2015年(開成中学)立体図形問題から
一辺の長さが6cmの立方体があり,その上の面と下の面はどちらも9つの合同な正方形に分かれています。
上の面のそれぞれの正方形の頂点には図のように
あ,い,う‥‥‥,た と名前がついていて,
下の面のそれぞれの正方形の頂点にも図のようにのように
ア,イ,ウ,‥‥‥‥,夕 と名前がついています。
また,点あの真下には点ア,点いの真下には点イ,点うの真下には点ウ‥‥‥‥‥点たの真下lこは点タがあります。
これらの頂点から8つの点あ,い,か,お,サ,シ,タ,ソを選び,図のように結んで立体Aをつくりました。
(1)立体Aの体積を求めなさい。
平行四辺形の面積が(底辺)x(高さ)で求められるように,斜めに傾いた角柱の体積は(底面積)×(高さ)で求められます。
(2)立体Aを,4点い,せ,セ,イを通る平面で切断しました。その切断面の図形を解答用紙にかき,切断面の面積を求めなさい。
(3)8つの点い,せ,そ,う,イ,セ,ソ,ウを結び,直方体をつくりました。この直方体と立体Aの共通部分の体積を求めなさい。
(4)8つの点う,え,く,き,ケ,コ,セ,スを立体Aと同じように結び,立体Bを作りました。立体Aと立体Bの共通剖分の体積を求めなさい。
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(1)
底面積×高さ=2×2×6=24立方cm
(2)
切り口は図のように平行四辺形になります。
高さは立方体の半分なので、
面積=2×3=6c㎡
(3)
図のように、(2)の平行四辺形にはさまれた斜めに傾いた角柱になります。
はさまれた長さが高さになるので、
体積=6×2=12立方cm
(4)
図のように重なる面がひし形の立体になります。
このひし形が角柱の何分のいくつになっているか考えます。
おかきくをすせそたに平行移動してみたのが下図で、
黄色のひし形は色部分の1/4になっています。
角柱の厚みは同じなので、
体積は、24×1/4=6立方cm
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