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2015年1月31日 (土)

2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

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45°傾けた状態は図のようになります。

Capture_2015_01_31_08_49_55_296

Capture_2015_01_31_08_51_01_359

水がこぼれた部分を2つの部分に分けるとわかりやすくなります。

Capture_2015_01_31_08_51_46_140

図のように、直角二等辺三角形と台形部分に分けられるので、

1

こぼれた水の体積は、

5×5÷2×12+(4+9)×5÷2×12=540立法cm

容器を元にもどすと、

図のように両方の直角二等辺三角形部分が長方形になり、

2

右側はPより2.5cm水面が下がり、底から13.5cm、

左側はAより2.5cm水面が下がるのですが、

さらにPまで右側に水が流れ込むことになるので、

その分、1.5cmは右側の水面を上げることになります。

したがって、Cを含む右側の水面の高さは、

13.5+1.5=15cm になります。

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