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2015年2月20日 (金)

小立方体はいくつあったか?(2004年算数オリンピック、トライアル問題より)

1辺1cmの立方体(これを小立方体とよぶことにします)がたくさんあります。これらをすべて使って大きな立方体を作り、できた大きな立方体の表面全体を赤くぬった後、ばらばらにしてもとの小立方体にもどしたところ、1面だけが赤い小立方体の個数は2面が赤い小立方体の個数の2倍ありました。はじめに小立方体は何個ありましたか。ただし、小立方体は10個以上あったものとします。

Stnd022s

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大立方体の1辺に並ぶ小立方体の個数をNとします。

下図のような4×4×4の例を参考にすると、

1_3

2面が赤い小立方体の個数は、

(N-2)×辺の本数=(N-2)×12個

(N-2)=□ とおくと、

□×12・・・・・・①

1面が赤い小立方体の個数は、

(N-2)×(N-2)×面の数=□×□×6・・・・・・②

②が①の2倍なので、

□×□×6=□×12×2

=□×4×6

したがって、□=4

(N-2)=4

N=6

小立方体の個数=6×6×6=216個

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