方cm

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2015年(吉祥女子中学)Aはいくつ?

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4つの数A、B、C、Dを加えると150になり、

Aに4を加えた数、Bから4を引いた数、Cに4をかけた数、Dを4で割った数は

すべて等しくなります。Aはいくつですか。

Ilm06_bc02006s

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----------------------------------------------------

A+4=B-4=C×4=D÷4 なので、

A+B+C+D=150 を全部Aで表してみましょう。

A+(A+8)+(A+4)/4+4×(A+4)=150

A+A+8+A/4+1+4×A+16=150

6×A+A/4+25=150

6×A+A/4=125

24×A+A=25×5×4

25×A=25×20

A=20

A+

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2015年3月16日 (月)

必ず勝てる戦略は?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

図のようにたて16マス×横2004マスの長方形があり、左上のマスの中にコマ(★)が置いてあります。平大君と大介君が次のルールに従ってゲームをします。

1_3

(ルール)

1.平大君が先手で始め、以後かわるがわるにコマを  動かしていく。

2.1回の順番では、たてまたは横(斜めは不可)に何マスでもコマを動かせ、最低1マスは動かさなければならない。

3.各マスは一度しか通ったり止まったりすることができない。

4.自分の順番にコマを動かせなくなった方が負けになる。

2人とも自分が勝つために最善をつくす場合、どちらか1人の方に必ず勝てる戦略があります。必ず勝てる人は平大君、大介君のどちらか、またその戦略はどんなものか、答えなさい。

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図のような形で、たて横どちらかが1でもう一方が2以上の

長方形を相手に残すようにした人が必ず勝てます。

その手順は

「相手が1マス分動かす→自分が残り全部のマス分動かす」です。

2

ここで、マス目は横がたてより長いので、

先手の平大君が常に横に進めるだけ進めば、

後手の大介君はたて方向にしか進めず、

平大君は次の番でいつも横がたてより長い

長方形の形にマスを残すことができます

(残りのマスが2つの長方形に分断される場合も同様です)。

こうして、長方形のたてと横のマスが交互に少なくなり、

最後のたてが1マスの長方形を平大君が残し、

その後は上の手順のようになって平大君が必ず勝ちます。

このように考えると、

先手は、たてのマスが多い場合はたて方向に、

横のマスが多い場合は横方向に、

進めるだけ進む戦略をくり返していけば

必ず勝てることになります。

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2015年(清泉女学院中学)いくつといくつといくつ?

1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつあります。

同じ数字のカードはありません。

Aさん、Bさん、Cさんの3人がこの9枚のカードから3枚ずつ取ったところ、

Aさんのカードの数字をたすと10に、

Bさんのカードの数字をかけると280になりました。

Cさんの3枚のカードの数字はいくつといくつといくつだったのでしょうか?

Play072s

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Aの10になる組み合わせは、

1+2+7

1+3+6

1+4+5

2+3+5

Bの3つの数をかけると280なので、5が入っています。

280÷5=56 となり、56=7×8

Bは5、7、8

すると、Aは1、3、6 となり、

Cは2、4、9 です。

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2015年(城北中学)長さの比は?

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図のような三角形ABCがあり、ABとDCの交点をFとするとき、

DF:FCをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか。

3161

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図のように、DからBCと平行に線をひき、AEとの交点をGとします。

3162

△赤と△青は相似になり、相似比は7:3

BE:DG=7:3 なので、

DG=5cm×3/7=15/7cm

△黄と△緑も相似になり、相似比は15/7:2=15/7:14/7=15:14

したがって、DF:FC=15:14

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2015年3月15日 (日)

200人に1人の正答率、でも解ける5年生が!(2006年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

四角形ABCDはひし形で、AE=CFとなっている点E、Fはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、AFとBEによって、このひし形はア~エの4つの部分に分けられています。三角形アの面積は四角形ウの面積より155c㎡小さく、三角形イの面積は四角形エの面積より31c㎡小さいことがわかっているとき、三角形アの面積は何c㎡ですか。

2_3

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まず、ウーア=155c㎡より、

(ウ+イ)-(ア十イ)=四角形ABCF-△ABE=155 c㎡

4

BとFを結ぶと、ひし形の性質より、

△赤=△緑となるので、

四角形ABCF-△緑=△黄=155 c㎡

△黄の面積はひし形ABCDの半分なので、

ひし形ABCD=155 c㎡×2=310 c㎡

次に、エーイ=31 c㎡より、

(エ+ア)-(イ+ア)=△AFD-△赤=31c㎡

辺CDの上にCF=FGとなる点Gを取ると、

ひし形の性質より、△赤=△緑=△青線、となるので、

△AFD-△青線=△水色=31c㎡

ここで、△緑+△青線+△水色=△黄=155c㎡なので、

△赤=△緑=△青線=(155c㎡-31c㎡)÷2=62c㎡

△緑=62c㎡、三角形AFD=62c㎡+31c㎡=93c㎡より、

CF:FD=62:93=2:3

CFの長さを2、FDの長さを3とすると、

ひし形ABCDの1辺は5となります。

Eを通りABに平行な線とBEがAFと交わる点を

それぞれH、Iとします。

△AHEと△AFDは相似形で、

HE=FD×(AE/AD)=3×2/5=1.2

△ABIと△HEIも相似で、

EI:BI=HE:AB=1.2:5=6:25

アとイは高さが等しい三角形なので、

ア:イ=6:25

ア=62c㎡×6/(6+25)=12c㎡

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差集め算(慶應義塾中等部)

太郎君はボールペンを買うために、1本25円のつもりで買う予定の本数分のお金を持っていきました。ところが、1本30円に値上がりしていたため、予定より42本少ない本数しか買えませんでした。用意したお金は最も少ない場合でいくらですか?また、最も多い場合でいくらですか?

1_2

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まず、最も多い場合から考えていきます。
予定の本数が1本だったとき、
所持金は25円ですから、30円を1本買うためには5円足りません。
実際は42本分足りなかったので、
30円×42個=1260円足りなかったわけです。

1本・・・5円
?本・・・1260円

1260÷5=252倍

?本=1本×252倍=252本
25円×252本=6300円(多い場合)

次に最も少ない場合を考えます。
仮に41本少ない本数しか買えなかったとします。

1本・・・5円
?本・・・41本×30円=1230円

1230÷5=246倍

?本=1本×246倍=246本
246本×25円=6150円
ただし、このお金は41本少ないときなので、
さらに、25円であと1本買えるようにしなければなりません。
よって、6150円+25円×1本=6175円(少ない場合)

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2015年(高輪中学)もとの2桁の整数は?

2桁の整数があります。

この整数を5倍して9を引くと、

十の位と一の位の数が入れかわった2桁の整数になります。

もとの2桁の整数はいくつですか。

Apf

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十の位の数をA、一の位の数をBとすると、

(10×A+B)×5-9=10×B+A と表せます。

50×A+5×B-9=10×B+A

49×A-9=5×B となるので、

左辺の一の位は0か5になります。

9を引いて0か5になる一の位は9か4なので、

49×Aの一の位は9か4となり、

Aは1か6となります。

A=6のとき、Bは2桁になってしまい不適当、

A=1 となり、B=8 で、

もとの2桁の数は18です。

一の位が9を引いて0か5になる数は9か4です

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2015年(芝中学)陣地の広さの比は?

A君,B君の2人は,以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は2人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨1枚を投げて,表が出ればA君の勝ち,裏が出ればB君の勝ちとします。

   ただし,硬貨の表裏の出方は,等しいとします。

③勝った方は,負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

(1)2回の勝負をして,A君は1回目は勝ち,2回目は負けました。

   このとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

(2)3回の勝負をしました。

  (ア)A君が3連勝したとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

  (イ)A君は2勝1敗でした。A君の陣地が最大となるとき,

      A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

Smbl148sSmbl152s

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最初A、Bがもっている陣地を1:1とすると、

(1)1回目、Aは3/2 、Bは1/2 になっています。

2回目、Aは3/2×1/2=3/4 になり、2人の合計は常に2なので、

Bは2-3/4=5/4 より、A:B=3:5 です。

(2)

(ア)Bは3連敗なので、1/2×1/2×1/2=1/8

A=2-1/8=15/8 より、A:B=15:1

(イ)Aが2勝1敗になるには、○○×、○×○、×○○の3通り、

○○×→Bは2回目まで、1/2×1/2=1/4なので、Aは7/4

3回目でAは7/4×1/2=7/8になるので、A:B=7:9

○×○→1回目でBは1/2、Aは3/2

2回目でAは3/4、Bは5/4、

3回目でBは5/8、Aは11/8になるので、A:B=11:5

×○○→1回目でAは1/2、Bは3/2 より、

3回目でBは、3/2×1/2×1/2=3/8、Aは13/8になるので、

Aの陣地が最大になるのは、×○○の場合で、A:B=13:3

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2015年3月14日 (土)

座り方は何通り?(第1回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

A国、B国、C国、D国の4か国、4組の夫妻が、あるパーティーでまるいテーブルを囲んで座ることになりました。ところが、8人はみんなやきもちやきなので、自分の夫が他の国の女性のとなり(あるいは、自分の妻が他の国の男性のとなり)の席にならないように座ることにしました。このような座り方は全部で何通りありますか。A国の夫の席がすでに決まっているものとして答えなさい。また、席順が同じでも、右回りと左回りでは別の座り方とみなします。

Ilm10_ac07003s

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夫を大文字、妻を小文字であらわすと、

まず、同じ国の夫婦をとなり合わせにする座り方は、

たとえば[AabBCcdD]で、

この座り方は3×2×1で6通り、

逆回りも数えるので2倍の12通り、

また、夫婦が離れて4人ずつ向き合う座り方は、

たとえば[ABCDdcba]で、

妻の並び方が決まれば、妻4人をはさむ夫も決まり、

その場合の座り方は4×3×2×1で24通り、

妻4人をはさむ夫以外の夫2人は入れ替われるので、

24×2で48通り、

これは逆回りが合まれており、2倍する必要はないので、

合計、12+48=60で、60通り。

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2015年(淑徳巣鴨中学)45分を計るlこはどうすれば?

どちらもちょうど1時間で燃え尽きる導火線が2本あります。

この導火線は燃え方に速い部分と遅い部分があり、一定の速さでは燃えません。

この2本の導火線と1個のライターだけを使って、

正確lこ45分を計るlこはどうすればよいですか?

Cocolog_oekaki_2015_03_14_08_59

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最初に図のように火をつけます。

P3141

下の導火線が燃え尽きたとき、1時間の半分の30分が経過しています。

上の導火線も30分燃えています。

そのとき、上の導火線のもう一方に火をつけます。

P3142

上の導火線が燃え尽きたとき、30分の半分の15分が経過しています。

合計、45分が計れます。

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2015年(サレジオ学院中学)角度は?面積は?

図のように,1辺の長さが10cmの正方形ABCDの紙に,

点Bを中心とした半径ABの円の一部をかきます。

さらに,紙を縦と横にそれぞれ半分に折って折り目をつけ,

その折り目と円が交わる点をP,Qとします。

(1)図の角アの大きさを求めなさい。

(2)直線PQと円で囲まれた黄色部分の面積を求めなさい。

ただし,円周率は3.14とします。

314_3

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PからABに垂線をおろし、交点をRとします。

QからBCに垂線をおろし、交点をSとします。

3142

(1)

QS=5cm、BQ=10cmの直角三角形BQSは正三角形の半分なので、

角QBSは30°です。

PR=5cm、BP=10cmの直角三角形BPRは正三角形の半分なので、

角PBRは30°です。

したがって、角ア=90-30-30=30°

△QBCの面積は、10×5÷2=25c㎡

△QBCと△PBQは合同なので、

黄色部分の面積=10×10×3.14×1/12-25=

314/12-300/12=14/12=1と1/6c㎡

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2015年3月13日 (金)

最大の数はいくつ?(2005年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

10個の整数があり,そのうち2個は同じ数です。

このうち1個を除いた9個の整数の和は

82,83,84,85,87,89,90,91,92の9通りでした。

10個の整数のうち最大の整数を求めなさい。

Apf0107s

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10個の整数をA、B、…、Jとすると、

1個を除いた9個の整数の和10通りの合計には、

A~Jが9個ずつ加えられているので、

(A+B+‥・+J)×9

10通りできる9個の整数の和から、

同じ和が1通りはぶかれて9通りとなっているので、

はぶかれた和を□とおくと、

(A+B+・・・+J)×9

=82+83+84+85+87+89+90+91+92+□

ここで、各和を9で割ったあまりを調べると、

82→1、83→2、84→3、85→4、87→6、89→8、90→0、

91→1、92→2

あまりの部分を加えると、

1+2+3+4+6+8+0+1+2=27……9の倍数。

つまり、上の9個の和の合計が9の倍数になっているので、

これに□を加えた10個の和の合計が9の倍数となるには、

□も9の倍数でなくてはなりません。

いま上の9個の中で9の倍数は90のみなので、

□=90、

これにより、10個の整数の和は、

(81×6+90×4+27)÷9=97。

以上から、10個の整数のうち最大の数は、

97 - 82 =15。

10個の整数は5、6、7、7、8、10、12、13、14、15 となります。

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2015年(國學院大學久我山中学)体積の比は?

1辺の長さが1cmの立方休をその1つの面と平行な平面で切り、

2つの直方体A、Bに分けます。

Aの表面積とBの表面積の比が1:2のとき、

Aの体積とBの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表すと何対何ですか?
P313

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Aの横幅を□cmとすると、Bの横幅は(1-□)cm です。

Aの表面積は、(□×4+2)c㎡

Bの表面積は、{(1-□)×4+2}=(6-□×4)c㎡

A:B=1:2=(□×4+2):(6-□×4)

6-□×4=□×8+4

□×12=2

□=1/6・・・・Aの横幅

Bの横幅=1-1/6=5/6

AとBの底面積は同じなので、

体積比は、A:B=1/6:5/6=1:5

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2015年(暁星中学)黄色部分の面積は?

図のように2つの正方形があり、それぞれの4つの頂点は同じ円周上にあります。

△アの面積が1のとき、黄色部分の面積を求めなさい。

313

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図のように、同じ面積の正方形から共通の青八角形を除くと、

残る面積も同じ大きさです。

4つの三角形は合同なので、△アと△赤も合同になります。

3132

△ア+△水色は正方形で面積は 2 より、

対角線×対角線=2×2=4 なので、

黄色部分の面積は 4 です。

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2015年3月12日 (木)

正方形の面積は?(第1回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

図のような正方形ABCDがあります。

EFとGHが直角に交わり、AG=AHのとき、

この正方形の面積は何c㎡になりますか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように対角線ACを引くと、

2

AP=HP=(8+4)÷2=6cm

CQ=FQ=6-4=2cm

AC=6+14+2=22cm

正方形ABCD=22×22÷2=242c㎡

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2015年(神田女学園中学校)この面積は?

斜線部分の面積は何c㎡ですか?

P3121

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P3122

△緑は底辺2cm高さ3cmの三角形なので、

面積=2×3÷2=3c㎡

△黄は底辺2cm高さ6cmの三角形なので、

面積=2×6÷2=6c㎡

斜線部=3+6=9c㎡

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2015年(学習院女子中等科)カード並びの規則性は?

1から順に番号が書いてある1辺が1cmの正方形のカードがあります。

このカードを下の図のように規則的に並べて、大きな正方形をつくります。

このとき,次の問いに答えなさい。

3120

(1)1辺が7cmの正方形の、最も左下の数と最も右上の数はいくつですか。

(2)1辺が20cmの正方形の、最も左下の数と最も右上の数はいくつですか。

(3)14は4cm以上の正方形で現れ、位置は1から見て、1枚右で、2枚下です。

   2015は1辺が何cm以上の正方形で現れますか。

   また、その位置は1から見てどこになりますか。

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1辺を6cmまでカードをならべてみると図のようになります。

312

平方数に注目すると、1辺の長さの平方数が最後のカードの数になり、

奇数の平方数は1から右上に、偶数の平方数は4から左下に並んでいきます。

(1)1辺が7cmの最後の数は、7×7=49 で最も右上、

最も左下は、6×6=36 の次の数で37になります。

(2)1辺20cmは、20×20=400 が最も左下、

19×19=361の次の数、362が最も右上です。

(3)45×45=2025 なので、1辺が45cm以上の正方形に現れます。

1から見て、1、3×3、5×5、7×7、9×9・・・・・45×45 なので、

45÷2=22あまり1より、22枚上にあることがわかります。

また、2025は最も右上で、2025-45+1=1981が最も左上です。

1の真上は、1981~2025の真ん中で、2003になるので、

2015はそれより2015-2003=12枚右です。

2015は、1から見て、12枚右で、22枚上です。

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2015年3月11日 (水)

2015年(慶應義塾湘南藤沢中等部)面積は?

図のように、点Oを中心とする円の中と外に正六角形があります。

色部分の面積が90c㎡のとき、三角形ABCの面積は何c㎡ですか?

P3111

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図のように外側の正六角形を30°回転すると、

黄色部分は6つの合同な二等辺三角形に分かれます。

P3112

△緑はこの△黄の半分なので、

△ABC=90÷6÷2=7.5c㎡

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2015年(栄光学園中学 改題)オセロの駒の規則性は?

オセロの駒(片面が白、もう片面が黒の円形の駒)を10枚、

すべて表が白になるように円状に並べ(図1)、

時計回りに2つ飛ばしで裏返していきます。

例えば、3回裏返すと(図2)のようになります。

311

(1)図1の配置から10回裏返すと、駒の白黒の配置はどのようになりますか。

(2)図1の配置から何回裏返すと再び図1の配置にもどりますか。

(3)図1の配置から2015回裏返すと駒の白黒の配置はどのようになりますか。

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----------------------------------------------------

図のように、10個の駒に番号をつけます。

3111

(1)

1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

●  ○  ○  ●  ○  ○  ●  ○  ○  ●・・・・・・・4回目まで

●  ○  ●  ●  ○  ●  ●  ○  ●  ●・・・・・・・7回目まで

●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●・・・・・・・10回目まで

3112

10回目ではすべて裏返って、全部黒になります。

(2)

全部白にもどるのはあと10回裏返せばいいので、

10+10=20回です。

(3)

20回でもとに戻るので、

2015÷20=100 あまり 15 なので、

全部白の状態から15回目は、

10回目が全部黒なので、そこから5回目で、図のようになります。

3113

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2015年3月10日 (火)

2015年(立教池袋中学)奇数になるのはどれ?

1~9までの数の中で、△を奇数、○を偶数とします。

計算結果が奇数になるのはどれでしょうか?

ア ○×○-○

イ △×○-○

ウ △×△×○

エ △×○+△

オ ○-△-△

カ ○+△×△

Apa0107s

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エ と カ

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2015年(桐朋中学)電車の速さと長さは?

ある電車が長さ240mの鉄橋を渡り始めてから、渡り終わるまでに28秒かかります。

この電車が、同じ速さで長さ1068mの鉄橋を渡り始めてから、

渡り終わるまでに1分40秒かかります。

この電車の速さは毎秒何mですか。また、この電車の長さは何mですか。

Tuka

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----------------------------------------------------

電車の速さを毎秒△m、電車の長さを□mとすると、

240+□=△×28秒・・・・・・①

1068+□=△×100秒・・・・・・②

②-① を考えると

828=△×72

△=11.5m/毎秒

□=11.5×28-240=82m

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2015年3月 9日 (月)

約分できないものは?(浅野中学 2003年)

次のような分数があります。

このうち、約分できないものをすべて足すといくらになるか答えなさい。

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----------------------------------------------------

 18=2×2×3  なので、分子が2の倍数のものと、3の倍数の

ものは、約分できることになります。

 

 1から180までに、2の倍数は、180÷2=90個あります。

3の倍数は180÷3=60個あります。

2と3の両方の倍数(=6の倍数)は、180÷6=30個あるので、

約分できるものは、90+60-30=120個あり、

約分できないものは、180-120=60個あることがわかります。

 

約分できないものの分子は、

1,5,7,11,13,17,19,・・・,167,169,173,175,179

の60個です。この和の求め方としては、

 

方法①

1+5=6、7+11=18、13+17=30、19+23=42・・・

のように、2つずつの和が

6,18,30,42、・・・・354  となって、

12ずつの差で並ぶ30個の整数の和となり、この和は、

(6+354)×30÷2=180×30 となります。 

 

方法②

1+179=180

5+175=180

7+173=180

・・・・・・・・

ということに気づければ、この和は、180が60÷2=30個あり、

180×(60÷2)=180×30 となります。

 

方法①または方法②により、分子の和は180×30で、

分母は18なので、約分できない分数の和は、

180×30÷18=300 と求められます。

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どうしても量れない重さは?(第12回 算数オリンピック、トライアル問題より)

1g、3g、8g、12gの分銅がそれぞれ3個ずつあります。これらの分銅と上皿天秤を使っていろいろな物の重量をはかります。

はかるときは次のルールではかります。

1.分銅は上皿天秤の片方の皿にしか置くことはできない。

2.一度にさらに乗せられる分銅の数は最大3個まで。

さて、このルールで物の重量をはかるとき、どうしてもはかることのできないもっとも軽い重量は何gですか?

ただし、はかる物の重量はすべて整数gです。

Fur014s

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Bandicam_20131004_104401040

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2015年(浅野中学)算数好き?国語好き?

45人のクラスで生徒の好きな科目を調べたところ、

国語が好きな生徒は19人、算数が好きな生徒は28人いました。

このクラスで算数は好きだが国語は好きでない生徒は、

最多で【ア】人、最少で【イ】人います。【ア】、【イ】に当てはまる数を求めなさい。

Hiva0117cs

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

算数が好きな人がすべて国語が好きでなければ、

28人と最多になるのですが、

図のように、28+19=47人になってしまい、クラスの45人を超えてしまうので、

最少2人は重複しています。

3091

したがって、最多の(ア)=28-2=26人 です。

図のように、国語が好きな人はすべて算数が好きな場合が最少で、

28-19=9人 です。

3092

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2015年3月 8日 (日)

仕事算(早稲田中学 2007年 ひと仕事だった問)

ある品物1000個を作る仕事を、AとBの2人が毎日すると42日目に完了します。

同じ仕事をAとCの2人が毎日すると48日目に完了し、

BとCの2人が毎日すると53日目に完了します。

A、B、Cが1日に作る品物の個数はそれぞれ一定であるとして、

次の問いに答えなさい。

(1)AとBは2人で1日に何個の品物を作りますか。

(2)A、B、Cはそれぞれ1日に何個の品物を作りますか。

(3)この仕事をするのに、A、B、Cの3人が同じ日にやり始め、

Aは2日働くと1日休み、BとCは3日働<と1日休むことにしました。

この仕事は何日目に完了しますか。

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----------------------------------------------------

(1)1000÷42=23.80・・・・なので、23+1=24個 です。

(2)AとCは1日に21個、

BとCは1日に19個作るので、

1日にBはCより 24-21=3個 多く作ります。

したがって、(19+3)÷2=11個 → B

24-11=13個 → A

11-3=8個 → C

(3)12日間を1周期と考えると、1周期に275個できます。

1000÷275=3あまり175なので、

あまりの175個ができるのは、4周期の7日目なので、

1000個できるのは、12×3+7=43日目です。

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体積と表面積は?(2015年 富士見中学)

1辺が1cmの立方体を図のように積み上げていきます。

P308


5段の立体に積み上げたとき、

(1)体積は何立方cm?

(2)表面積は何c㎡?

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----------------------------------------------------

(1)体積はブロック数なので、

1+4+9+16+25=55立方cm

(2)前後、左右は同じ面積で、

1+2+3+4+5=15c㎡

上下は5×5=25c㎡

合計、15×4+25×2=110c㎡

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2015年(フェリス女学院中学)面積比は?

図のように、△ABDがあります。

点C、Fはそれぞれ辺BD、AD上の点で△ABCは正三角形です。

点Eは直線ACと直線BFが垂直に交わってできる点です。

△AEFの面積は、△ABEの面積の何倍ですか。

308

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----------------------------------------------------

図のように△ABFは全体の5/13です。

3082

また、△ABEは全体の5/16です。

3081

△AEF=5/13-5/16=(80-65)/208=15/208

△ABE:△AEF=65/208 : 15/208 = 65:15 =13:3

したがって、3/13倍です。

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2015年3月 7日 (土)

私は何才?(第2回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

今年69才になるおばあちゃんがAB才だった年に私のお母さんが生まれました。お母さんがCD才になった年に私が生まれました。私は今年DB才です。さて、DB才とは何才のことでしょうか。
ただし、A、B、C、Dはそれぞれことなる1けたの数字で、たとえば、ABは十の位がA、一の位がBの2けたの整数をあらわしています。

Pfa020s

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----------------------------------------------------

AB+CD+DB=69だから、A+C+Dは6以下、

またA、C、Dはどれも0ではないので、

A、C、Dは(3、2、1)の組み合わせしかありません。

またB+D+Bは繰り上がらず、

B+D+B=2B+D=9なので、Dは奇数、

したがって、Dは3か1になります。

D=3の場合は2B+3=9で、B=3となり、

B=3=Dとなってしまうので、不適当、

D=1の場合は2B+1=9で、B=4て成立するのでえ、

DB=14才

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2015年(大妻中野中学 改題)もえつきるまでにかかった時間は?

1分間で6mmもえる60cmのろうそく A、Bがあります。

ろうそくAとろうそくBに同時に火をつけました。

ところが、途中何分聞か、ろうそくBの火が消えてしまっていたことに気がつきました。

そこで、すぐにろうそくBを別の場所に移し、もえやすい状態で火をつけたところ、

ろうそくAとろうそくBはちょうど同じ時間にもえつきました。

もえやすい状態では、ろうそくBは通常の状態より20%早くもえていたとすると、

ろうそくBが消えていた時間は、

ろうそくBに再び火をつけてからもえつきるまでにかかった時間の何倍ですか?

Cxm520s

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----------------------------------------------------

図のように2本のろうそくの燃える様子をグラフにしてみます。

赤がろうそくBで、消えていた時間が□分、再び燃えていた時間が△分です。

P307

ろうそくAは(□+△)分で○cm燃え、

ろうそくBは△分で○cm燃えたことがわかります。

燃える速さはAが1分間に6mm、Bが6×1.2=7.2mm なので、

6×(□+△)=7.2×△=○cm となるので、

6×□+6×△=7.2×△

6×□=1.2×△

□:△=1.2:6=1:5 より、

消えていた時間は、それから燃えつきるまでにかかった時間の1/5倍です。

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2015年(海城中学)面積比と角度問題から

図のように、点Oを中心とする半径が3cm、6cmの円があります。

黄色部分の面積の和と、緑色部分の面積の和の比が1:2のとき、

角ア、角イ、角ウの大ききの和を求めなさい。

307

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

ア+イ+ウ=□度とすると、

緑部分の面積の和は、

6×6×3.14×□/360-3×3×3.14×□/360

=27×3.14×□/360・・・・・・①

黄色部分の面積の和は、

3×3×3.14×(360-□)/360・・・・・・②

①:②=2:1 より、

27×□ : 9×(360-□)=3×□ : (360-□)=2:1

720-2×□=3×□

720=5×□

□=144

角ア+角イ+角ウ=144度

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2015年3月 6日 (金)

ホームズ君のカード推理(第4回算数オリンピック、エントリー問題より)

「かくされたカードの謎!」

ホームズ君が友達と4人で次のような推理ゲームをしています。

「推理ゲーム」

黒色と白色のカードが10枚ずつあります。どちらの色のカードにも、おもてに0から9までの整数が一字ずつ書かれています。

これらの20枚のカードをよくまぜて、4人に5枚ずつうら返しにしてくばります。次に、4人はそれぞれ自分にくばられたカードを、数字の書かれている面を自分に向けて、カード立てにならべます。

この時、カードは必ず、自分から見て左から右へ順に数が大きくなるようにならべ、同じ数字のカードが2枚ある場合は黒色のカードを白色のカードの左側にならべることにします。

このようにしてならべたあと、4人がおたがいに、ほかの人が持っているカードの数字を言いあてるゲームです。図は、4人がルール通りにカードをならべ終わった場面です。

1_2 

ホームズ君には黒の3、5、9のカードと白の0、3のカードがくばられました。さあホームズ君にかわって次のカードのありかをつきとめて下さい。

第1問:白の9のカードはア~ソのどこにありますか。

第2問:黒の1のカードはア~ソのどこにありますか。

第3問:白の5のカードはア~ソのどこにありますか。

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【第1問】

白9のカードは、他のどのカードよりも右側にあるはず、

ホームズ君以外の3人の中で、

白カードが一番右にあるのは右隣の人だけなので、

白9はオ。

【第2問】

黒1のカードは、0以外のカードより必ず左にあるはず、

白0のカードはホームズ君の一番左にあり、

もう1枚の黒0は、他のどんなカードよりも左にあるはずだからカ、

そこで黒1はキと分かります。

【第3問】

ここまでに分かったカードのならび方は下のようになります。

2

黒2より左にある白カードは0か1、

しかし白0はすでに見えているので、

黒2の左にある白カードは1枚以下のはず、

そういう位置にある黒カードはイで、

これが黒2、その左が白1、

白8より右にある黒カードは9だけのはず、

しかし黒9はすでに見えているので、

右側に黒カードがない白カードのエが白8、

白7より右にある黒カードは8か9ですが、

黒9はすでに見えているので、

残っている白カードで、右に黒が1枚以下しかないケが白7、

その右のコが黒8、

3

まだ残っている黒カードの数字は4、6、7だから、

セは4か6のはず、

一方、残っている白カードの数字は2、4、5、6、

したがってスは白5、セが黒6でなければなりません。

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2015年(明治大学付属明治中学)何m後ろからスタートすれば?

A君とB君が300m競走をしたところ、

B君がA君に50mの差をつけて先にゴールしました。

2人はそれぞれ一定の速さで走るとすると、同時にゴールするには、

B君はスタート地点より何m後ろからスタートすればよいですか?

Hasiru

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図のようにB君が300m走る時間に、A君は250m走ります。

P306

速さの比は、B:A=300:250=6:5 なので、

A君が残り50mを走る時間にB君は、50×6/5=60m走ります。

つまり、A君が300m走る時間でB君は360m走るので、

同時にゴールするには、スタートより60m後ろです。

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2015年(豊島岡女子学園中学)四角形の面積は?

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図のように、1辺の長さが3cmの正方形ABCDがあります。

点E、F、G、Hは正方形の各辺を3等分する点です。

直線EGと直線AB、CDが交わる点をそれぞれP、Rとし,、

直線FHと直籐BC、ADが交わる点をそれぞれQ、Sとします。

このとき、四角形PQRSの面積は何c㎡ですか。

306

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直角三角形AFSと直角三角形DHSは相似で、

AF:DH=2/3:1/3=2:1より、相似比は2:1なので、

AS:DS=2:1 より、AD=DS=3cm

同様に、AF=BQ=CR=DS=3cm

△FASの面積=6×3÷2=9c㎡なので、

四角形PQRSの面積=9×5=45c㎡

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2015年3月 5日 (木)

仕事算+つるかめ算(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

ある仕事を完成させるのに、甲1人では10日かかり、乙1人では15日かかります。この什事を甲、乙2人で共同して始めましたが途中で乙が病気になり何日か休んでしまったため、完成させるのに全部で8日かかりました。途中で乙が休んだのは何日ですか。

Clli050s

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全体の仕事量を10と15の最小公倍数30とします。

甲は1日当たり30÷10=3の仕事量

乙は1日当たり30÷15=2の仕事量

2人ですると1日あたり3+2=5の仕事量です。

1_2

2人で8日間なら5×8=40の仕事量なので、

黄部分は40-30=10

黄のたては5-3=2

横は10÷2=5

甲だけで5日間働いたことになるので、

乙が休んだのは5日間です。

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最大のあまりはいくつ?(本郷中学 2015年)

59,83,119のそれぞれを同じ整数で割ると,

あまりがすべて等しくなりました。

あまりとして考えられるものの中で最大のものはいくつですか。

Hpsd1201cs

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下の図からわかることは、

それぞれの数の差が、割った数の倍数になっていることです。

P3051

割る数が大きいほど、あまりも大きくなる可能性があります。

119-83=36

119-59=60

83-59=24

以上の差に共通する約数で最大のものは12です。

119÷12=9あまり11

83÷12=6あまり11

59÷12=4あまり11

最大のあまりは11です。

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2015年(早稲田実業学校中等部)面積比は?

図のように、平行四辺形の中に4つの四角形ア、イ、ウ、エがあります。

この4つの四角形のうち、面積がもっとも大きい四角形の面積は

3番目に大きい四角形の面積の何倍ですか。

3051

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図のように、△赤と△緑は相似で、相似比は2:1なので、

△緑の中央の底辺は1cmになります。

3052

四角形ア、イ、ウ、エ はすべて高さが等しい台形なので、

面積は、

ア=(6+5)×高さ÷2=11×高さ÷2

イ=(6+7)×高さ÷2=13×高さ÷2

ウ=(4+5)×高さ÷2=9×高さ÷2

エ=(8+7)×高さ÷2=15×高さ÷2

一番大きいエは、3番目に大きいアの

15÷11=15/11=1と4/11倍

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2015年3月 4日 (水)

2015年(西大和学園中学 改題)最大で何個、最小で何個?

下の図の49個の○の部分を塗り分けます。

ただし、直線でつながった○どうし〔○-○〕は異なる色を塗るものとします。

赤色と青色の二色で塗り分けるとき、

赤色は最大で何個、最小で何個の○を塗ることになりますか?

P3041

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下の図の赤で塗った場合が最大で、25個

青で塗った場合が最小で、24個 です。

P3042

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2015年(東大寺学園中学)それから何秒後か?

図のような長方形ABCDがあります。

点Pは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計と逆回りでA→B→C→D→Aの順に,

点Qは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計回りでA→D→C→B→Aの順に,

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

2点P,Qが同時に頂点Aを出発してから5.2秒後に,点Pは辺BC上に,

点Qは辺DC上にあり,三角形APQが直角二等辺三角形になりました。

2点P,Qが重なるのはそれから何秒後ですか。
3041

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図のように、△APQにおいて角Pが直角になる場合、

APは常にAB=5cmより長く、PQは常にBC=4cmより短いので、

AP=PQなることはありません。

3042

△APQが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Qが直角になるときです。

3043

角○+角□=90°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、AD=QC=4cm になるので、

DQ=CP=1cm、PB=3cm になります。

Pは5+3=8cmを5.2秒で進んだので、秒速(8/5.2)cm

Qは4+1=5cmを5.2秒で進んだので、秒速(5/5.2)cm

2点が重なるまでのキョリは4+1=5cm なので、向かい合う旅人算で考えると、

2点が出会うまで、5÷(8/5.2+5/5.2)=2秒 です。

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2015年3月 3日 (火)

ナイトは最後にどこへいったか?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

平ちゃんは、次のようなゲームをしています。

1.図1のように、たて5ます、横5ますの盤を用意し、右下のますにナイトの駒をのせ、残りのますに歩兵の駒を24個のせる。

2.ここから出発して、歩兵を取りながらナイトを進める。

1

3.ナイトは、図2のように、8つの方向のいずれかに進んで歩兵を取ることができる。

平ちゃんは、24回ナイトを進めることによって、すべての歩兵を取ることができました(つまり、ナイトは同じますに2回進むことはありませんでした)。
このとき、ナイトをそれぞれの方向に何回進めたかを示したものが図3です。ただし、□に入る数字はわかっていません。

さて、ナイトは、最後にどのますに移動したのでしょうか。解答用紙の盤の中に、○印をつけて答えなさい。また、どのように考えて答えを出しましたか。図などを使って、わかりやすく説明しなさい。

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まず、図1の3つの角がすべてゴールではないと仮定します。

2

問題文の図3で[左へ1ます・下へ2ます]には進んでいないので、

3つの角を通過するには図IIの矢印の進み方しかないが、

これでは同じますを通ることになります。

したがって仮定は成り立たず、

3つの角のどれかが、ゴールということになります。……①

3 

次に進み方が決まっているなら、どのような順序で進めても

結局同じ場所に行きつくので、

回数がわかっている分だけ進めてみます。

[右へ1ます・上へ2ます]×4

+[右へ2ます・上へ1ます]×2

+[左へ2ます・下へ1ます]×6

=[右へ8ます・上へ10ます]

+[左へ12ます・下へ6ます]

=[左へ4ます・上へ4ます]

つまり左上の角に行きつきます。

4

ここがゴールでないと仮定すると、

右上の角か、左下の角になりますが、

ここから回数のわかっていない進み方(図2のA、B、C、D)で

進めるのは、図IIIの斜線部分しかないので、

右上の角と左下の角には行き着けません。

したがって、左上の角に決まります。

5

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カードの組み合わせは何通り?(女子美術大学付属中学 2014年)

1、2、3、4、5、6の6枚のカードの中から2枚を使って2けたの整数をつくるとき、

十の位が一の位の数よりも大きくなるような整数は何通りありますか?

Play072s

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十の位が6のとき、5通り、

十の位が5のとき、4通り、

十の位が4のとき、3通り、

十の位が3のとき、2通り、

十の位が2のとき、1通り、

1+2+3+4+5=15通り

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2015年(淑徳与野中学)正六角形の面積比問題より

下の図の正六角形ABCDEFについて、次の問いに答えなさい。

(1)アの部分の面積は正六角形ABCDEFはの面積の何倍ですか。

(2)イの部分の面積は、アの部分の面積の何倍ですか。

3031

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----------------------------------------------------

3032

(1)ア=緑=黄 なので、

アは正六角形ABCDEFの1/18倍です。

(2)イは青い正六角形は1/3、

アは青い正六角形の1/6なので、

イはアの1/3÷1/6=2倍です。

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2015年3月 2日 (月)

いちばん少ない置き方は?(第4回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

次のようなルールでゲームをします。

[ルール]

●図1の6×6の盤上に、図2のピースをおいていく。

●ピースを裏返したり、回転させたりしておいてもよい。

●ピースは盤からはみだしたり、点線からずらしておいてはいけない。

●ピースをおけるところがあるかぎり、おかなければならない。

●ピースをおけるところがなくなった時点で終了。

1

さて、この遊びがもっともはやく終了したとき(つかったピースの個数が最少のとき)盤上には何個のピースがおかれていますか。

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2

図のように6個です。

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小さい三角形はいくつできる? (湘南白百合学園中学 2009年)

下の図のように、等しい長さのマッチ棒を使って正三角形を作ります。

マッチ棒3本を使ってできる三角形を「小さい正三角形」と呼ぶことにします。

      

(ア)10段目まで完成させると、小さい三角形は何個できますか。

(イ)マッチ棒を2583本使うと、何段目まで完成できますか。

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----------------------------------------------------

(ア)1段目・・・1個 、2段目・・・4個 、3段目・・・9個  のようになっていて、

□段目・・・□×□個  となっています。

よって、10段目まで完成させると、小さい三角形は、

10×10=100個  できます。

 

(イ)1段目・・・3本(3×1)、2段目・・・9本(3×3)、

     3段目・・・18本(3×6)、4段目・・・30本(3×10)、・・・

のように使うマッチ棒の本数は変わっていきます。


ここで、1,3,6,10、・・・という並びは、

 1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、・・・  の並びです。

よって、2583本は、次のように表現できます。

 3×(1+2+3+・・・+□)=2583

□=段数  ともなっています。 

 1+2+3+・・・+□=2583÷3=861 で、

 (1+□)×□÷2=861  なので、

 (1+□)×□=1722 です。

40×40=1600  で、これより少し大きい数だと想像でき、

調べていくと、41×42=1722 なので、□=41段目  です。 

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算数の平均点は?(関西学院中学 2014年)

40人が国語と算数のテストを受けました。

表はその40人の得点と人数の関係を表しています。

例えば,算数の得点が8点で国語の得点が10点の人は7人います。

国語のテストの平均点は7.6点でした。算数のテストの平均点を求めなさい。

302

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----------------------------------------------------

国語の合計点は7.6×40=304点

アとイを除く国語の合計点は、

2×3+4×1+6×5+8×9+10×12=232点

その差は、304-232=72点

アとイを除く人数は、30人

その差は、40-30=10人

図のように、つるかめ算で考えると、

3022_2

黄のたては2点なので、横は 8÷2=4人=イ

ア=10-4=6人  となり、

算数の平均点は、

(2×4+4×3+6×7+8×16+10×10)÷40=7.25点

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2015年3月 1日 (日)

3人の年齢は?(第10回算数オリンピック、トライアル問題より)

けんじ、ひろみ、かずやの3人が、3人の年れいについてそれぞれ下のように、3つずつ発言しています。ただし、3人のそれぞれ3つの発言のうち、1つだけはまちがったことを言っています。
3人の年れいを求めなさい。

けんじ

Pfa021s

『ぼくは12歳』『ぼくはひろみより2つ下』『ぼくはかずやより1つ上』

ひろみ

Pfa020s

『私は3人の中で一番年下ではない』『私はかずやとは3歳ちがう』『かずやは15歳』

かずや

Pfa010s

『ぼくはけんじより年下』『けんじは13歳』『ひろみはけんじより3歳上』

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

けんじの「ぼくは12歳」とかずやの「けんじは13歳」では、

もしどちらか1つが正しければ、

もう1つの発言は間違っていることになります。

けんじ

『ぼくは12歳』

かずや

『けんじは13歳』

けんじの発言が○だとすると、

かずやの「けんじは13歳」が×ですから、

かずやの残りの2つの発言は○になり、

そうするとけんじの2番目の発言は×で、

3番目が○となり、

けんじ12歳、ひろみ15歳、かずや11歳となりますが、

けんじ

『ぼくは12歳』

『ぼくはひろみより2つ下』

『ぼくはかずやより1つ上』

かずや

『ぼくはけんじより年下』

『けんじは13歳』

『ひろみはけんじより3歳上』

これはひろみの発言の2番目と3番目が、

ともに×ということになります

ひろみ

『私は3人の中で一番年下ではない』

『私はかずやとは3歳ちがう』

『かずやは15歳』

これは条件にあいません。
 
つまり、最初のけんじの発言『ぼくは12歳』は×ということになります。

ということは、自動的にけんじの残りの発言は○となります。

けんじ

『ぼくは12歳』

『ぼくはひろみより2つ下』

『ぼくはかずやより1つ上』

次にかずやの『けんじは13才』が○だとすると、

けんじの残りの2つの発言は○と確定していますから、

けんじ13歳、ひろみ15歳、かずや12歳となり、

ひろみの発言のうち3番目が×、

かずやの発言のうち3番目が×で矛盾が生じません。

ひろみ

『私は3人の中で一番年下ではない』

『私はかずやとは3歳ちがう』

『かずやは15歳』

かずや

『ぼくはけんじより年下』

『けんじは13歳』

『ひろみはけんじより3歳上』

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何通りの旗ができる?(上野学園中学 2012年 改題)

P301


図のような旗に、赤、青、黄の3色を使って塗り分けたいと思います。

辺でとなりあったところは同じ色にしないようにします。

使わない色があってもよいとすると、何通りの旗ができますか?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

アを赤にすると、イは青か黄の2通り、

ア、イ、ウ、エ の順に、

赤ー青ー赤ー青

赤ー青ー赤ー黄

赤ー青ー黄ー青

赤ー黄ー赤ー黄

赤ー黄ー赤ー青

赤ー黄ー青ー黄

以上の6通りが考えられます。

アは赤、青、黄の3通り塗ることができるので、

全部で、6×3=18通り になります。

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2015年(駒場東邦中学)面積と長さは?

AB=12cm,AD=21cmの長方形ABCDの辺BC,CD上に点P,QをBP=3cm,CQ=9cmとなるようにとります。

PQを折り目として三角形PCQを折り返して三角形PEQを作りました。

ADとPE,QEとの交点をF,Gとすると,三角形EFGと三角形GQDの面積は等しくなりました。

このとき,次のそれぞれを求めなさい。

①四角形FPQDの面積

②PFの長さ

3011

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△EFGと△GQDは面積が等しく、3つの角度が等しいので、合同な三角形です。

したがって、四角形FPQDの面積は△EPQの面積と等しく、

18×9÷2=81c㎡ です。

PF=18-3=15cm

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