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2015年2月23日 (月)

どのように切り分けますか?(第8回算数オリンピック、ファイナル問題より)

図1のような、たて6cm、横10cmの長方形を直線にそって5枚に切り分け、その5枚で図2のようなふたのない直方体の容器を作ることができます。

1_3

では、たて8cm、横10cmの長方形を点線にそって5枚に切り分け、その5枚を使って4種類の形の異なる直方体の容器を作るにはどのように切ればよいでしょうか。4種類の切り分け方がありますが、切ったものをまげないように、また、もとの長方形に使わない部分がないように切り分けてください。

2

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こたえ

図は図のようになります。この展開図で四隅の(深さ×深さ)の正方形を除いた面積はちょうど80c㎡でなければならないわけです。

3

① 容器の深さが1cmのとき

展開図のたて×横=(容器の底面のたての長さ+2cm)×(容器の横の長さ+2cm)

その面積は80c㎡+(1×1×4)c㎡=84c㎡

84=7×12なので、展開図は7cm×12cmになります。

そこで、できあがる容器の底面のたては7cm-2cm=5cm、

横は12cm-2cm=10cmにします(図1)。

以下、同じように考えて、

② 容器の深さ2cmのとき

(たての長さ+4cm)×(横の長さ+4cm)

=80+2×2×4=96=8×12

そこでたての長さ=4、横の長さ=8にします(図2)。

4

③ 容器の深さ3cmのとき

(たての長さ+6cm)×(横の長さ+6cm)

=80+3×3×4=116=4×29

このようになるたて横の長さはないから、この容器は作れません。

④ 容器の深さ4cmのとき

(たての長さ+8cm)×(横の長さ+8cm)

=80+4×4×4=144=12×12または9×16

12×12の場合は、たての長さ=4cm、

横の長さ=4cmにしますが、

4cm×4cmの正方形が5枚必要になり、

指定の長方形からはとれないから、作れません。

9×16の場合は、たての長さ=1cm、横の長さ=8cm

にします(図3)。

⑤ 容器の深さ5cmのとき

(たての長さ+10cm)×(横の長さ+10cm)

=80+5×5×4=180=12×15

そこで、たての長さ=2cm、横の長さ=5cmにしますが、

この場合、2cm×5cmの長方形が3枚必要なので、

指定の長方形からはとれないから、作れません。

⑥ 容器の深さ6cmのとき

(たての長さ+12cm)×(横の長さ+12cm)

=80+6×6×4=224=14×16

そこでたての長さ=2cm、横の長さ=4cmにします(図4)。

5

⑦ 容器の深さが7cm以上のとき

(たての長さ+14cm)×(横の長さ+14cm)

=80+7×7×4=276

=23×12または46×6または92×3

このような長さは指定の長方形からはとれないので、

作れません。

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