２０１５年（麻布中学）最小公倍数と分数問題より

（１）

○/８４＝１/□　となる整数の組（○、□）は、

（１、８４）と（８４、１）を含めて１２組あります。残り１０組をすべて書きなさい。

（２）

２の整数ア、イの最小公倍数は８４であり、

１/ア＋１／イ＝１１/８４となります。

整数ア、イを答えなさい。ただし、アはイよりも小さいものとします。

（３）

４つの整数ウ、エ、オ、カの最小公倍数は８４であり、

１／ウ＋１／エ＝１／オ＋１／カ　となります。

また、ウとエは３の倍数で、オと力は３の倍数ではありません。

整数ウ、エ、オ、力の組を２組答えなさい。

ただし、ウはエよりも小さく、オはカよりも小さいものとします。

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（１）

○×□＝８４なので、２つの数をかけて８４になる組を考えます。

１－８４、２－４２、３－２８、４－２１、６－１４、７－１２　なので、

１－８４　以外の（２、４２）（３、２８）（４，２１）（６，１４）（７、１２）

（４２、２）（２８、３）（２１、４）（１４、６）（１２、７）　の１０組です。

（２）

１－８４、２－４２、３－２８、４－２１、６－１４、７－１２

この１２個の数はすべて８４の約数なので、

右側の数が分母の場合、左側の数は分母を８４にしたときの分子になります。

２数をたして１１になる組み合わせを探すと、

４＋７＝１１　で、７/８４＋４/８４＝１１/８４

１/１２＋１/２１＝１１/８４

ア＝１２、イ＝２１　となります。

（３）

１／ウ＋１／エ＝１／オ＋１／カ　より、８４で通分すると、

分子どうしが等しくなります。

１２数のうち、３の倍数どうしの組み合わせを考え、

８４で通分したときの分子の和を調べます。

３－６　→４２

３－１２　→３５

３－２１　→３２

３－４２　→３０

３－８４　→２９

６－１２　→２１

６－２１　→１８

６－４２　→１６

６－８４　→１５

１２－２１　→１１

１２－４２　→９

１２－８４　→８

２１－４２　→６

２１－８４　→５

４２－８４　→３

たとえば、１/６＋１/８４　なら分子の和は１５なので、

１－８４、２－４２、３－２８、４－２１、６－１４、７－１２　より、

１/７＋１/２８　分子の和も１５になります。

この場合、ウ＝６、エ＝８４、オ＝７、カ＝２８

また、１/１２＋１/４２　なら分子の和は９なので、

１－８４、２－４２、３－２８、４－２１、６－１４、７－１２　より、

１/１４＋１/２８　分子の和も９になります。

この場合、ウ＝１２、エ＝４２、オ＝１４、カ＝２８

他にも、１/６＋１/２１＝１/７＋１/１４

ウ＝６、エ＝２１、オ＝７、カ＝１４　などが考えられます。

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