約分できないものは？（浅野中学 2003年）

次のような分数があります。

このうち、約分できないものをすべて足すといくらになるか答えなさい。

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　１８＝２×２×３  なので、分子が２の倍数のものと、３の倍数の

ものは、約分できることになります。

　

　１から１８０までに、２の倍数は、１８０÷２＝９０個あります。

３の倍数は１８０÷３＝６０個あります。

２と３の両方の倍数（＝６の倍数）は、１８０÷６＝３０個あるので、

約分できるものは、９０＋６０－３０＝１２０個あり、

約分できないものは、１８０－１２０＝６０個あることがわかります。

　

約分できないものの分子は、

１，５，７，１１，１３，１７，１９，・・・，１６７，１６９，１７３，１７５，１７９

の６０個です。この和の求め方としては、

　

方法①

１＋５＝６、７＋１１＝１８、１３＋１７＝３０、１９＋２３＝４２・・・

のように、２つずつの和が

６，１８，３０，４２、・・・・３５４　　となって、

１２ずつの差で並ぶ３０個の整数の和となり、この和は、

（６＋３５４）×３０÷２＝１８０×３０　となります。　

　

方法②

１＋１７９＝１８０

５＋１７５＝１８０

７＋１７３＝１８０

・・・・・・・・

ということに気づければ、この和は、１８０が６０÷２＝３０個あり、

１８０×（６０÷２）＝１８０×３０　となります。

　

方法①または方法②により、分子の和は１８０×３０で、

分母は１８なので、約分できない分数の和は、

１８０×３０÷１８＝３００　と求められます。

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