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2015年2月21日 (土)

2015年(栄東中学校(東大クラス選抜))切断回数は?

ある立体を辺に沿って切り開き、展開図を作ります。例えば図1のような三角錐から図2のような展開図を作るとき、少なくとも3つの辺を切り開く必要があります。

P2221

では、次の立体から展開図を作るとき、少なくともいくつの辺を切り開けばよいですか?

(1)立方体

(2)正二十面体(すべての面が等しい大きさの20個の正三角形で作られた立体)

(3)図3の立体(すべての辺の長さが等しい12個の正五角形と20個の正六角形で作られる立体)

P2222

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(1)以下の図のように、切り離されている辺が14個なので、

14÷2=7個 です。

Capture_2015_02_21_13_16_38_296

(2)以下の図のように、切り離されている辺が22個なので、

22÷2=11個 です。

Capture_2015_02_21_13_19_08_953

法則がありそうです。

正四面体の頂点の数は4個、切り開く辺の数は3個

4-1=3

立方体の頂点の数は8個、切り開く辺の数は7個

8-1=7

正二十面体の頂点の数は、

Capture_2015_02_21_13_32_57_93

一つの頂点に正三角形が5つ集まっているので、

3×20÷5=12個

切り開く辺の数は、12-1=11個

(3)

図3の立体の頂点数は、正五角形と正五角形は接していないので、

正五角形の頂点数と等しくなるので、5×12=60個

切り開く辺の数は、60-1=59個

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コメント

切り開かない辺に着目するのがわかりやすいと思います.
展開図は,いくつかの面がつながっていて,切り開かない辺は,(面の数)-1.
よって,切り開く辺の数は,
(辺の総数)-((面の数)-1)=(辺の総数)-(面の数)+1
となります.

オイラーの多面体定理から,これは(頂点の数)-1と一致することがわかりますが,
小中学生への説明は難しいのではないでしょうか.
少数の実験から,「(頂点の数)-1」と結論づけることの妥当性も疑問に思います.

なるほど・・・
正十二面体なら面と面がつながっているところが、
12-1=11箇所あるわけですね。植木算の原理でしょうか?
辺は全部で、5×12÷2=30個なので、
切り離されている辺は30-11=19個
といった具合ですね。

またよろしくお願いします。

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