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2015年1月22日 (木)

シンプルで美しい面積問題(第5回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

●の角度がみな15゜のとき、三角形ABCの面積は何c㎡ですか。

1_2

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こたえ

△赤も△黄も二等辺三角形です。

2_2

下図のように、AからBCにひいた垂線AOで、△ABCを切り、

点Oを中心に△AOCを180゜回転させて、

△A’OBを作ります。

3

∠ABA’=30゜、AB=A’B です。

A’からABに垂線A’Hをひくと、

△A’HBは正三角形の半分の形なので、

A’H=A’B÷2=AB÷2

△ABCの面積=

△ABA’=AB×(AB÷2)÷2=AB×AB÷4・・・・(1)

4

AB=ACなので、図のように、

△ADCを△AEBのところにもっていき、重ねます。

四角形AEBDは、

BE=EA=AD、

∠EBD=∠ADB=30゜

∠BEA=∠DAE=150゜

この四角形を3つ作って、下図のように重ねます。

6

すると、△FBDと△GEAはともに正三角形になります。

AB=AF、∠BAE=∠FAG=15゜ なので、

∠BAF=90゜ になります。

したがって、点AのBFに対する対称な点をIとすると、

7

四角形青は正方形になります。

BF=BD=10cmなので、

正方形青の面積=10×10÷2=50c㎡ です。

50=AB×AB なので(1)より、

△ABCの面積=

AB×AB÷4=50÷4=12.5c㎡ と求められます。

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