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2015年1月 9日 (金)

花火を見ることができるのは?(芝中学 2014年)

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2種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。

 

① 花火【スター】は、3秒おきに点火し、点火してから4秒後に花火が開きます。

② 花火【ムーン】は、2秒おきに点火し、点火してから2秒後に花火が開きます。

ただし、【スター】と【ムーン】の2種類の花火が同時に開いてしまうときには、

【ムーン】の点火を見送ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の1分間に何発の花火を見ることができますか。

(2)【スター】と【ムーン】合わせて 100発の花火が開くのに2つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒かかりますか。

Ilm02_bd19011s

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(1)最初に点火してから【スター】を見ることができるのは、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、で、3で割ると1余るときです。

一方、【ムーン】を見ることができるのは、

2秒後、4秒後、6秒後、・・・、で、2の倍数(偶数)のときです。

ただし、同時に見ることができてしまうときは、【ムーン】は打ち上げられないので、

4秒後、10秒後、のようなときは【スター】だけになります。

 

【スター】を見ることが出来る時間は、偶数と奇数が交互にやってきていて、

【スター】は、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、58秒後

の19回見ることができ、そのうち 10回が【ムーン】と重なることがわかります。

(【ムーン】の回数のうち10回は打ち上げられない)

【ムーン】は、2秒後、4秒後、・・・、60秒後 の30回のうち

10回が打ち上げられないので、30-10=20回 見ることができます。

よって、【スター】と【ムーン】を合わせると、1分間で、

 19+20=39回

見ることができます。

 

(2)2秒おきと3秒おきに打ち上げられるので、

最小公倍数の6秒をひとまとまりにして考えると、

4秒後から10秒後にかけての【スター】と【ムーン】が見られるのは、

 【スター】 ・・・ (4秒後)   7秒後   10秒後

 【ムーン】 ・・・    6秒後   8秒後

の5回です。10秒後から16秒後にかけては、

 【スター】 ・・・ (10秒後)   13秒後   16秒後

 【ムーン】 ・・・    12秒後   14秒後

となっています。この規則正しい並びの数え方は色々ありますが、

2秒後の【ムーン】と4秒後【スター】の2回を除いて、

4秒後から10秒後の間で4回、10秒後から16秒後の間で4回のように、

下線を引いた4回ずつで考えると、

 (100-2)÷4=24あまり2

なので、6秒を24回くりかえし、あと2回(3秒後)になるので、

 4(最初の4秒)+6×24(回)+3=151秒後=2分31秒後

に100発目を見ることができます。

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