小さい三角形はいくつできる？ （湘南白百合学園中学 2009年）

下の図のように、等しい長さのマッチ棒を使って正三角形を作ります。

マッチ棒３本を使ってできる三角形を「小さい正三角形」と呼ぶことにします。

　　　　　 

（ア）１０段目まで完成させると、小さい三角形は何個できますか。

（イ）マッチ棒を２５８３本使うと、何段目まで完成できますか。

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（ア）１段目・・・１個　、２段目・・・４個　、３段目・・・９個  のようになっていて、

□段目・・・□×□個  となっています。

よって、１０段目まで完成させると、小さい三角形は、

１０×１０＝１００個  できます。

　

（イ）１段目・・・３本（３×１）、２段目・・・９本（３×３）、

　　　  ３段目・・・１８本（３×６）、４段目・・・３０本（３×１０）、・・・

のように使うマッチ棒の本数は変わっていきます。


ここで、１，３，６，１０、・・・という並びは、

　１、１＋２、１＋２＋３、１＋２＋３＋４、・・・  の並びです。

よって、２５８３本は、次のように表現できます。

　３×（１＋２＋３＋・・・＋□）＝２５８３

□＝段数  ともなっています。　

　１＋２＋３＋・・・＋□＝２５８３÷３＝８６１ で、

　（１＋□）×□÷２＝８６１  なので、

　（１＋□）×□＝１７２２ です。

４０×４０＝１６００  で、これより少し大きい数だと想像でき、

調べていくと、４１×４２＝１７２２ なので、□＝４１段目  です。　

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