２０１５年、浦和明の星女子中学の問題から、「面の数」はいくつ？

図１のような立体があります。この立体のアからクの各頂点に，１，２，３，４，５，６，７，８の整数から，１個ずつ異なる整数をあてはめます。このとき，ＡからＦまでのそれぞれの面において，４つの頂点にあてはめた整数の和を考えます。例えば，アに１，イに２，ウに３，エに４をあてはめたとき，Ａの面の頂点にある整数の和は１＋２＋３＋４＝１０となります。この和の１０をＡの「面の数」と言うことにします。


（１）ＡからＦまでの６つの面の「面の数」の合計を答えなさい。

（２）ＡからＦまでの６つの面の「面の数」がすべて等しくなるように，アからクの各頂点に整数をあてはめました。このとき，アに７，イに１，工に２，キに５をあてはめていました。オとクにあてはめた整数を答えなさい。

（３）まず，アに１をあてはめてから，ＡからＦまでの６つの面の「面の数」がすべて等しくなるように，イからクの各頂点に整数をあてはめました。その後，ア，イ，ウ，エにある整数を，それぞれイ，ウ，エ，アに移したところ，Ｂの「面の数」が２０，Cの「面の数」が１２となりました。移す前に，イからクの各頂点にあった整数をそれぞれ答えなさい。

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（１）各頂点とも３回ずつ足されるので、

（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）×３＝１０８

（２）面の数がすべて等しくなるので、

面の数は１０８÷６＝１８　になります。

ア→７、イ→１、エ→２、なので、ウ＝１８－１０＝８

エ→２、ウ→８、キ→５、なので、ク＝１８－１５＝３

イ→１、ウ→８、キ→５、なので、カ＝１８－１４＝４

ア→７、イ→１、カ→４、なので、オ＝１８－１２＝６

（３）Ｂ面を考えると、

ア→イで変わらないのに、面の数は１８が２０になり２増えたので、

エ＝イ＋２　とわかります。

Ｃ面は６減ったので、ウはアより６多く、ウ＝１＋６＝７とわかります。

すると、イ＋エ＝１８－（１＋７）＝１０　になるので、

イ＝（１０－２）÷２＝４

エ＝４＋２＝６　とわかります。

エ＋ウ＝６＋７＝１３　より

ク＋キ＝５　になり、イ＝４なので、クとキは２と３の組み合わせしかなく、

キ＋カ＝７　より、キとカの組み合わせは２と５しかないので、

キ＝２　に決まります。

したがって、ク＝３　、　カ＝５　、　オ＝８　とわかります。

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