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2015年1月28日 (水)

2015年、浦和明の星女子中学の問題から、「面の数」はいくつ?

図1のような立体があります。この立体のアからクの各頂点に,1,2,3,4,5,6,7,8の整数から,1個ずつ異なる整数をあてはめます。このとき,AからFまでのそれぞれの面において,4つの頂点にあてはめた整数の和を考えます。例えば,アに1,イに2,ウに3,エに4をあてはめたとき,Aの面の頂点にある整数の和は1+2+3+4=10となります。この和の10をAの「面の数」と言うことにします。
1

(1)AからFまでの6つの面の「面の数」の合計を答えなさい。

(2)AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,アからクの各頂点に整数をあてはめました。このとき,アに7,イに1,工に2,キに5をあてはめていました。オとクにあてはめた整数を答えなさい。

(3)まず,アに1をあてはめてから,AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,イからクの各頂点に整数をあてはめました。その後,ア,イ,ウ,エにある整数を,それぞれイ,ウ,エ,アに移したところ,Bの「面の数」が20,Cの「面の数」が12となりました。移す前に,イからクの各頂点にあった整数をそれぞれ答えなさい。

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(1)各頂点とも3回ずつ足されるので、

(1+2+3+4+5+6+7+8)×3=108

(2)面の数がすべて等しくなるので、

面の数は108÷6=18 になります。

ア→7、イ→1、エ→2、なので、ウ=18-10=8

エ→2、ウ→8、キ→5、なので、ク=18-15=3

イ→1、ウ→8、キ→5、なので、カ=18-14=4

ア→7、イ→1、カ→4、なので、オ=18-12=6

(3)B面を考えると、

ア→イで変わらないのに、面の数は18が20になり2増えたので、

エ=イ+2 とわかります。

C面は6減ったので、ウはアより6多く、ウ=1+6=7とわかります。

すると、イ+エ=18-(1+7)=10 になるので、

イ=(10-2)÷2=4

エ=4+2=6 とわかります。

エ+ウ=6+7=13 より

ク+キ=5 になり、イ=4なので、クとキは2と3の組み合わせしかなく、

キ+カ=7 より、キとカの組み合わせは2と5しかないので、

キ=2 に決まります。

したがって、ク=3 、 カ=5 、 オ=8 とわかります。

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