２０１５年（栄東中学校（東大クラス選抜））切断回数は？: 中学受験ー算数解き方ポータル

ある立体を辺に沿って切り開き、展開図を作ります。例えば図１のような三角錐から図２のような展開図を作るとき、少なくとも３つの辺を切り開く必要があります。

では、次の立体から展開図を作るとき、少なくともいくつの辺を切り開けばよいですか？

（１）立方体

（２）正二十面体（すべての面が等しい大きさの２０個の正三角形で作られた立体）

（３）図３の立体（すべての辺の長さが等しい１２個の正五角形と２０個の正六角形で作られる立体）

P2222

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（１）以下の図のように、切り離されている辺が１４個なので、

１４÷２＝７個　です。

Capture_2015_02_21_13_16_38_296

（２）以下の図のように、切り離されている辺が２２個なので、

２２÷２＝１１個　です。

Capture_2015_02_21_13_19_08_953

法則がありそうです。

正四面体の頂点の数は４個、切り開く辺の数は３個

４－１＝３

立方体の頂点の数は８個、切り開く辺の数は７個

８－１＝７

正二十面体の頂点の数は、

Capture_2015_02_21_13_32_57_93

一つの頂点に正三角形が５つ集まっているので、

３×２０÷５＝１２個

切り開く辺の数は、１２－１＝１１個

（３）

図３の立体の頂点数は、正五角形と正五角形は接していないので、

正五角形の頂点数と等しくなるので、５×１２＝６０個

切り開く辺の数は、６０－１＝５９個

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切り開かない辺に着目するのがわかりやすいと思います．
展開図は，いくつかの面がつながっていて，切り開かない辺は，(面の数)-1.
よって，切り開く辺の数は，
(辺の総数)-((面の数)-1)=(辺の総数)-(面の数)+1
となります．

オイラーの多面体定理から，これは(頂点の数)-1と一致することがわかりますが，
小中学生への説明は難しいのではないでしょうか．
少数の実験から，「(頂点の数)-1」と結論づけることの妥当性も疑問に思います．

投稿: たけちゃん | 2015年2月21日 (土) 20時44分

なるほど・・・
正十二面体なら面と面がつながっているところが、
１２－１＝１１箇所あるわけですね。植木算の原理でしょうか？
辺は全部で、５×１２÷２＝３０個なので、
切り離されている辺は３０－１１＝１９個
といった具合ですね。

またよろしくお願いします。

投稿: 管理人 | 2015年2月22日 (日) 12時32分

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