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2015年1月 9日 (金)

1/12になる分母の組み合わせは?(開成中学 2010年)

1

となる整数△と□の組をすべて答えてください。

ただし、□は△以上であるとします。

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△=□のとき、2/□=1/12 なので、□=24 です。

つまり、1/12 = 1/24 + 1/24 となります。ここで、

下の式1のように、1/△ と 1/□ が 1/24を基準として

      Pic_3175a_2

片方が大きい数字になれば、もう片方は小さくなり、

片方が小さい数字になれば、もう片方は大きくなる

という動きをします。

 

このことと、□は△以上であることから、問題文の場合、

式1の下の式があてはまり、△は24以下となります。

さらに、△は12より大きい数なので、12<△≦24 です。

 

△=13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24

について、計算していくと、

 △=13のとき、□=156

 △=14のとき、□=84

 △=15のとき、□=60

 △=16のとき、□=48

 △=17のとき、□ → 整数にならず

 △=18のとき、□=36

 △=19のとき、□ → 整数にならず

 △=20のとき、□=30

 △=21のとき、□=28

 △=22のとき、□ → 整数にならず

 △=23のとき、□ → 整数にならず

 △=24のとき、□=24

となります。

 

よって、(△、□)の組は、

 (13,156)、(14,84)、(15,60)、(16,48)

 (18,36)、(20、30)、(21、28)、(24,24)

の8組になります。

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