シンプルで美しい面積問題（第５回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

●の角度がみな１５゜のとき、三角形ＡＢＣの面積は何ｃ㎡ですか。

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こたえ

△赤も△黄も二等辺三角形です。

下図のように、ＡからＢＣにひいた垂線ＡＯで、△ＡＢＣを切り、

点Ｏを中心に△ＡＯＣを１８０゜回転させて、

△Ａ’ＯＢを作ります。

∠ＡＢＡ’＝３０゜、ＡＢ＝Ａ’Ｂ　です。

Ａ’からＡＢに垂線Ａ’Ｈをひくと、

△Ａ’ＨＢは正三角形の半分の形なので、

Ａ’Ｈ＝Ａ’Ｂ÷２＝ＡＢ÷２

△ＡＢＣの面積＝

△ＡＢＡ’＝ＡＢ×（ＡＢ÷２）÷２＝ＡＢ×ＡＢ÷４・・・・（１）

ＡＢ＝ＡＣなので、図のように、

△ＡＤＣを△ＡＥＢのところにもっていき、重ねます。

四角形ＡＥＢＤは、

ＢＥ＝ＥＡ＝ＡＤ、

∠ＥＢＤ＝∠ＡＤＢ＝３０゜

∠ＢＥＡ＝∠ＤＡＥ＝１５０゜

この四角形を３つ作って、下図のように重ねます。

すると、△ＦＢＤと△ＧＥＡはともに正三角形になります。

ＡＢ＝ＡＦ、∠ＢＡＥ＝∠ＦＡＧ＝１５゜　なので、

∠ＢＡＦ＝９０゜　になります。

したがって、点ＡのＢＦに対する対称な点をＩとすると、

四角形青は正方形になります。

ＢＦ＝ＢＤ＝１０ｃｍなので、

正方形青の面積＝１０×１０÷２＝５０ｃ㎡　です。

５０＝ＡＢ×ＡＢ　なので（１）より、

△ＡＢＣの面積＝

ＡＢ×ＡＢ÷４＝５０÷４＝１２．５ｃ㎡　と求められます。

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