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2015年2月19日 (木)

2015年(灘中学)平面図形問題から

下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

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(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

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