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2015年1月 8日 (木)

偶数は何個?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

異なる1以上の47個の整数があり、それらの和は2000です。

この47個の整数の中には、

最も少ない場合で偶数は何個あるでしょうか?

 

Bo3

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2000は偶数ですから、

1以上の異なる47個の整数の和が偶数になるとき、

47個の整数は、「奇数が偶数個」と「偶数が奇数個」です。

そこで、偶数の個数が最も少ない場合を考えます。

偶数が1個の時、残り46個が奇数なので、

小さい方から46個の奇数の和を求めてみると、

1+3+5+・・・+91=(1+91)×46÷2=2116となり、

2000を超えるので適しません。

偶数が3個の時、残り44個が奇数なので、

小さい方から44個の奇数の和は、

1+3+5+・・・+87=(1+87)×44÷2=1936となり、

2000-1936=64は異なる3個の偶数の和で表すことができます。

例えば、64=2+4+58 など・・・

したがって、偶数の個数が最も少ない場合、

偶数の個数は3個です。

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