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2015年1月30日 (金)

2015年、神戸女学院中学部の出題問題より 円と正方形

 

Pic_4154q_2

上の図は、1辺12cm の正方形と半径12cmの円一部を組み合わせたものです。

次の問に答えなさい。

(1)図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

(2)図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

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(1)下の図1において、三角形ABD,三角形ACE は3辺の長さが等しいので、

正三角形です。

     Pic_4155a

角CAD=角DAE=角EAB=30°とわかります。

よって、緑の扇形は、中心角30°、半径12cm です。

次に、下の図2のように、青い線の弧DE を作る半径12cmの円の中心F があり、

Pic_4156a_2

三角形ADE と三角形FDE は、3辺の長さが等しくなるので、合同です。

よって、扇形FDE も中心角は30°です。

よって、求める長さは、弧DE の長さの8倍で、

  12×2×3.14×30/360×8=50.24cm

です。

 

(2)下の図3の緑の部分の面積は、

扇形ADE - 三角形ADE として求めることができます。

     Pic_4157a

三角形ADE の頂点D からAEに垂線を下ろし、交点を点Gとすると、

三角形ADG は、角DAG=30°、角ADG=60°、角AGD=90°

の直角三角形になるので、AD=12cm より、DG=6cm です。

よって、求める面積は、図3の緑の部分の面積×8なので、

 (12×12×3.14×30/360-12×6÷2)×8

=(12×3.14-12×3)×8

=12×0.14×8=96×0.14

13.44c㎡

です。

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