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2015年1月13日 (火)

□に当てはまる数は?(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

大介君は0~9の数字をすべて入れかえて計算式をつくり変える遊びをしています。

たとえば0→5、1→3、2→9、3→7、4→0、5→2、6→1、7→8、8→4、9→6と入れかえると、

 68587105×18=1234567890 という式は
 ↓                 ↓    ↓
 14248352×34=3970218465 となってしまいます。

いま大介君は新しくきまりをつくって5つの計算式の数字を入れかえたところ、それぞれ次のようになりました。

5+7=9  5×4=30  4×4=54

9×9=79  3+7+9=□

□に当てはまる数はいくつでしょう?

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5つの式を次のように(ア)~(オ)とします。

5+7=9……(ア) 5×4=30……(イ)
4×4=54……(ウ) 9×9=79……(エ)
3+7+9=□……(オ)

まず(ウ)と(エ)に注目します。積が2けたになるかけ算の九九で、

同じ数2個の積の一の位ともとの数が一致するのは、

5×5=25と6×6=36の2つだけなので、

それらが(ウ)と(エ)になるはずです。

・5×5=25……(ウ)、6×6=36……(エ)のとき

数字の入れかえは5→4、2→5、6→9、3→7となるので、

(ア)の式を入れかえ前の式にもどすと2+3=6となり、不適当

・5×5=25……(エ)、6×6=36……(ウ)のとき

数字の入れかえは6→4、3→5、5→9、2→7となるので、

(ア)の式を入れかえ前の式にもどすと3+2=5となり、

この式は成り立つので、条件を満たします。

さらに(イ)を入れかえ前の式にもどすと、

3×6=18になるはずなので、

1→3、8→0と入れかえていることがわかります。

以上わかったことから(オ)を入れかえ前の式にもどすと、

1+2+5=8

したがって、□=0

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