２０１５年、神戸女学院中学部の出題問題より 円と正方形

　

上の図は、１辺１２ｃｍ の正方形と半径１２ｃｍの円一部を組み合わせたものです。

次の問に答えなさい。

（１）図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

（２）図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

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（１）下の図１において、三角形ＡＢＤ，三角形ＡＣＥ は３辺の長さが等しいので、

正三角形です。

　　　　　

角ＣＡＤ＝角ＤＡＥ＝角ＥＡＢ＝３０°とわかります。

よって、緑の扇形は、中心角３０°、半径１２ｃｍ です。

次に、下の図２のように、青い線の弧ＤＥ を作る半径１２ｃｍの円の中心Ｆ があり、

三角形ＡＤＥ と三角形ＦＤＥ は、３辺の長さが等しくなるので、合同です。

よって、扇形ＦＤＥ も中心角は３０°です。

よって、求める長さは、弧ＤＥ の長さの８倍で、

　 １２×２×３．１４×３０/３６０×８＝５０．２４ｃｍ

です。

（２）下の図３の緑の部分の面積は、

扇形ＡＤＥ － 三角形ＡＤＥ として求めることができます。

　　　　　

三角形ＡＤＥ の頂点Ｄ からＡＥに垂線を下ろし、交点を点Ｇとすると、

三角形ＡＤＧ は、角ＤＡＧ＝３０°、角ＡＤＧ＝６０°、角ＡＧＤ＝９０°

の直角三角形になるので、ＡＤ＝１２ｃｍ より、ＤＧ＝６ｃｍ です。

よって、求める面積は、図３の緑の部分の面積×８なので、

　（１２×１２×３．１４×３０/３６０－１２×６÷２）×８

＝（１２×３．１４－１２×３）×８

＝１２×０．１４×８＝９６×０．１４

＝１３．４４ｃ㎡

です。

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