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2015年1月20日 (火)

この問題、正解できたらすごい!今年2015年、灘中学1日目出題問題から

2桁の整数Aがあります。

Aの一の位と十の位を入れ替えると2桁の整数になりました。

さらに、その数にAをかけると、12で割り切れる整数になりました。

Aとして考えられる整数は何個ありますか?

Mpsb1101cs

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A=□△ とすると、

□△×△□=12×○ になるので、

△×□ は偶数になります。

△、□ともに0ではないので、偶数になる組み合わせは、

1-2、1-4、1-6、1-8

2-2、2-3、2-4、2-5、2-6、2-7、2-8、2-9

3-4、3-6、3-8

4-4、4-5、4-6、4-7、4-8、4-9

5-6、5-8

6-6、6-7、6-8、6-9

7-8

8-8、8-9

このうち、12の倍数になる組み合わせは、

1-2の12、2-4の24、2-7の72、3-6の36、

4-8の48と84、6-9の96 がみつかるので、

Aは12、21、24、42、72、27、36、63、48、84、96、69 の12個、

・・・・・・・・と答えると、間違いなのです。

じつはもう一つだけ、かけ合わせると12の倍数になる組み合わせがあるのです!

それは、66!

66×66=4356

4356÷12=363

66=2×3×11

66×66=2×3×11×2×3×11=3×11×11×12=363×12=4356

したがって、13個が正解です!

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コメント

これは難しいというか、うっかりします。
Aとして2桁で12の倍数をひろっていくと60をのぞくと7つ。
その7つのそれぞれで10の位と1の位をいれかえたもので重複しないものをしらべると5つ。
それでまず12個ですが、そのあとAとして2桁で6の倍数で1の位が0でないものをしらべていかないとなのですが、もしAの10の位と1の位をいれかえたもので2の倍数すなわち偶数のものがあれば、Aが6の倍数でAの10の位と1の位をいれかえたものが2の倍数であるからその積は12の倍数となってその数として66だけが発見される、みたいなオチなんでしょう。
とにかく緊張してる入試本番で冷静になってないと難しい問題だなと。

Aが3の倍数であることと,その逆順が3の倍数であることは同値です.
条件は,A(および逆順)が3の倍数かつ,Aと逆順の積が4の倍数であることです.

(i)Aまたはその逆順が4の倍数のときと,(ii)A,逆順がともに偶数のときに,
Aと逆順の積は4の倍数となります.

(i)は,12の倍数またはその逆順で,12,24,36,48,72,96と逆順の12通り.
(ii)は,それ以外には,6の奇数倍で,十の位も偶数となる(42),66
[42は24の逆順であり,考察済み]だけなので,
12+1=13(通り)ですね.

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