１/１２になる分母の組み合わせは？（開成中学 ２０１０年）

となる整数△と□の組をすべて答えてください。

ただし、□は△以上であるとします。

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△＝□のとき、２/□＝１/１２　なので、□＝２４ です。

つまり、１/１２ ＝ １/２４ ＋ １/２４ となります。ここで、

下の式１のように、１/△　と　１/□　が　１/２４を基準として

　　　　　　

片方が大きい数字になれば、もう片方は小さくなり、

片方が小さい数字になれば、もう片方は大きくなる

という動きをします。

このことと、□は△以上であることから、問題文の場合、

式１の下の式があてはまり、△は２４以下となります。

さらに、△は１２より大きい数なので、１２＜△≦２４ です。

△＝１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２３，２４

について、計算していくと、

　△＝１３のとき、□＝１５６

　△＝１４のとき、□＝８４

　△＝１５のとき、□＝６０

　△＝１６のとき、□＝４８

　△＝１７のとき、□　→　整数にならず

　△＝１８のとき、□＝３６

　△＝１９のとき、□　→　整数にならず

　△＝２０のとき、□＝３０

　△＝２１のとき、□＝２８

　△＝２２のとき、□　→　整数にならず

　△＝２３のとき、□　→　整数にならず

　△＝２４のとき、□＝２４

となります。

よって、（△、□）の組は、

　（１３，１５６）、（１４，８４）、（１５，６０）、（１６，４８）、

　（１８，３６）、（２０、３０）、（２１、２８）、（２４，２４）

の８組になります。

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