目次

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2015年2月

2015年2月27日 (金)

2015年(渋谷教育学園幕張中学)何種類の立体ができる?

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同じ大きさの立方体をいくつか使って、立方体の面どうしをはり合わせることで新
しい立体をつくります。

立方体の面どうしをはり合わせるときは、どこもずれずにぴったり重なるようにします。

このようにしてできる立体のうち、回転したりひっくり返したりして同じ形になる立体は同じ種類の立体とします。

例えば、3個の立方体を使ってできる新しい立体は、下の図のような2種類です。

では4個の立方体を使うと何種類の立体ができますか?

P2270

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図のように8種類です。

O227

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2015年(武蔵中学)遅れる時計の正しい時刻は?

1日にある決まった時間だけ遅れる時計があります。

ある日の8時30分には図1、15時10分には図2のようになっていました。

この時計が正しい時刻を指していたのは、この日の何時何分ですか。

12

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長針は1分間に360/60=6°

短針は1分間に30/60=0.5°進むので、その差は5.5°

8時30分の本当の角度は75°、

図1の53°は(30×8-53)/5.5=34分→8時34分を指しています。

15時10分の本当の角度は、30×3-5.5×10=35度、

図2の68°は(90-68)÷5.5=4分より→15時4分を指しています。

8時30分から15時10分までの6時間40分間にこの時計は

15時4分-8時34分=6時間30分 進んだので、

6時間40分で10分遅れることになります。

15時10分時点で、15時4分なので6分遅れているわけで、

□時間で6分遅れたとすると、

6時間40分:□=10:6 より、

□=6時間40分×0.6=400分×0.6=240分→4時間となり、

15時10分-4時間=11時10分 に正しい時間だったことがわかります。

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2015年2月26日 (木)

難しい小数問題(2004年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

△÷7(△は整数)を計算したら割り切れず、

商が2004.・・・・・・となり、

小数第1位から小数第□位までのすべての位の数字の和が

2004になりました。

△と□に当てはまる整数はいくつですか?

Clas002s

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1÷7=0.142857142…(下線部分6けたのくり返し)

2÷7=0.285714285…(下線部分6けたのくり返し)

3÷7=0.428571428…(下線部分6けたのくり返し)

4÷7=0.571428571…(下線部分6けたのくり返し)

5÷7=0.714285714…(下線部分6けたのくり返し)

6÷7=0.857142857…(下線部分6けたのくり返し)

これ以上の数字は、商が1、2、3・・・と増えていくだけで、

割り切れない場合の小数は上の6通りだけになります。

どの場合もくり返し部分の数字の和は等しく、

1+4+2+8+5+7=27 なので、

6けたのくり返しの回数は、2004÷27=74あまり6となり、

上の計算のうちくり返し部分の最初から何番目かまでの和が

6になるのは、3÷7のときの4+2=6だけです。

このことから、次のことがわかります。

△÷7=2004+0.428571428…=2004+3÷7

△=2004×7+3=14031

□=6×74+2=446

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2015年(大阪星光学院中学)3けた整数は何個?

0,1,2,3,4,5の6つの数字から

異なる3個の数字を選んで3けたの整数をつくります。

このとき3けた整数は何個ありますか?

その中で3の倍数は何個ありますか?

Apa0307s

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最初に0は来ないなので、百の位は5通り、

十の位も5通り、一の位は4通り、

全部で、5×5×4=100通り

3の倍数は各位の数の和が3で割り切れます。

3つの数の和が3で割り切れる組み合わせは、

012

015

024

045

123

135

234

345

0の入る3桁の数はそれぞれ4通り、

0の入らない場合はそれぞれ6通り、

合計、4×4+6×4=40通り

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2015年2月25日 (水)

割合は何%?(過年度、地方公務員試験問題から)

景気に関するアンケート調査を行い,

対象者全員に「良い」,「あまり良くない」,「悪い」の中からいずれか1つを選んで回答してもらった。

結果を集計したところ,「良い」と回答した人が全体に占める割合は,「悪い」と回答した人の全体に占める割合より10%少なく,

「あまり良くない」と回答した人は「良い」と回答した人の3倍であった。

このとき,景気が「悪い」と回答した人の割合は,全体のどれだけか?

Hpsb1101cs

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「良い」=良、「あまり良くない」=あ、「悪い」=悪、全体を100 とすると、

良+あ+悪=100

悪=良+10

あ=良×3

より、

良+良×3+良+10=100

良×5=90

良=18

悪=18+10=28%

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2015年(ラ・サール中学)影の形と面積は?

図のように平らな地面の上に1辺10cmの立方体のレンガが置いてあります。

3点、A,D、Eは一直線に並んでいて、DE=10cmです。

また、点D、Eの真上30cmのところにそれぞれ電球P、Qを置きます。

電球の大きさは考えないものとして、次の問いに答えなさい。

(1)電球Pだけをつけたとき、

   地面にできるレンガの影を解答欄の図に斜線で示しなさい。

   また、影の面積は何c㎡ですか。

(2)電球Qだけをつけたとき、

   地面にできるレンガの影を解答欄の図にに斜線で示しなさい。

   また、影の面積は何c㎡ですか。

0

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(1)

図のようにレンガの上面まで20cmなので、

DAとDC方向の影の長さは、

相似比が 20:30=2:3で、10×3/2=15cm になります。

2_2

4_2

面積は影の部分を2つの台形に分けて考えればいいので、

(15+10)×5÷2×2=125c㎡

(2)

(1)と同様に相似比は2:3なので、

3

影の形は図のようになります。

5

面積は2つの台形の合計で、

(15+10)×10÷2+(15+10)×5÷2=187.5c㎡

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2015年2月24日 (火)

この条件だけで曜日がわかるの?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

ある月の日曜日のうち、偶数の日付は3日間ありました。この月の15日は何曜日でしょうか?

Ilm03_aa08014s

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同じ曜日の日付は7日ずつふえる数の組合わせなので,

偶数奇数が交互に並びます。

このうち偶数が3日なので,

奇数は1日ということはありえず,2日,

つまり第5週まで日曜日があることになるので,

このような組合わせは

(1,8,15,22,29),

(2,9,16,23,30),

(3,10,17,24,31)の3通り。

このうち偶数を3個ふくむのは(2,9,16,23,30)のみ。

16日が日曜日なので15日は土曜日になります。

15日だけでなく、すべての日の曜日がわかりますね。

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2015年(大妻多摩中学)場合の数を考える問題から

図のようにA,B,C,D,E,Fの6か所を反時計回りにコマが移動します。

はじめにコマはAに置いてあり、コインを投げて表が出たら1つ移動し、

裏が出たら2つ移動します。このとき、次の問いに答えなさい。
2241

(1)コインを4回投げて、コマがちょうど1周してAで止まるような移動の方法は何通りありますか。

(2)コインを何回か投げて、コマがちょうど1周してAで止まるような移動の方法は何通りありますか。

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(1)1周してちょうどAに止まるには合計で6つの移動が必要です、

4回コインを投げて、6つ移動するには、

2211、2121、2112、1221、1212、1122 の6通りの投げ方があります。

(2)6にする投げ方は、

111111

21111、12111、11211、11121、11112

2211、2121、2112、1221、1212、1122

222

以上の13通りの投げ方があります。

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2015年2月23日 (月)

どのように切り分けますか?(第8回算数オリンピック、ファイナル問題より)

図1のような、たて6cm、横10cmの長方形を直線にそって5枚に切り分け、その5枚で図2のようなふたのない直方体の容器を作ることができます。

1_3

では、たて8cm、横10cmの長方形を点線にそって5枚に切り分け、その5枚を使って4種類の形の異なる直方体の容器を作るにはどのように切ればよいでしょうか。4種類の切り分け方がありますが、切ったものをまげないように、また、もとの長方形に使わない部分がないように切り分けてください。

2

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こたえ

図は図のようになります。この展開図で四隅の(深さ×深さ)の正方形を除いた面積はちょうど80c㎡でなければならないわけです。

3

① 容器の深さが1cmのとき

展開図のたて×横=(容器の底面のたての長さ+2cm)×(容器の横の長さ+2cm)

その面積は80c㎡+(1×1×4)c㎡=84c㎡

84=7×12なので、展開図は7cm×12cmになります。

そこで、できあがる容器の底面のたては7cm-2cm=5cm、

横は12cm-2cm=10cmにします(図1)。

以下、同じように考えて、

② 容器の深さ2cmのとき

(たての長さ+4cm)×(横の長さ+4cm)

=80+2×2×4=96=8×12

そこでたての長さ=4、横の長さ=8にします(図2)。

4

③ 容器の深さ3cmのとき

(たての長さ+6cm)×(横の長さ+6cm)

=80+3×3×4=116=4×29

このようになるたて横の長さはないから、この容器は作れません。

④ 容器の深さ4cmのとき

(たての長さ+8cm)×(横の長さ+8cm)

=80+4×4×4=144=12×12または9×16

12×12の場合は、たての長さ=4cm、

横の長さ=4cmにしますが、

4cm×4cmの正方形が5枚必要になり、

指定の長方形からはとれないから、作れません。

9×16の場合は、たての長さ=1cm、横の長さ=8cm

にします(図3)。

⑤ 容器の深さ5cmのとき

(たての長さ+10cm)×(横の長さ+10cm)

=80+5×5×4=180=12×15

そこで、たての長さ=2cm、横の長さ=5cmにしますが、

この場合、2cm×5cmの長方形が3枚必要なので、

指定の長方形からはとれないから、作れません。

⑥ 容器の深さ6cmのとき

(たての長さ+12cm)×(横の長さ+12cm)

=80+6×6×4=224=14×16

そこでたての長さ=2cm、横の長さ=4cmにします(図4)。

5

⑦ 容器の深さが7cm以上のとき

(たての長さ+14cm)×(横の長さ+14cm)

=80+7×7×4=276

=23×12または46×6または92×3

このような長さは指定の長方形からはとれないので、

作れません。

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2015年(雙葉中学)道のりは何km?

春子さんは、家から学校に行くのに、道のりの3/8はバスで、

7/12は電車で移動し、残りの700mは歩きます。

春子さんの家から学校までの道のり何kmですか?

Pfa020s

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3/8+7/12=9/24+14/24=23/24

1-23/24=1/24 が700mなので、

全体の道のりは、700÷1/24=16800m=16.8km

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2015年(麻布中学)最小公倍数と分数問題より

(1)

○/84=1/□ となる整数の組(○、□)は、

(1、84)と(84、1)を含めて12組あります。残り10組をすべて書きなさい。

(2)

2の整数ア、イの最小公倍数は84であり、

1/ア+1/イ=11/84となります。

整数ア、イを答えなさい。ただし、アはイよりも小さいものとします。

(3)

4つの整数ウ、エ、オ、カの最小公倍数は84であり、

1/ウ+1/エ=1/オ+1/カ となります。

また、ウとエは3の倍数で、オと力は3の倍数ではありません。

整数ウ、エ、オ、力の組を2組答えなさい。

ただし、ウはエよりも小さく、オはカよりも小さいものとします。

Ilm06_ca07058s

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----------------------------------------------------

(1)

○×□=84なので、2つの数をかけて84になる組を考えます。

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 なので、

1-84 以外の(2、42)(3、28)(4,21)(6,14)(7、12)

(42、2)(28、3)(21、4)(14、6)(12、7) の10組です。

(2)

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12

この12個の数はすべて84の約数なので、

右側の数が分母の場合、左側の数は分母を84にしたときの分子になります。

2数をたして11になる組み合わせを探すと、

4+7=11 で、7/84+4/84=11/84

1/12+1/21=11/84

ア=12、イ=21 となります。

(3)

1/ウ+1/エ=1/オ+1/カ より、84で通分すると、

分子どうしが等しくなります。

12数のうち、3の倍数どうしの組み合わせを考え、

84で通分したときの分子の和を調べます。

3-6 →42

3-12 →35

3-21 →32

3-42 →30

3-84 →29

6-12 →21

6-21 →18

6-42 →16

6-84 →15

12-21 →11

12-42 →9

12-84 →8

21-42 →6

21-84 →5

42-84 →3

たとえば、1/6+1/84 なら分子の和は15なので、

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 より、

1/7+1/28 分子の和も15になります。

この場合、ウ=6、エ=84、オ=7、カ=28

また、1/12+1/42 なら分子の和は9なので、

1-84、2-42、3-28、4-21、6-14、7-12 より、

1/14+1/28 分子の和も9になります。

この場合、ウ=12、エ=42、オ=14、カ=28

他にも、1/6+1/21=1/7+1/14

ウ=6、エ=21、オ=7、カ=14 などが考えられます。

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2015年2月22日 (日)

31桁の整数の各位の和はいくつ?(第10回オリンピック、ファイナル問題より)

31けたの整数があります。この整数の中からどのとなりあう2けたの整数をとりだしても17か23の倍数となります。また、この31けたの整数には7は1個しかありません。この31けたの整数の各位の和を求めなさい。

○△□◎・・・・・・・・▲□●???

Pce022s

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2けたの17の倍数は、17、34、31、68、85

2けたの23の倍数は、23、46、69、92、

これらの中で、一方の一の位の数字と、

もう一方の十の位の数字が等しいものをつないでいくと、

23→34→46→68→85→51→17

23→34→46→69→92→23→・・・となります。

31けたの中に7は、1個しか使われていないので、

下2けたは17と決まり、

下8けたまでが23468517となります。

あとは23469の5けたのくり返しなので、

(31-8)÷5=4あまり3→[469]

以上から31けたの各位の数字の和は、

(2+3+4+6+8+5+1+7)+(2+3+4+6+9)×4+

(4+6+9)=151となります。

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2015年2月21日 (土)

2015年(栄東中学校(東大クラス選抜))切断回数は?

ある立体を辺に沿って切り開き、展開図を作ります。例えば図1のような三角錐から図2のような展開図を作るとき、少なくとも3つの辺を切り開く必要があります。

P2221

では、次の立体から展開図を作るとき、少なくともいくつの辺を切り開けばよいですか?

(1)立方体

(2)正二十面体(すべての面が等しい大きさの20個の正三角形で作られた立体)

(3)図3の立体(すべての辺の長さが等しい12個の正五角形と20個の正六角形で作られる立体)

P2222

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(1)以下の図のように、切り離されている辺が14個なので、

14÷2=7個 です。

Capture_2015_02_21_13_16_38_296

(2)以下の図のように、切り離されている辺が22個なので、

22÷2=11個 です。

Capture_2015_02_21_13_19_08_953

法則がありそうです。

正四面体の頂点の数は4個、切り開く辺の数は3個

4-1=3

立方体の頂点の数は8個、切り開く辺の数は7個

8-1=7

正二十面体の頂点の数は、

Capture_2015_02_21_13_32_57_93

一つの頂点に正三角形が5つ集まっているので、

3×20÷5=12個

切り開く辺の数は、12-1=11個

(3)

図3の立体の頂点数は、正五角形と正五角形は接していないので、

正五角形の頂点数と等しくなるので、5×12=60個

切り開く辺の数は、60-1=59個

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2015年(開成中学)立体図形問題から

一辺の長さが6cmの立方体があり,その上の面と下の面はどちらも9つの合同な正方形に分かれています。

上の面のそれぞれの正方形の頂点には図のように

あ,い,う‥‥‥,た と名前がついていて,

下の面のそれぞれの正方形の頂点にも図のようにのように

ア,イ,ウ,‥‥‥‥,夕 と名前がついています。

また,点の真下には点,点の真下には点,点の真下には点‥‥‥‥‥点の真下lこは点があります。

これらの頂点から8つの点あ,い,か,お,サ,シ,タ,ソを選び,図のように結んで立体Aをつくりました。

0
(1)立体Aの体積を求めなさい。

平行四辺形の面積が(底辺)x(高さ)で求められるように,斜めに傾いた角柱の体積は(底面積)×(高さ)で求められます。

(2)立体Aを,4点い,せ,セ,イを通る平面で切断しました。その切断面の図形を解答用紙にかき,切断面の面積を求めなさい。

(3)8つの点い,せ,そ,う,イ,セ,ソ,ウを結び,直方体をつくりました。この直方体と立体Aの共通部分の体積を求めなさい。

(4)8つの点う,え,く,き,ケ,コ,セ,スを立体Aと同じように結び,立体Bを作りました。立体Aと立体Bの共通剖分の体積を求めなさい。

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----------------------------------------------------

(1)

底面積×高さ=2×2×6=24立方cm

(2)

切り口は図のように平行四辺形になります。

Capture_2015_02_21_08_32_00_687

Capture_2015_02_21_08_33_15_265

高さは立方体の半分なので、

面積=2×3=6c㎡

(3)

図のように、(2)の平行四辺形にはさまれた斜めに傾いた角柱になります。

Capture_2015_02_21_08_33_40_906

Capture_2015_02_21_08_34_03_156

はさまれた長さが高さになるので、

体積=6×2=12立方cm

(4)

図のように重なる面がひし形の立体になります。

Capture_2015_02_21_08_34_59_265

Capture_2015_02_21_08_35_32_500

このひし形が角柱の何分のいくつになっているか考えます。

おかきくすせそたに平行移動してみたのが下図で、

1

黄色のひし形は色部分の1/4になっています。

角柱の厚みは同じなので、

体積は、24×1/4=6立方cm

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2015年2月20日 (金)

小立方体はいくつあったか?(2004年算数オリンピック、トライアル問題より)

1辺1cmの立方体(これを小立方体とよぶことにします)がたくさんあります。これらをすべて使って大きな立方体を作り、できた大きな立方体の表面全体を赤くぬった後、ばらばらにしてもとの小立方体にもどしたところ、1面だけが赤い小立方体の個数は2面が赤い小立方体の個数の2倍ありました。はじめに小立方体は何個ありましたか。ただし、小立方体は10個以上あったものとします。

Stnd022s

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大立方体の1辺に並ぶ小立方体の個数をNとします。

下図のような4×4×4の例を参考にすると、

1_3

2面が赤い小立方体の個数は、

(N-2)×辺の本数=(N-2)×12個

(N-2)=□ とおくと、

□×12・・・・・・①

1面が赤い小立方体の個数は、

(N-2)×(N-2)×面の数=□×□×6・・・・・・②

②が①の2倍なので、

□×□×6=□×12×2

=□×4×6

したがって、□=4

(N-2)=4

N=6

小立方体の個数=6×6×6=216個

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2015年(星野学園中学)角度の和は?

図は1辺が1cmの正方形をたてに3つ、横に4つならべた図形です。

角アと角イの大きさの和は何度になりますか?

P2201

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図のように三角形ABCを作ってみると、

P2202

角Aは90°になり、AB=ACなので、

△ABCは直角二等辺三角形になります。

よって、角B=ア+イ=45° です。

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2015年(鴎友学園女子中学)面積比と長さ比は?

平行四辺形ABCDがあります。

三角形BEFと平行四辺形ABCDの面積の比は3:76です。

(1)AE:ECを最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)AG:GDを最も簡単な整数の比で表しなさい。

D220_2

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(1)

△ABCは平行四辺形の半分で76÷2=38 です。

ACの長さを38とすると、EFは3なので、

AE=38÷2-3 、EC=38÷2+3 より、

AE:EC=16:22=8:11

(2)

△AEGと△BECは相似で、相似比は8:11

AG:BC=8:11

BC=AD=11なので、

AG:GD=8:3

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2015年2月19日 (木)

数の不思議(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

1998/1999を小数で表したときの小数第12位の数と、

1/1999を小数で表したときの小数第12位の数との和はいくつですか?

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こたえ

1998/1999=0.ABCD・・・

1/1999=0.abcd・・・ であらわすと、

1998/1999+1/1999=1なので

  0.ABCD・・・

+)0.abcd・・・

  1.0000000・・・・

が成り立ちます。

このように、小数第1位が0になるのは、

小数第2位から1繰り上がって10になるからです。

つまり、A+a=9、B+b=9、C+c=9、・・・・

のように、どの位でも和は常に9になります。

したがって、第12位も和は9です。

ちなみに計算機で計算してみると・・・

1998/1999=0.9994997・・・

1/1999=0.0005002・・・

どの位も和が9になっています。

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2015年(慶應中等部)太郎君の年齢は?

太郎君は花子さんより2歳年上です。

また、現在この2人の年齢の和は父親の半分で、

5年後には2人の年齢の和は5年後の父親の年齢の2/3なります。

太郎君は現在何歳ですか?

Ilm08_cc01025s

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花子さんの現在の年齢を□歳とすると、

太郎君は、□+2 歳

父は、(2×□+2)×2=4×□+4 歳です。

5年後に、花子さんは□+5 歳、

太郎君は、□+7 歳、

父は、(2×□+12)×3/2=3×□+18 歳です。

4×□+4+5=4×□+9=3×□+18 なので、

□=9 とわかります。

したがって、太郎君の現在の年齢は 11歳です。

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2015年(灘中学)平面図形問題から

下の図において、ACの長さは 8cmです。

また、ア、イの 角の大きさは共に 60度です。

直線AC,BD が交わる点 をE とするとき、次の問に答えなさい。

(1)AE の長さを求めなさい。

(2)三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの正三角形の面積の何倍ですか。

Pic_4170q

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(1)角度として60度が出てきているので、下の図1のように

BCを1辺とする正三角形BCF を作ると、

  Pic_4171a

三角形BEF と三角形DEC は相似で、相似比が 3 : 5 に

なります。よって、FE : EC = 3 : 5 とわかり、

 CE = 3÷(3+5)×5= 15/8(cm)

と求められるので、

 AE = 8-15/8 = 49/8 = 6と1/8(cm)

です。

 

 (2)AE : EC = 49 : 15 、 FE : EC = 3 : 5 、

三角形BEF の面積 : 三角形DEC の面積= 9 : 25 、

で、三角形BCF の面積=1辺1cm の正三角形 9個分の面積

なので、1辺1cmの正三角形の面積=【1】とすると、

 三角形BCF の面積=【9】

 三角形BEF の面積=【9】×3/8=【27/8】

 三角形DEC の面積=【27/8】÷9×25=【75/8】

 三角形AED の面積=【75/8】÷15×49=【245/8】

 (【9】×3/8×25/9×49/15)

となるので、三角形AED の面積は、1辺の長さが1cmの

正三角形の面積の 30と5/8倍 です。

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2015年2月18日 (水)

エレベーターの中の体重(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

あるエレベーターの中にある体重計で体重をはかると、エレベーターが上昇しているときは本当の体重より1/6重くなり、下降しているときは本当の体重より1/7軽くなります。
A君とB君がこのエレベーターの中でそれぞれ体重計にのったら、上昇している時のA君の体重計の目盛りと、下降している時のB君の体重計の目盛りが同じになりました。2人の本当の体重の和は何kgですか。ただし2人ともに体重は50  kg 以下の整数です。

Ilm03_bf01103s

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A君の体重をA、B君の体重をBとすると、

A君の目盛りは、A×(1+1/6)=A×7/6

B君の目盛りは、B×(1-1/7)=B×6/7

それが等しいので、

A×7/6=B×6/7

A:B=6/7:7/6

A:B=36:49

A、Bとも50kg以下の整数なので、A君36kg、B君49kg

A+B=85kg

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2015年(開智中学)もとの長方形の面積は?

周囲の長さの和が48cmの長方形の、

たての長さを2cm長くして、横の長さを2cm短くしたら、

もとの長方形より8c㎡面積が大きくなりました。

もとの長方形の面積は何c㎡でしたか?

Mpsb1101cs

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図のように、緑-黄=8c㎡ になったので、

P218

2×□-2×△=8

□-△=4

□+2+△=48÷2=24 なので、

□+△=22

△=(22-4)÷2=9cm

□=9+4=13cm

もとの長方形の面積=(13+2)×9=135c㎡

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2015年(甲陽学院中学(1日目))角度問題から

図の角「あ」の大きさは何度ですか。

218

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図のように四角形を2つ作ります。

2181_3  

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2015年2月16日 (月)

2015年(大阪星光学院中学)最初の計算問題から

P216

□の中はいくつ?

Apf0107s

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両辺から7/8を引いてみます。

1/8+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=7/9+7/10+7/□

1/2+1/3+1/6=1なので、両辺から7/9を引くと、

1/8+2/9+1/4+1/5=7/10+7/□

1/4=10/40、7/10=28/40 なので、両辺から10/40を引くと、

1/8+2/9+1/5=18/40+7/□

1/8=5/40 なので、両辺から5/40を引くと、

2/9+1/5=13/40+7/□

1/5=8/40 なので、両辺から8/40を引くと、

2/9=5/40+7/□

2/9=1/8+7/□

(16-9)/72=7/□

□=72

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2015年(武蔵中学)相似比の利用

四角形ABCDと四角形DCEFはどちらも長方形で,

AD=10cm,DF=8cm,AH=6cmです。

また,三角形AHGと三角形DHIの面積の差は9c㎡です。

ABの長さを求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

△黄と△緑は相似で、相似比は6:4=3:2

したがって、面積比は3×3:2×2=9:4

⑨-④=⑤が9c㎡なので、①=1.8c㎡

△緑の面積=1.8×4=7.2c㎡

DI=7.2×2÷4=3.6cm

2

△緑と△赤も相似で、相似比は4:8=1:2 なので、

CI=3.6×2=7.2cm

AB=3.6+7.2=10.8cm

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2015年2月15日 (日)

立体魔方陣(2006年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

1~8の数字を1個ずつ図の○の中に入れて、立方体のどの面の4個の数字の和も等しくします。
このとき図のAの位置に入る数字は3通り考えられます。いくつといくつといくつでしょうか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

1つの面の4個の数字の和は、

(1+2+3+4+5+6+7+8)÷2=18となるので、

1を含む面の4つの数字の組は、

(1,2,7,8)・・・ア

(1,3,6,8)・・・イ

(1,4,5,8)・・・ウ

(1,4,6,7)・・・エ

となります。

また、1を含む面は3つあります。

ここで、ア、イ、ウはいずれも1と8が含まれているので、

この3つの組が同時に存在することはありません。

したがって、1を含む3つの面の4個の数字の組は、

アイエ、アウエ、イウエが考えられます。

アイエの場合、アイエに含まれない数がAに入るので、

A=5

アウエの場合、アウエに含まれない数がAに入るので、

A=3

イウエの場合、イウエに含まれない数がAに入るので、

A=2

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2015年(四天王寺中学)、虫食い算から

□の中に0~9の数を入れて、筆算を完成させてください。

ただし、各段の一番左には0は入りません。

P215

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P2152

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2015年(慶應義塾中等部)、操作計算問題から

<x,y>は,xをy個足した値とします。

たとえば次のようになります。

   <1,2>=1+1=2

   <2,3>=2+2+2=6

このとき,次の□に適当な数を入れなさい。

(1)<4,5>+<12,6>-<7,11>=□ です。

(2)<<2,8>,<15,28>>=<42,□> です。

Pce022s

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----------------------------------------------------

<4,5>=4+4+4+4+4=4×5=20 なので、

(1)4×5+12×6-7×11=20+72-77=15

(2)2×8×15×28÷42=160

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2015年2月13日 (金)

白は何個だったか?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

重さ1グラムの黒いボールと重さ2グラムの白いボールがそれぞれ何個かあります。今、これらのボールと上皿天びんを使って次のような3段階の実験を続けてしました。

実験1:ボールすべてを上皿天びんの両側の皿に適当に分けて乗せたら、右が重くなりました。

実験2:次に、その状態から右の皿から3個のボールを左の皿に、左の皿から3個のボールを右の皿に移したところ、今度は左が重くなりました。

実験3:最後に、左の皿から1個のボールを右の皿に移したら天びんはつり合いました。

さて、実験2で右の皿から左の皿に移した3個のボールのうち、白は何個だったと考えられますか?

Fur014s

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実験の順序を逆に追っていってみます。

実験3では移動するボール1個の重さ(1グラムまたは2グラム)の

分だけ左が軽くなり右は重くなるので、

実験3を行う前(実験2の後)に左の方が、

2グラムか4グラム重かったことになります。

次に、実験2で左右の軽重が逆転し、

しかも左の方が2グラムか4グラム重くなるためには、

たがいから移動した3個ずつのボールの重さの合計の差が、

①少なくとも左から右に移動したのが

最も軽い黒3個(3グラム)のときでも、

右から左に移動したのはそれより2グラム以上重い、

5グラム以上である必要があり、

この条件に合うのは白2個と黒1個(5グラム)、

または白3個(6グラム)の場合になります。

②左から右に移動したのが白1個と黒2個(4グラム)のときは、

右から左に移動したのはそれより2グラム以上重い、

6グラム以上である必要があり、

この条件に合うのは白3個(6グラム)の場合だけになります。

したがって、白いボールは2個または3個です。

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容器Eには何L?(順天中学 2014年)

下の図のように、同じ太さのパイプがあり,

↓から水を流すと,A~Eの各容器に水がたまります。

各分岐点では同じ量ずつ水が分かれて流れます。

容器Dに30Lの水がたまったとき,容器Eには何Lの水がたまっていますか。

P213

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Dの左側のパイプから入ってくる水の量を①とすると、

図のように、Eは④となります。

P2132

⑤=30Lなので、①=6L

④=24L になります。

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2015年(女子学院中学)影の面積は?

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  Pic_4166q

上の図のように、広く平らな土地に、

縦と横の長さが3m、高さ2mの直方体の形をした倉庫があり、

倉庫から1m離れたところに高さ4mの街灯が立っています。

街灯によってできる倉庫の影の面積を求めなさい。

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解答

 街灯の光源をO,倉庫の上の面を正方形ABCD とすると、

街灯の高さが倉庫の2倍の高さなので、できる影は、Oから

A,B,C,D までのキョリの2倍のところまで達し、真上から

見ると、下の図1のようになります。

Pic_4167a

色のついた部分が影なので、この面積は、

長方形PQGH - (正方形ABCD+三角形AEP+三角形BFQ)

= 7×6-(3×3+1×1÷2+1×2÷2)

= 42-10.5 = 31.5c㎡

と求められます。

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2015年2月12日 (木)

2015年、女子学院中学の角度問題から

円の中に、正十二角形があります。

ア~エの角度は何度ですか?

P212

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P2122

正十二角形の1つの内角アは、

(12-3+1)×180÷12=150°

A=(720-150×4)÷2=60°

□=150÷2=75°なので、

イ=60+75=135°

●=(360-150×2)÷2=30°なので、

ウ=180-(75+30)=75°

△=(540-150×3)÷2=45°なので、

エ=180-(75+45)=60°

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2015年、灘中学1日目、立体図形問題から

展開図が図のような立体の体積は、

1辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、

高さが4cmである三角すいの体積の何倍ですか。

ただし、四角形の面は平行な2辺の長さが4cm、8cmの台形、

六角形の面は正六角形で、三角形の面は二等辺三角形。

D2120

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組み立てると、図のような立体になります。

Capture_2015_02_12_08_34_28_953

この立体は、下の図の ①が4つ、②が2つ からできています。

D212

1辺が4cmの正三角形の高さを□cmとすると、

正三角形を底面とする三角すいの体積は、

4×□÷2×4÷3=□×8/3 c㎡

①の体積=2×4×□÷3=□×8/3 c㎡

①×4=□×32/3 c㎡

②の体積=□×4÷2×4=□×8 c㎡

②×2=□×16 c㎡

(32/3+16)÷8/3=10 倍

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2015年2月11日 (水)

面積の差は?(第3回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図1は正五角形を(ア)と(イ)の2つの部分に分けたもので、(ア)の面積は41c㎡、(イ)は11c㎡です。(イ)は台形です。
図2は図1の(イ)の部分と同じものを5枚つくり、図1の上に重ねたものです。図2の斜めの線の部分の面積の和は、まん中にできた小さな正五角形の面積より、何c㎡大きいですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

図のように形別に面積をA、B、Cとすると、

(イ)×5=11×5=55c㎡=A×10+B×5・・・①

(ア)+(イ)=41+11=52c㎡=A×5+B×5+C・・・②

①-②=A×5-C で、

これは(斜線部の合計ー真ん中の小さな正五角形)になります。

したがって、①-②=55c㎡ー52c㎡=3c㎡

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2015年(淑徳与野中学)□の中は?

□の中に+、-、×、÷ を入れて、計算が合うようにしてください。

             5□4□3□2=7/3

Mpsb1101cs

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5-4÷3×2=7/3

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2015年(淑徳与野中学)2つの四角形の面積の和は?

図のように正方形と長方形があります。

この2つの四角形の面積の和は何c㎡ですか。

1

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----------------------------------------------------

図のように、△黄は直角二等辺三角形になるので、

大きな正方形の半分で、対角線の長さは8cm、

小さな正方形の対角線の長さは、8-5=3cm になります。

2

白い部分も正方形の半分の直角二等辺三角形になるので、

8×8÷2÷2+5×5÷2÷2+3×3÷2÷2=24.5c㎡

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2015年2月10日 (火)

4点、7点、9点の人は何人?(神戸女学院中学部 2014年)

35人のクラスで10点満点のテストをしたところ、平均点が5.6点になりました。下の表はそのときの点数の分布を表したものです。4点、7点、9点を取った人数を求め、考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】 

4点、7点、9点を取った人数がそれぞれ1人、2人、3人 の場合 → (1,2,3)

Pic_3811q

Sli068s

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全員の取った点数の合計は、35×5.6=196点 です。

それに対し、表にある点数の合計は、

 0×1+1×1+2×1+3×4+5×7+6×4+8×3+10×2

=118点 です。

 

よって、4点、7点、9点を取った人の合計点は、

 196-118=78点

となります。

 

4点、7点、9点を取った人数を(○、△、□)とすると、

 4×○+7×△+9×□=78

となります。

 

さらに、

 ○+△+□=35-(1+1+1+4+7+4+3+2)=12

となります。

 

一番数の大きい【9】を基準にすると、□は、0~8 が

当てはまります。

 

□=8のとき、○+△=4 で、4×○+7×△=6

  △=0でも○に入る数がないので、条件を満たしません。

□=7のとき、○+△=5 で、4×○+7×△=15

  △=0,1,2でも○に入る数がない。

□=6のとき、○+△=6 で、4×○+7×△=24

  △=0のとき、○=6 となります。

□=5のとき、○+△=7 で、4×○+7×△=33

  △=0,1,2,3,4 でも○に入る数がない。

□=4のとき、○+△=8 で、4×○+7×△=42

  △=0,2,4,6でも○に入る数がない

 (△=奇数の場合、4×○も奇数にならないと、42(偶数)に

  ならないが、4×○が奇数になることはないので、△=奇数

  の場合は最初から除きましょう)

□=3のとき、○+△=9 で、4×○+7×△=51

 △=1のとき、○=11(○+△=12となってしまうので不適)

 △=5のとき、○=4となる。

 △=3,7のときは○に入る数がない。

 △=偶数の場合、4×○=偶数なので、4×○+7×△=偶数

 となり、51(奇数)とならないので、△=偶数の場合は最初から

 除きましょう。

□=2のとき、○+△=10で、4×○+7×△=60

 和が偶数(60)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=4のとき、○=8 (○+△=10にならないので不適)

 △=8のとき、○=1 (○+△=10にならないので不適)

 △=2,6の場合は条件に合う○がない

□=1のとき、○+△=11で、4×○+7×△=69

 和が奇数(69)なので、△=奇数の場合だけを考えます。

 △=3のとき、○=12(不適)

 △=7のとき、○=5 (不適)

 △=1,5,9の場合は条件に合う○がない

□=0のとき、○+△=12で、4×○+7×△=78

 和が偶数(78)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=2のとき、○=16 (不適)

 △=6のとき、○=9  (不適)

 △=10のとき、○=2 (条件を満たす)

 △=4,8の場合は条件に合う○がない

 

以上より、考えられる 4点、7点、9点を取った人数は

 (2,10,0)、(4,5,3)、(6,0,6)

の 3通りがあります。

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筑波大学附属駒場中学、今年2015年の最初の操作計算問題から

分母と分子がともに整数である真分数【分子が分母より小さい分数】に対し、

次のような操作を考えます。

その数の逆数が、

→[ア]帯分数で表せるとき、その帯分数の整数部分を消して、真分数にする。

→[イ]整数のときは、0にする。

この操作を1回とかぞえ、操作の結果できた数に対して、

この操作を0になるまでくり返し行います。

たとえば、最初の数が3/10のときは、

1回目の操作の結果 → 1/3

2回目の操作の結果 → 0

このように、操作を2回行うと0になります。
Ilm06_ca07058s
(1)最初の数が7/27のとき、操作を何回行うと0になりますか。

(2)7個の数1/8、2/8、3/8、4/8、5/8、6/8、7/8のうち、

    0になるまでの操作の回数が最も多いのはどれですか。

(3)ある真分数に操作をくり返し行ったところ、0になるまでに6回かかりました。

   最初の数として考えられるもののうち、分母が最も小さいものを答えなさい。

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(1)

1回目→6/7

2回目→1/6

3回目→0

(2)

1/8、2/8、4/8 は1回目で0になります。

6/8、7/8 は2回目に0になります。

3/8 は3回目に0になるので、

回数の最も多いのは、4回の5/8 です。

(3)

分母が8以下では、(2)の5/8が0になるまでの回数が最も多くなります。

5/8になる前の最も分母が小さい数は、8+5=13 なので 8/13→5回

8/13になる前の最も分母が小さい数は、

13+8=21 なので 13/21→6回 となります。

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2015年2月 9日 (月)

円柱の高さは何cm?(西大和学園中学 2010年)

直方体と、直径16cmの円を底面とする円柱が。水平な地面に置いてあります。

これらに太陽の光が当たり、図のような影ができたとき、

円柱の高さは何cmでしょうか?

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 正面から見た円柱と影の様子を考えると、下の図1のように

なります。

DE=EF=4cmです。

  

直方体がなかった場合、円柱の直方体側の点Aの影の先は、

点B に、円柱の中心Oの影の先は点C  に重なります。

 

ここで、四角形ABCOは平行四辺形になるので、

AO=BC=8cm  ということがわかります。

 

次に、三角形BFD と三角形CFE  が相似で、

FD=8cm、FE=4cmなので、相似比は、8:4=2:1 と

わかり、CF=BC=8cm  ということもわかります。

 

最後に、三角形BFD と三角形BGA が相似で、

BG=16+36=52cm  なので、

 BF:BG=DF:AG より、16:52=8:AG となり、

 円柱の高さAG=26cm  ということがわかります。

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もとの台形の面積は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

図1のような台形があります。上下にちょうど半分に折って図2のような台形にしたとき、両はしの重ならない白い部分の合計の面積が20c㎡でした。
つぎに白い部分を折って図3のように長方形にしたとき、この長方形の面積は図2の白い部分と斜線部分を合わせた台形の面積の5/6になりました。もとの図1の台形の面積は何c㎡ですか。

1_2

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図3が図2の5/6なので、

図2の白い部分の半分が図2の台形の1/6にあたります。

したがって、1/6が20÷2=10c㎡にあたります。

図2の台形は10×6=60c㎡

斜線部分は図2の台形の4/6なので、60×4/6=40c㎡

図1の面積は60+40=100c㎡

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2015年、慶應義塾中等部の問題から、速さの比は?

A君とB君はそれぞれ一定の歩幅で、一定の速さで歩きます。

A君が18歩で歩く道のりをB君は14歩で歩き、

1分間にA君は30歩、B君は35歩だけそれぞれ歩きます。

A君とB君の速さの比を最も簡単な整数の比で表すと何対何ですか。

720

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A君は18歩歩くのに18/30分かかります。

B君は14歩歩くのに14/35分かかります。

同じ道のりなので、

かかった時間の比は、A:B=0.6:0.4=3:2 なので、

速さは逆比になり、A:B=2:3 です。

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2015年2月 8日 (日)

2015年、城北埼玉中学の立体図形問題から、表面積と体積は?

図1の直方体を図2から図4のように各面に平行な面で切り、2つの直方体に分けます。

図2の2つの直方体の表面積の和は、図1の直方体の表面積より40c㎡増えます。

また、図3、図4のように切ると、

図1の直方体の表面積よりそれぞれ70c㎡、56c㎡増えます。

図1の直方体の表面積と体積を答えてください。

P208

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図2は面ABCDが2倍になるので、

ABCD=40÷2=20c㎡

図3は面AEFBが2倍になるので、

AEFB=70÷2=35c㎡

図4は面BFGCが2倍になるので、

BFGC=56÷2=28c㎡

図1の表面積=20×2+35×2+28×2=166c㎡

AB=5cm、BF=7cm、BC=4cm となるので、

図1の体積=5×7×4=140立方cm

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2015年、雙葉中学出題の流水算、川の流れの速さは?

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ある川の橋Aと橋Bの間を船で往復します。

上りにかかる時間は下りにかかる時間の1.6倍で、

静水での鉛の速さは時速18.2kmです。

この川の流れの速さは時速何kmですか。

Cssm077s

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上りの速さを時速□kmとすると、

下りの速さは図のように、1.6×□kmです。

1

点線部分が流れの速さなので、

(1.6×□-□)÷2=0.3×□ km です。

□+0.3×□=1.3×□=18.2 km なので、

□=14km

流れの速さは時速、14×0.3=4.2km となります。

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2015年2月 7日 (土)

12gの玉はどれとどれ?(第2回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

同じ大きさの10個の玉A~Iがあります。これらの10個の玉のうち、8個は1個の重さが10gで、残りの2個は1個の重さが12gです。
これらの玉をはかりにかけたら下の(ア)~(ウ)のようになりました。はかりのかたむきから考えて、12gの玉はどれとどれですか。

1_2

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----------------------------------------------------

10g→ABCIJ

12g→DEFGHのどれかですが、

GHが2つとも12gではアが成り立たず、

12gはGHのどちらか、そして、DEFのどれか1つ、

Hが10gとすると、Gが12gになり、ウが成り立たない。

したがって、Hが12gでGは10g、

すると、Eが12gでないとウが成り立たないので、

12gはEとH

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2015年、慶応中等部の問題から、整数の比は何対何?

図は正方形とおうぎ形を組み合わせた図形です。

影の部分と白い部分の面積の比を最も簡単な整数の比で表してください。

P207

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正方形の1辺を1とすると、

影部分の面積は、1×1×3.14÷4=3.14/4

白い部分の面積は、1-3.14/4=0.86/4

影:白=3.14:0.86=314:86=157:43

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2015年、麻布中学の出題問題から、公園の旅人算

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,コース上をあ→い→う→え→おの順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,の位置から出発してに進み,に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・・と池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

1527



(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

  ①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

  ②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

  Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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2015年2月 6日 (金)

2015年、駒場東邦中学の出題問題から、どんな一筆書き?

例図のように、1辺が1cmの小正方形の中に1と2がところどころに書かれています。

この小正方形の辺に沿って、全ての1が囲みの内側に、全ての2が囲みの外側になるように一筆書きの太線で囲みます。

ただし、囲みはとちゅうでくっついたりはしません。

1_2


下図について、囲まれる面積が、6c㎡である囲み方は(ア)通り、

7c㎡である囲み方は(イ)通りあります。

また、囲み方は全部で(ウ)通りあり、

その中で囲んだ図形が線対称な図形となる囲み方は(エ)通りあります。

空らんア~エにあてはまる数はいくつですか?

2

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----------------------------------------------------

一番面積が小さい囲み方は図の赤線部分で5c㎡になります。

3_2

6c㎡は、この赤部分に、A~Dの1c㎡正方形がそれぞれつく場合で、

ア=4通り、

7c㎡は、赤部分にAB、AC、AD、BC、BD、CD、DEを追加する、

イ=7通り、

Aが入るか入らないかの2通り、

Bが入るか入らないかの2通り、

Cが入るか入らないかの2通り、

DEはだけ入る場合と、両方入る場合と、両方入らない場合の3通り、

ウ=2×2×2×3=24通り、

赤部分、赤+B、赤+C、赤+BC の

エ=4通り

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2015年、桜蔭中学の規則性を見つける問題より

いろいろな大きさの正三角形を,次のように置いていきます。

はじめに,下の図1のように1辺の長さが1cmの正三角形3枚①②③と

1辺の長さが2cmの正三角形2枚④⑤を置きます。

次からは,できた図形の最も長い辺を1辺とする正三角形を

もとの図形のとなりに図2のようにうずまき状に置いていきます。

このとき,次の問いに答えなさい。

1

(1)⑰の正三角形を置いたとき,できる図形の周の長さは何cmですか。

(2)⑮の正三角形を置いたとき,

    できる図形の面積は①の正三角形の面積の何倍ですか。

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----------------------------------------------------

⑥以降の正三角形の1辺は、

(直前の正三角形 + 5つ前の正三角形) の長さになっていきます。

⑥=⑤+①

⑦=⑥+②

⑧=⑦+③

⑨=⑧+④

・・・・・・・・・

正三角形の辺の長さは

①=1、②=1、③=1、④=2、⑤=2、⑥=3、⑦=4、⑧=5、⑨=7、⑩=9、

⑪=12、⑫=16、⑬=21、⑭=28、⑮=37、⑯=49、⑰=65、⑱=86、・・・

(1)

できる図形はいつも5角形で、

周囲の長さは、たとえば図2の⑧までなら、⑤~⑨までの辺の合計になります。

2+3+4+5+7=21cm

⑰までなら、⑭+⑮+⑯+⑰+⑱ となり、

28+37+49+65+86=265cm

(2)

図2の5角形に⑤と⑦の正三角形を加えると、⑩の正三角形ができます。

①の正三角形が9×9=81個入っているので、

図2の⑧までの面積は、

⑩の面積-⑦の面積-⑤の面積 となり、

⑮までの面積は、

⑰の面積-⑭の面積-⑫の面積=

65×65-28×28-16×16=3185倍 です。

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2015年2月 5日 (木)

算数オリンピック問題に挑戦!1997年に何才になった?(1997年トライアル問題より)

ぼくのお兄さんは、西暦ABCD年の生まれです。

1997年、お兄さんは(A+B+C+D)才になりました。

何才になったのでしょうか?

Pfa021s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1997年以前で、西暦4桁の和の最大は1989年なので、

A+B+C+D=27歳が最大、

兄は、1997-27=1970年以降の生まれとわかります。

生まれ年      年齢       西暦の和

1970        27         17

1971        26         18

1972        25         19

1973        24         20

1974        23         21

1975        22         22

1976~1979は年齢が下がり、和が増えるので不適、

1980        17         18

1981~1989は年齢が下がり、和が増えるので不適、

1990         7         19

1991~1997は年齢が下がり、和が増えるので不適、

よって、22才

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ゲームは何回した? (2015年、女子学院中学)

勝つと点数が4点増え、負けると2点滅るゲームがあります。

AさんとBさんは最初に30点ずつ持っていて、このゲームを何回か行ったところ、

AさんはBさんよりも4回多く勝ち、AさんとBさんの点数の比は7:4となりました。

① 2人の点数の差は何点?

② Aさんの点数は何点?

③ ゲームは何回?

2

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1回の勝ち負けで、4+2=6点の差がつくので、

4回勝ちが多いと、6×4=24点 差がつきます。

この差が、⑦-④=③にあたるので、

①=24÷3=8点 で、

Aさん、8×⑦=56点

Bさん、8×④=32点

1回のゲームで、4-2=2点 2人の合計点が増えるので、

(56+32)-60=28点 増えているので、

ゲーム回数は、28÷2=14回です。

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2015年、女子学院中学の求積問題より

図のように直径10cmの円と、縦8、横6cmの長方形が2つあります。

影をつけた部分の面積は何c㎡ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

1

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----------------------------------------------------

2

緑部分はひし形になるので、

その面積は、10×7.5÷2=37.5c㎡

白い部分の合計は、(8×6-37.5)×2=21c㎡

斜線部分=5×5×3.14-(37.5+21)=20c㎡

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2015年2月 4日 (水)

三角形ができない!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

長さがすべて異なる7本の直線があります。いちばん短い直線の長さは1cm、いちばん長いのは21cmです。この7本の直線から3本をえらんで三角形を作ろうと思いましたが、どのように3本をえらんでも三角形を作ることができませんでした。 2番目に長い直線の長さは何cmですか。(直線の長さはすべて整数cmとします)

Cocolog_oekaki_2013_09_12_09_22

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1番短いのが1cmなので、2番目は2cmと仮定してみます。

3番目以降は、どの直線をえらんでも、

三角形を作ることができないのだから、

短い2本の長さの和以上になるはずです。

したがって、3番目に短いのは1+2=3cm以上になります。

以下、同様に、

4番目に短いのは 2+3=5cm以上

5番目に短いのは 3+5=8cm以上

6番目に短いのは 5+8=13cm以上

7番目に短い(つまり1番長い)のは

8+13=21cm

したがって2番目に長い直線は13cm。

2番目を3cmと仮定して同じように調べると、

最長が21cmをこえてしまうので、

2番目は2cmです。

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2015年、麻布中学の問題から  ア、イ、ウはいくつ?

下の2つの条件に当てはまるような、3つの2ケタの整数ア、イ、ウはいくつ?

 条件1 アからウを引いた数とイからウを引いた数との比は2:7

 条件2 アにウを足した数とイにウを足した数との比は5:8

Hpsd1201cs

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 まず、文章を図にして表すと、下の図1のようになります。

  Pic_4164a

図1で等しいものは、【7】-【2】=[ 8 ] - [ 5 ]

つまり、【5】=[ 3 ] なので、比を統一するには、

     [ 5 ]=【25/3】なので、【2】→【6】、[ 5 ]→【25】

     [ 8 ]=【40/3】なので、【7】→【21】、[ 8 ]→【40】

にすればよいので、下の図2のように、【6】:【21】:【25】:【40】

となります。

  Pic_4165a_3

【ウ】×2=19 のとき、【ウ】=9.5、【ア】=15.5、【イ】=30.5

ア、イ、ウは整数なので、これを2倍、4倍としてみると、

【ウ】=19のとき、【ア】=31、【イ】=61

【ウ】=38のとき、【ア】=62、【イ】=122

ア、イ、ウは2ケタなので、

 【ア】=31、【イ】=61、【ウ】=19

となります。

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2015年、開成中学の面積問題から

2

0_2

1

3

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(1)

図のように、エ+カ=オ×2 なので、

カ=オ×2-エ×1・・・・・・①

サ=2

(2)

図のように、ア+イ=オ+カ×2 なので、

①より、

ア+イ=

オ+(オ×2-エ×1)×2=オ+オ×4-エ×2=オ×5-エ×2・・・・・・②

シ=5、ス=2

(3)

イ+ウ+カ=オ なので、

①より、

イ+ウ+オ×2-エ×1=オ

イ+ウ+オ=エ・・・・・・③

セ=エ

(4)

ア=キ-(イ+ウ)×4 なので、

③より、

ア=キ-(エ-オ)×4=キ×1+オ×4-エ×4・・・・・・④

ソ=4、タ=4

②より、

イ=オ×5-エ×2-ア

④より、

イ=オ×5-エ×2-キ×1-オ×4+エ×4

イ=エ×2+オ×1-キ×1・・・・・・⑤

チ=2

③より、

ウ=エ-イ-オ

⑤より、

ウ=エ-エ×2-オ×1+キ×1-オ

ウ=キ×1-エ×1-オ×2

ツ=2

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