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2015年1月15日 (木)

何gおもりが必要か?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題)

1gと4gのおもり1個ずつと、上皿てんびんが1台あります。これらのおもりをてんびんのかた側または両側の皿にのせることによって、次のように4種類の重さをはかることができます。しかし、2gの重さをはかることはできません。

1

そこで、おもりをあと2個注文して、できるだけ大きい重さまで1gきざみにすべて(1g、2g、3g、4g、5g、……)はかれるようにしようと思います。何gと何gのおもりを注文すればよいでしょうか。

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4個のおもりではかれる重さとは、

4個のおもりの和と差であらわせる重さのこと。

したがって、おもりがもう1個あったらはかれる重さは、

以ドの4つになります。

①……(それまではかれた重さ)

②……①+(新しいおもりの重さ)

③……①-(新しいおもりの重さ)

④……(新しいおもりの重さ)-①

それまではかれた重さは1、3、4、5gなので、

まず2gがはかれる、できるだけ大きい重さのはかりを考えます。

④から□g-(1g+4g)=2g より、

7gのおもりが必要とわかります。

しかもこれで1~8gと10g~12gがはかれるようになります。

そこで同じように9gがはかれるように考えると、

やはり④から□g-(1g+4g+7g)=9g より、

21gのおもりがよいことがわかります。

しかもこれで1~29gまで、すべてはかれます。

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