この問題、正解できたらすごい！今年２０１５年、灘中学１日目出題問題から: 中学受験ー算数解き方ポータル

２桁の整数Ａがあります。

Ａの一の位と十の位を入れ替えると２桁の整数になりました。

さらに、その数にＡをかけると、１２で割り切れる整数になりました。

Ａとして考えられる整数は何個ありますか？

Mpsb1101cs

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Ａ＝□△　とすると、

□△×△□＝１２×○　になるので、

△×□　は偶数になります。

△、□ともに０ではないので、偶数になる組み合わせは、

１－２、１－４、１－６、１－８

２－２、２－３、２－４、２－５、２－６、２－７、２－８、２－９

３－４、３－６、３－８

４－４、４－５、４－６、４－７、４－８、４－９

５－６、５－８

６－６、６－７、６－８、６－９

７－８

８－８、８－９

このうち、１２の倍数になる組み合わせは、

１－２の１２、２－４の２４、２－７の７２、３－６の３６、

４－８の４８と８４、６－９の９６　がみつかるので、

Ａは１２、２１、２４、４２、７２、２７、３６、６３、４８、８４、９６、６９　の１２個、

・・・・・・・・と答えると、間違いなのです。

じつはもう一つだけ、かけ合わせると１２の倍数になる組み合わせがあるのです！

それは、６６！

６６×６６＝４３５６

４３５６÷１２＝３６３

６６＝２×３×１１

６６×６６＝２×３×１１×２×３×１１＝３×１１×１１×１２＝３６３×１２＝４３５６

したがって、１３個が正解です！

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これは難しいというか、うっかりします。
Aとして2桁で12の倍数をひろっていくと60をのぞくと7つ。
その7つのそれぞれで10の位と1の位をいれかえたもので重複しないものをしらべると5つ。
それでまず12個ですが、そのあとAとして2桁で6の倍数で1の位が0でないものをしらべていかないとなのですが、もしAの10の位と1の位をいれかえたもので2の倍数すなわち偶数のものがあれば、Aが6の倍数でAの10の位と1の位をいれかえたものが2の倍数であるからその積は12の倍数となってその数として66だけが発見される、みたいなオチなんでしょう。
とにかく緊張してる入試本番で冷静になってないと難しい問題だなと。

投稿: | 2015年12月31日 (木) 09時05分

Aが3の倍数であることと，その逆順が3の倍数であることは同値です．
条件は，A(および逆順)が3の倍数かつ，Aと逆順の積が4の倍数であることです．

(i)Aまたはその逆順が4の倍数のときと，(ii)A,逆順がともに偶数のときに，
Aと逆順の積は4の倍数となります．

(i)は，12の倍数またはその逆順で，12,24,36,48,72,96と逆順の12通り．
(ii)は，それ以外には，6の奇数倍で，十の位も偶数となる(42),66
[42は24の逆順であり，考察済み]だけなので，
12+1=13(通り)ですね．

投稿: たけちゃん | 2016年1月 5日 (火) 00時16分

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