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2015年2月13日 (金)

白は何個だったか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

重さ1グラムの黒いボールと重さ2グラムの白いボールがそれぞれ何個かあります。今、これらのボールと上皿天びんを使って次のような3段階の実験を続けてしました。

実験1:ボールすべてを上皿天びんの両側の皿に適当に分けて乗せたら、右が重くなりました。

実験2:次に、その状態から右の皿から3個のボールを左の皿に、左の皿から3個のボールを右の皿に移したところ、今度は左が重くなりました。

実験3:最後に、左の皿から1個のボールを右の皿に移したら天びんはつり合いました。

さて、実験2で右の皿から左の皿に移した3個のボールのうち、白は何個だったと考えられますか?

Fur014s

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実験の順序を逆に追っていってみます。

実験3では移動するボール1個の重さ(1グラムまたは2グラム)の

分だけ左が軽くなり右は重くなるので、

実験3を行う前(実験2の後)に左の方が、

2グラムか4グラム重かったことになります。

次に、実験2で左右の軽重が逆転し、

しかも左の方が2グラムか4グラム重くなるためには、

たがいから移動した3個ずつのボールの重さの合計の差が、

①少なくとも左から右に移動したのが

最も軽い黒3個(3グラム)のときでも、

右から左に移動したのはそれより2グラム以上重い、

5グラム以上である必要があり、

この条件に合うのは白2個と黒1個(5グラム)、

または白3個(6グラム)の場合になります。

②左から右に移動したのが白1個と黒2個(4グラム)のときは、

右から左に移動したのはそれより2グラム以上重い、

6グラム以上である必要があり、

この条件に合うのは白3個(6グラム)の場合だけになります。

したがって、白いボールは2個または3個です。

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