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2015年2月23日 (月)

2015年(麻布中学)最小公倍数と分数問題より

(1)

○/84=1/□ となる整数の組(○、□)は、

(1、84)と(84、1)を含めて12組あります。残り10組をすべて書きなさい。

(2)

2の整数ア、イの最小公倍数は84であり、

1/ア+1/イ=11/84となります。

整数ア、イを答えなさい。ただし、アはイよりも小さいものとします。

(3)

4つの整数ウ、エ、オ、カの最小公倍数は84であり、

1/ウ+1/エ=1/オ+1/カ となります。

また、ウとエは3の倍数で、オと力は3の倍数ではありません。

整数ウ、エ、オ、力の組を2組答えなさい。

ただし、ウはエよりも小さく、オはカよりも小さいものとします。

Ilm06_ca07058s

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(1)

○×□=84なので、2つの数をかけて84になる組を考えます。

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 なので、

1-84 以外の(2、42)(3、28)(4,21)(6,14)(7、12)

(42、2)(28、3)(21、4)(14、6)(12、7) の10組です。

(2)

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12

この12個の数はすべて84の約数なので、

右側の数が分母の場合、左側の数は分母を84にしたときの分子になります。

2数をたして11になる組み合わせを探すと、

4+7=11 で、7/84+4/84=11/84

1/12+1/21=11/84

ア=12、イ=21 となります。

(3)

1/ウ+1/エ=1/オ+1/カ より、84で通分すると、

分子どうしが等しくなります。

12数のうち、3の倍数どうしの組み合わせを考え、

84で通分したときの分子の和を調べます。

3-6 →42

3-12 →35

3-21 →32

3-42 →30

3-84 →29

6-12 →21

6-21 →18

6-42 →16

6-84 →15

12-21 →11

12-42 →9

12-84 →8

21-42 →6

21-84 →5

42-84 →3

たとえば、1/6+1/84 なら分子の和は15なので、

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 より、

1/7+1/28 分子の和も15になります。

この場合、ウ=6、エ=84、オ=7、カ=28

また、1/12+1/42 なら分子の和は9なので、

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 より、

1/14+1/28 分子の和も9になります。

この場合、ウ=12、エ=42、オ=14、カ=28

他にも、1/6+1/21=1/7+1/14

ウ=6、エ=21、オ=7、カ=14 などが考えられます。

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