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2015年3月 2日 (月)

小さい三角形はいくつできる? (湘南白百合学園中学 2009年)

下の図のように、等しい長さのマッチ棒を使って正三角形を作ります。

マッチ棒3本を使ってできる三角形を「小さい正三角形」と呼ぶことにします。

      

(ア)10段目まで完成させると、小さい三角形は何個できますか。

(イ)マッチ棒を2583本使うと、何段目まで完成できますか。

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(ア)1段目・・・1個 、2段目・・・4個 、3段目・・・9個  のようになっていて、

□段目・・・□×□個  となっています。

よって、10段目まで完成させると、小さい三角形は、

10×10=100個  できます。

 

(イ)1段目・・・3本(3×1)、2段目・・・9本(3×3)、

     3段目・・・18本(3×6)、4段目・・・30本(3×10)、・・・

のように使うマッチ棒の本数は変わっていきます。


ここで、1,3,6,10、・・・という並びは、

 1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、・・・  の並びです。

よって、2583本は、次のように表現できます。

 3×(1+2+3+・・・+□)=2583

□=段数  ともなっています。 

 1+2+3+・・・+□=2583÷3=861 で、

 (1+□)×□÷2=861  なので、

 (1+□)×□=1722 です。

40×40=1600  で、これより少し大きい数だと想像でき、

調べていくと、41×42=1722 なので、□=41段目  です。 

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