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2015年1月

2015年1月31日 (土)

紙の枚数は?長さは?(第11回算数オリンピック、トライアル問題より)

横とたての長さが整数で、横がたてよりも12cm長い同じ大きさの長方形の紙がたくさんあります。この長方形の紙を図1のようにすべて横に並べたら、全体の長さは819 cm で、図2のように順にたてと横に並べていったら、全体の長さは579cmでした。では、図3のように並べると全体の長さは何cmになりますか。

1

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819=3×3×7×13 と、約数は奇数ばかりなので、

紙の枚数は奇数とわかります。

図2でたて長に向きを変えた枚数は、

(819-579)÷12=20枚で、

全体の枚数は奇数なので、20×2-1=39枚、

これは819の約数なので条件に合います。

(20×2+1=41枚は819の約数にならない)

これにより、長方形の紙の横の長さは819÷39=21cm、

たての長さは21-12=9cmとわかります。

図3で、3枚ずつの組はちょうど39÷3=13組できるので、

全体の長さは(21+9)×13=390cmとなります。

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2015年、開智中学の問題から  10の位はいくつ?

21を2015回かけた数の10の位はいくつですか?

Apa0307s

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1の位はいくつかけても1なので、

1回 21→10の位は2

2回 21×21→1×2+2×1→10の位は4、1の位は1

3回 21×21×21→1×4+2×1→10の位は6、1の位は1

4回 21×21×21×21→1×6+2×1→10の位は8、1の位は1

5回 21×21×21×21×21→1×8+2×1→10の位は0、1の位は1

6回 21×21×21×21×21×21→1×0+2×1→10の位は2、1の位は1

2、4、6、8、0の5つの数が繰り返されるので、

2015は5で割り切れるので、

2015回かけた10の位は0です。

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2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

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45°傾けた状態は図のようになります。

Capture_2015_01_31_08_49_55_296

Capture_2015_01_31_08_51_01_359

水がこぼれた部分を2つの部分に分けるとわかりやすくなります。

Capture_2015_01_31_08_51_46_140

図のように、直角二等辺三角形と台形部分に分けられるので、

1

こぼれた水の体積は、

5×5÷2×12+(4+9)×5÷2×12=540立法cm

容器を元にもどすと、

図のように両方の直角二等辺三角形部分が長方形になり、

2

右側はPより2.5cm水面が下がり、底から13.5cm、

左側はAより2.5cm水面が下がるのですが、

さらにPまで右側に水が流れ込むことになるので、

その分、1.5cmは右側の水面を上げることになります。

したがって、Cを含む右側の水面の高さは、

13.5+1.5=15cm になります。

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2015年1月30日 (金)

ワールドカップの対戦結果は?(第6回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

サッカーのワールドカップ予選で、A国とB国とC国とD国が同じ組で1試合ずつのリーグ戦(総当たり戦)形式で対戦しました。
どの試合でも勝ったチームには勝ち点3、負けたチームは勝ち点0、引き分けた場合は両チームに勝ち点1ずつが与えられ、全試合が終わったときに合計勝ち点の多いチームが上の順位になります。
次のことがわかっているとき、D国の各国との対戦結果を勝ちは○、負けは×、引き分けは△として答えなさい。

・合計勝ち点は4チームとも奇数でした。
・A国チームが単独1位でした。
・B国チームは引き分けが2試合あり、そのうちの1試合はC国チームが相手でした。

Ilm12_ab01093s

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Bは引き分け2試合で勝ち点2なので、

奇数になるのはあと1試合に勝ったときだけです。

1勝2引き分けで、勝ち点は5

Aはこれを上回ったので、勝ち点は7か9ですが、

Bは無敗なので、Aは3勝はありえず、2勝1引き分けで、

勝ち点は7

BはAとCと引き分け、Dに勝ったことになります。

DはAとBに負けたので、奇数になるためには、

Cと引き分けか勝ち、

ところがCはDと引き分けると、Bとも引き分けで、

Aに負けているので、勝ち点は2の偶数になってしまうので、

Dに負けも勝ち点1の4位、

したがって、DはAに×、Bに×、Cに○の勝ち点3で3位

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ひらめき算数1分パズル どう分割する? (甲南中学 2000)

図のような図形を点線に沿って4つの合同な図形に分けるには、

どのように分ければよいでしょうか?

Bandicam_20150130_082447613

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Bandicam_20150130_082457750

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□と△はいくつ?(広尾学園中学 2014年)

下の比の式が成り立つように、□と△に数を入れてください。

   Pic_4155q

Question153729_150

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下のように、比の式では、

   Pic_4156a

左の比の1番目が、右の比の1番目に、

左の比の2番目が、右の比の2番目に、

左の比の3番目が、右の比の3番目に、それぞれ対応していて、

1番目の数は、1/3 が 1/4 になっていて、何倍になっているかというと、

 1/4÷1/3=3/4倍

になっていることがわかります。

よって、2番目、3番目の数も 3/4倍されて、

 □=1/4×3/4=3/16

 △=1/5×3/4=3/20

と求められます。

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2015年、神戸女学院中学部の出題問題より 円と正方形

 

Pic_4154q_2

上の図は、1辺12cm の正方形と半径12cmの円一部を組み合わせたものです。

次の問に答えなさい。

(1)図の色の付いた部分の周りの長さの和を求めなさい。

(2)図の色の付いた部分の面積の和を求めなさい。

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(1)下の図1において、三角形ABD,三角形ACE は3辺の長さが等しいので、

正三角形です。

     Pic_4155a

角CAD=角DAE=角EAB=30°とわかります。

よって、緑の扇形は、中心角30°、半径12cm です。

次に、下の図2のように、青い線の弧DE を作る半径12cmの円の中心F があり、

Pic_4156a_2

三角形ADE と三角形FDE は、3辺の長さが等しくなるので、合同です。

よって、扇形FDE も中心角は30°です。

よって、求める長さは、弧DE の長さの8倍で、

  12×2×3.14×30/360×8=50.24cm

です。

 

(2)下の図3の緑の部分の面積は、

扇形ADE - 三角形ADE として求めることができます。

     Pic_4157a

三角形ADE の頂点D からAEに垂線を下ろし、交点を点Gとすると、

三角形ADG は、角DAG=30°、角ADG=60°、角AGD=90°

の直角三角形になるので、AD=12cm より、DG=6cm です。

よって、求める面積は、図3の緑の部分の面積×8なので、

 (12×12×3.14×30/360-12×6÷2)×8

=(12×3.14-12×3)×8

=12×0.14×8=96×0.14

13.44c㎡

です。

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2015年1月29日 (木)

2015年、灘中学出題問題より、材料Aは何kg?

材料Aの1/4の部分にはAの1kgにつき材料Bを2kg、

Aの3/4の部分にはAの2kgにつきBを3kg混ぜて2種類の製品を作る予定でしたが、

間違えてAの3/4の部分にはAの1kgにつきBを2kg、

Aの1/4の部分にはAの2kgにつきBを3kg混ぜてしまいました。

その結果、Bは初めの予定よりも24kg多く必要になりました。

材料Aは何kgありましたか?

Apf0107s

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材料Aを図のように8単位に分けてみると、

1_2

予定では、

1/4の部分に材料Bは②×2=④必要で、

3/4の部分に材料Bは③×3=⑨必要で、

合計 ④+⑨=⑬ 必要でした。

それが間違えたので、

1/4の部分に材料Bは③×1=③必要で、

3/4の部分に材料Bは②×6=⑫必要で、

合計 ③+⑫=⑮ 必要になりました。

その差は、⑮-⑬=②、これが24kgなので①は12kgです。

最初の1/4に材料Bは、12×4=48kg必要だったので、

材料Aは、48÷2=24kg

3/4に材料Bは、12×9=108kg必要だったので、

材料Aは、108÷3×2=72kg

合計 24+72=96kg でした。

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2015年、開智中学の問題から、大きい方の面積は?

図のように、側面がすべて合同な二等辺三角形の正五角すいがあります。

点Aから正五角すいの側面を最も短い道のりで1周して点Aにもどる折れ線で、

側面を2つの部分に分けます。

2つの部分のうち、大きい方の面積は何c㎡ですか。

1

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1側面の二等辺三角形の面積は、

図のようにDからPCに垂線を下ろすと、

△PDHは90°、60°、30°の直角三角形になり、

DHはPDの半分の1cmなので、

2×1÷2=1c㎡ と求められます。

2

AからAまでの最短線は図のように展開図上の直線(赤線)になるので、

大きいほうの側面は図の黄色部分です。

白い二等辺三角形は図のように変形すると、

面積は1側面の面積と同じ1c㎡なので、

3_2

黄色部分の面積=5-1=4c㎡

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2015年1月28日 (水)

2015年、ラ・サール中学出題の分数問題より

1_2

のどれにかけても整数となる分数で、最小のものは?

Hpsd1201cs

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7/9、21/10、35/6 整数になる最小の分数は、

分母が3分数の分子の最大公約数、

分子が3分数の分母の最小公倍数になります。

90/7 または 12と6/7

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2015年、浦和明の星女子中学の問題から、「面の数」はいくつ?

図1のような立体があります。この立体のアからクの各頂点に,1,2,3,4,5,6,7,8の整数から,1個ずつ異なる整数をあてはめます。このとき,AからFまでのそれぞれの面において,4つの頂点にあてはめた整数の和を考えます。例えば,アに1,イに2,ウに3,エに4をあてはめたとき,Aの面の頂点にある整数の和は1+2+3+4=10となります。この和の10をAの「面の数」と言うことにします。
1

(1)AからFまでの6つの面の「面の数」の合計を答えなさい。

(2)AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,アからクの各頂点に整数をあてはめました。このとき,アに7,イに1,工に2,キに5をあてはめていました。オとクにあてはめた整数を答えなさい。

(3)まず,アに1をあてはめてから,AからFまでの6つの面の「面の数」がすべて等しくなるように,イからクの各頂点に整数をあてはめました。その後,ア,イ,ウ,エにある整数を,それぞれイ,ウ,エ,アに移したところ,Bの「面の数」が20,Cの「面の数」が12となりました。移す前に,イからクの各頂点にあった整数をそれぞれ答えなさい。

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(1)各頂点とも3回ずつ足されるので、

(1+2+3+4+5+6+7+8)×3=108

(2)面の数がすべて等しくなるので、

面の数は108÷6=18 になります。

ア→7、イ→1、エ→2、なので、ウ=18-10=8

エ→2、ウ→8、キ→5、なので、ク=18-15=3

イ→1、ウ→8、キ→5、なので、カ=18-14=4

ア→7、イ→1、カ→4、なので、オ=18-12=6

(3)B面を考えると、

ア→イで変わらないのに、面の数は18が20になり2増えたので、

エ=イ+2 とわかります。

C面は6減ったので、ウはアより6多く、ウ=1+6=7とわかります。

すると、イ+エ=18-(1+7)=10 になるので、

イ=(10-2)÷2=4

エ=4+2=6 とわかります。

エ+ウ=6+7=13 より

ク+キ=5 になり、イ=4なので、クとキは2と3の組み合わせしかなく、

キ+カ=7 より、キとカの組み合わせは2と5しかないので、

キ=2 に決まります。

したがって、ク=3 、 カ=5 、 オ=8 とわかります。

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2015年1月27日 (火)

平面図形、難問に挑戦!(第10回算数オリンピック、ファイナルより)

長方形ABCDがあり、図のようにこの長方形の外側に点Eをとり、各頂点と直線で結び、ADとEBの交わる点をFとします。

△黄が18c㎡、四角形緑が50c㎡、△水色が8c㎡のとき、△灰色は何c㎡ですか。

1

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図のように、AD、BCの延長線と、

Eから下ろした垂直な線との交点をそれぞれG、Hとします。

2_3 

△EAD+△ABD=太赤線で囲った四角形の面積は、

AD×EG÷2+AD×GH÷2

=AD×(EG+GH)÷2

=AD×EH÷2

=BC×EH÷2

=太青線で囲った三角形EBCの面積 です。

△灰色=□c㎡ とすると、

太赤線部分=18+□+△ABD

=△太青線=□+8+50=□+58

18+△ABD=58

△ABD=40c㎡

△FBD=50-40=10c㎡

△白=40-10=30c㎡

△黄と△灰色は高さが同じで、面積比=底辺の長さ比

AF:FD=30:10=3:1

△黄:△灰色=3:1

△灰色=18÷3=6c㎡

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2015年、洛南高附属中学出題問題より、立方体は何個?

1つの立方体を、同じ大きさの小さな立方体何個に分けると、

小さな立方体の表面積の合計が、もとの立方体の表面積の6倍になりますか?

Ripo1

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1つの面に平行に1回切ると2面分表面積が増えます。

6倍になるには36面になればいいわけで、

36-6=30面増えることになるので、

切断回数は30÷2=15回

直交する3つの面に平行に、15÷3=5回ずつ等間隔に切断します。

したがって、たて、横、高さに6個ずつ立方体ができるので、

合計は 6×6×6=216個です。

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2015年、甲陽学院中学校(1日目) 長さと面積は?

図のような長方形ABCDがあり、Eは辺BCの真ん中の点で、

AB、BC、AEの長さがそれぞれ 8cm、12cm、10cmです。

この長方形を頂点Aの周りに回転して、

辺ABが直線AEと重なるようにしたものをAFGHとし、

辺CDと辺FGが交わる点をIとします。

1

(1)FIの長さを求めなさい。

(2)四角形AFIDの面積を求めなさい。

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(1)GFを延長して、BCとの交点をJとします。

2_2

直角三角形ABEと△黄と△IJCは相似になり、

相似比は6:8:10=3:4:5

EF=10-8=2cm

FJ=2×4/3=8/3cm

EJ=2×5/3=10/3cm

CJ=6+10/3=28/3cm

IJ=28/3×5/4=35/3cm

FI=35/3-8/3=27/3=9cm

(2)

CI=35/3×3/5=7cm

DI=8-7=1cm

四角形AFIDの面積=8×9÷2+1×12÷2=42c㎡

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2015年1月26日 (月)

今年2015年ラ・サール中学の出題問題より、この角度は?

図は長方形を2回折ってできた図形です。

角アは何度ですか?

1_3

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2

○=(90-54)÷2=18

角A=90-18=72°

□=46°より、△=90-46=44°

角A+△=72+44=116°

△+●=116÷2=58°

●=58-44=14°

角ア=180-(134+14)=32°

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今年2015年、ラ・サール中学で出題された、面積比、長さ比問題より

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三角形PCDの面積は24.3c㎡です。

AP:BPを最も簡単な整数の比で答えなさい。

1

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四角形ABCDは台形になるので、面積は

(4+6)×9÷2=45c㎡

△APD+△PBC=45-24.3=20.7c㎡

4×AP÷2+6×BP÷2=20.7

2×AP+3×BP=20.7

AP=9-BP より

2×(9-BP)+3×BP=20.7

BP+18=20.7

BP=2.7cm

AP=9-2.7=6.3cm

AP:BP=6.3:2.7=7:3

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2015年1月25日 (日)

硬貨の魔方陣、解けますか?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

下の表の①~⑯のそれぞれの場所に、5円玉、10円玉、50円玉のどれかが1枚ずつ置いてあります。表の合計は①+②+③+④=75、①+⑤+⑨+⑩=80のように、たて、横一列にならんだ4個の硬貨の合計金額を示しています。
このとき、表の①~⑯のそれぞれの場所には、どの硬貨が置いありますか。

1_2

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金額の少ないところから考えていきます。

③+⑦+⑪+⑮=20円では4つとも5円しか置けない。

⑨+⑩+⑪+⑫=35円では⑪が5円なので、

残りの3つは10円しか置けない。

⑬+⑭+⑮+⑯=30円では⑮が5円なので、

残りは5円が1個と10円が2個。

⑬と⑯が5円ということはありえないから、

それぞれ10円で⑭が5円。

⑤+⑥+⑦+⑧=65円では、

⑦が5円なので、残りは50円が1個と5円が2個。

⑥と⑧が50円ということはありえないので、

それぞれ5円で⑤が50円。

2_2

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5は何通りの表し方が? (慶應義塾普通部 2002年)

3を1以上の整数の和で表すと、1+2、1+1+1の2通りになります。

5を同じように1以上の整数の和で表すと、何通りの表し方がありますか。

Student148613_150

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まず、2つの整数で表す場合は、

5=1+4=2+3 ・・・ 2通り

次に、3つの整数で表す場合は、

5=1+1+3=1+2+2 ・・・ 2通り

次に、4つの整数の和で表す場合は、

5=1+1+1+2 ・・・ 1通り

最後に、5つの整数の和で表す場合は、

5=1+1+1+1+1 ・・・ 1通り 

 

よって、合計すると、2+2+1+1=6通り  です。

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灘中学、今年2015年の出題問題より、場合の数は?

        Pic_4153q

上の図のように、1辺の長さが 6cmの正方形の周上に、

A から L までの点が 2cmごとにあります。

これらの12個の点から 3個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。

三角形は全部で【 ア 】個作ることができ、

そのうち二等辺三角形は【 イ 】個です。

ただし、合同な三角形であっても、選んだ点が違えば別の三角形と考えます。

【 ア 】、【 イ 】に入る数を答えなさい。

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 12個の点から3個を選ぶ選び方は、

   12×11×10÷(3×2×1)=220通り

あります。

このうち、三角形を作ることができないのは、

3点A,B,C を選んだ場合のように、同じ辺上の4点から3点を選んだときです。

辺AD上から3点を選ぶ方法は、4通りあり、

他の4辺でも同様に4通りあるので、4×4=16通り で

三角形を作ることができません。

よって、三角形は、220-16=204個 作ることができます。

(2)二等辺三角形は、下の図の9種類を作ることができ、

 Pic_4154a

これらを 90度ずつ回転することで、

9×4=36個 の二等辺三角形を作れることがわかります。

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2015年1月24日 (土)

今年2015年、洛南高附属中学の出題問題より、面積は?

面積が9c㎡の円の円周を6個の点が6等分しています。

影の部分の面積は何c㎡ですか?

1

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黄色部分を分割して、それぞれ緑部分に移動すると、

円の2/3になりますね。

2

9×2/3=6c㎡

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今年2015年の渋谷教育学園幕張中学、論理問題から

異なる4つの整数があります。

この4つの整数から2つの整数を選び、その2つの和と差を求めます。

2つの整数の選び方をすべて考えて、それぞれの和と差を求めます。

このようにして求めたすべての数を大きい順にならべると、

     95,85,83,49,48,47,(ア),37,36,12,10,2

となりました。

(ア)にあてはまる整数は何ですか。

Pce022s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(ある2数の和-ある2数の差)÷2は小さいほうの数になるので、

カッコ内は(奇数-奇数)か(偶数-偶数)の偶数でないと整数にはなりません。

奇数が6個、偶数が5個なので、上記理由からアは偶数です。

アは38、49、42、44、46のいずれかになります。

大きい順にA、B、C、Dとすると、

図のように一番小さい数を□、差を○、△、●で表すことができます。

1

差として考えられる数は、○、△、●と○+△、△+●、○+△+●です。

一番小さい2はある数とある数の差に間違いないので、

2を含む○、△、●の可能性がある組み合わせを探すと、

2、10、36 か 2、10、37 が見つかります。

2、10、36 の場合、

○+△+●=48 、 ○+△または△+● が、12、38、46のどれか・・・

2、10、37 の場合、

○+△+●=49 、 ○+△または△+● が、12、39、47のどれか・・・

一番大きい95はA+Bなので、

A+B=95=2×□+○+△+●+○+△ と表すと、

2、10、36 の場合

A+B=95=2×□+48+○+△

47=2×□+○+△

○+△がいずれも偶数なので、式は成立しません。

2、10、37 の場合

A+B=95=2×□+49+○+△

46=2×□+○+△

○+△が12のときだけ式が成立し、

2×□=34

□=17=D

A=17+49=66

B=95-66=29

○+△=12ですが、△=2ではC=27になりB+C=56と不適当、

△=10、○=2

C=29-10=19

ア=B+D=46

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2015年1月23日 (金)

灘中学、今年2015年出題のおもしろい分数問題から

Bandicam_20150123_090427852_3

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0.023255813953488372093・・・

アンダーライン部分の21桁が繰り返されるわけですが、

1/43×10 だと、

0.232558139534883720930・・・ の21桁、

1/43×100 だと、

2.325581395348837209302・・・ の21桁になるので、

0.02325581395348372093・・・

小数第12位と13位の34のところに83がくるために、1000倍してみます。

1/43×1000=

23.255813953488372093023・・・

1/43×1000=1000/43=23と11/43 となり、

①=11

0.02325581393488372093・・・

39が34のところにくるために、1000で割ってみます。

1/43×1/1000=

0.000023255813953488372093・・・

小数第1位、2位、3位の093をもってくれば、21桁が循環する小数になります。

1/43×1/1000+93/1000=

1/43000+(93×43)/43000=

1/43000+3999/43000=

4000/43000=

4/43

②=4

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今年2015年、渋谷教育学園幕張中学で出題された論理問題から

異なる3つの整数A,B,Cがあります。

この中から,まずAとBを選び,その2つの和と差を求めます。

同じように,AとC,BとCでそれぞれ和と差を求めます。

このようにして求めたすべての数を大きい順にならべると

    69、57、36、33、21、12

となりました。

はじめの3つの整数A,B,Cはいくつですか。大きい順にならべてください。

Apf

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

3つの数を、大、中、小とすると

大+中=69 です。

(大-中)が偶数では大、中とも整数にならないので、差は奇数です。

大-中=57だと、中=(69-57)÷2=6、大=69-6=63 となって、

(大+小)は64以上となり、該当する数字がありません。

大-中=33だと、中=(69-33)÷2=18、大=69-18=51 となって、

大+小=57しかなく、小=57-51=6 となりますが、

中+小=18+6=24となって、該当する数字がありません。

したがって、大-中=21で、中=(69-21)÷2=24、大=69-24=45

小=57-45=12 となり、

大きい順に、45、24、12 です。

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2015年1月22日 (木)

シンプルで美しい面積問題(第5回ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

●の角度がみな15゜のとき、三角形ABCの面積は何c㎡ですか。

1_2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

△赤も△黄も二等辺三角形です。

2_2

下図のように、AからBCにひいた垂線AOで、△ABCを切り、

点Oを中心に△AOCを180゜回転させて、

△A’OBを作ります。

3

∠ABA’=30゜、AB=A’B です。

A’からABに垂線A’Hをひくと、

△A’HBは正三角形の半分の形なので、

A’H=A’B÷2=AB÷2

△ABCの面積=

△ABA’=AB×(AB÷2)÷2=AB×AB÷4・・・・(1)

4

AB=ACなので、図のように、

△ADCを△AEBのところにもっていき、重ねます。

四角形AEBDは、

BE=EA=AD、

∠EBD=∠ADB=30゜

∠BEA=∠DAE=150゜

この四角形を3つ作って、下図のように重ねます。

6

すると、△FBDと△GEAはともに正三角形になります。

AB=AF、∠BAE=∠FAG=15゜ なので、

∠BAF=90゜ になります。

したがって、点AのBFに対する対称な点をIとすると、

7

四角形青は正方形になります。

BF=BD=10cmなので、

正方形青の面積=10×10÷2=50c㎡ です。

50=AB×AB なので(1)より、

△ABCの面積=

AB×AB÷4=50÷4=12.5c㎡ と求められます。

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今年2015年の西大和学園中学校(女子)、出題問題から

六角形ABCDEFの6つの角はすべて120°で,

辺AB,辺CD,辺EFの長さは順に12cm,6cm,7cmとなっています。

残りの辺BC,辺DE,辺FAのうち長さの最大の辺は辺 [ア] で,

長さの最小の辺 [イ] より [ウ]cm長いことになります。

ア、イ、ウ は?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

辺FA、BC、DEを延長して、その交点をP、Q、Rとすると、

△PBA、△QDC、△RFEはみな正三角形になります。

2

すると、△PQRも正三角形になり、

12+7+△=12+6+○=6+7+□

19+△=18+○=13+□ 

より、□>○>△

最大の辺は、□=DE 、最小の辺は、△=FA で、

DEはFAより、

19-13=6cm 長いことがわかります。

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神戸女学院中学部、今年2015年出題の立体図形問題より

図のように1辺1cmの立方体を14個使って立体Aを作りました。

(1)

立体Aの表面積が変わらないように、立体Aから立方体を1つだけ取り除く方法は何通りありますか。また、取り除くことができる立方体すべてに斜線を入れなさい。ただし、上に立方体がのっているとき、その下にある立方体だけを取り除くことはできないものとします。

(2)

立体Aの表面積が変わらないように、立体Aから立方体を1つずつ取り除いていきます。残った立体の体積が最も小さくなるときの体積を求めなさい。また、そのときの見取図をかきなさい。ただし、定規は使わなくてもかまいません。

Capture_2015_01_22_08_18_38_203


立体A

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)以下のように5通りあります。

Capture_2015_01_22_08_20_47_765

(2)図のような見取り図で、8立方cmになります。

Capture_2015_01_22_08_26_00_671

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2015年1月21日 (水)

今年2015年、東大寺学園中学で出題された虫食い算

小さいものから順に並べた6つの異なる整数1,○,△,5,□,8があります。

この6つの数を並べてできる次の2つの6けたの整数

1○△5□8と8□5△○1の和が7けたの整数になりました。

この7けたの整数はいくつでしょうか?

Pce022s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

  1 ○ △ 5 □ 8

  8 □ 5 △ ○ 1

+)__________

○は2か3、△は3か4、□は6か7 です。

□=6の場合、△=4、○=3としても、和は7桁にはならないので、

□=7が決まります。

△=3にすると○=2で、この場合も和は7桁にはなりません。

△=4で決まりますが、○=2ではこの場合も和は7桁にはなりません。

△=4、○=3 のときだけ、

答えは7桁の数、1010009 となります。

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今年2015年に出題された問題から、(大阪星光学院中学 2015)

図のような平行四辺形があります。

斜線剖分の面積は、平行四辺形全体の面積の何倍ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

∠BCE=∠DEC(平行線の錯角)

∠CBF=∠AFB(平行線の錯角)

なので、△黄(△ABF)と△青(△CDE)はともに二等辺三角形、

したがって、AB=AF=5cm、DC=DE=5cm

AE+EF=5cm、EF+FD=5cm なので、

AE+EF+EF+FD=5cm+5cm=10cm

AE+EF+FD=6cmなので、

EF=10cm-6cm=4cm

△斜線と△GBCは相似で相似比は4:6=2:3

△青は平行四辺形の1/2の5/6なので、1/2×5/6=5/12

△斜線は△青の底辺が4/5、高さが2/5 なので、面積は4/5×2/5=8/25

よって、△斜線は平行四辺形の5/12×8/25=2/15倍

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2015年1月20日 (火)

ビールの泡は何cm?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

『ビール』を容器に注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。泡は時間がたつと液体になりますが、そのとき、体積は1/3になるものとします(逆に液体が泡になるときは体積は3倍になるものとします)。
また、『ビール』は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、同じ容器に入る『ビール』の量は、注ぎ方によって異なることがあります。
今、深さ30cmの円柱の容器に『ビール』を500ml注いだら底から15  cm  のところまでは液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(1回目)。
次に、同じ容器に『ビール』を700ml注いだら、底からXcmのところまで液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(2回目)。このとき、Xを求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

1回目のビールが泡もふくめてすべて液体になると、

その高さは、15+15÷3=20cm。

これにより、液体部分の高さ1cmの量は、

500÷20=25ml

2回目のビールもすべて液体と仮定すると、

高さは700÷25=28cm

一部が泡になったときの高さとの差は、30ー28=2cm。

液体1cm分が泡になると3cmになり、

高さは液体部分が1cm減り、泡部分が3cm増えるので、

3-1=2cm増えますが、

これは28cm→30cmになった高さの差とー致するので、

2回目は液体1cm分が泡になり、

泡の高さが3cmであることがわかります。

以上から、2回目の.ビールの液体部分の高さは、

30-3=27cm。

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この問題、正解できたらすごい!今年2015年、灘中学1日目出題問題から

2桁の整数Aがあります。

Aの一の位と十の位を入れ替えると2桁の整数になりました。

さらに、その数にAをかけると、12で割り切れる整数になりました。

Aとして考えられる整数は何個ありますか?

Mpsb1101cs

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

A=□△ とすると、

□△×△□=12×○ になるので、

△×□ は偶数になります。

△、□ともに0ではないので、偶数になる組み合わせは、

1-2、1-4、1-6、1-8

2-2、2-3、2-4、2-5、2-6、2-7、2-8、2-9

3-4、3-6、3-8

4-4、4-5、4-6、4-7、4-8、4-9

5-6、5-8

6-6、6-7、6-8、6-9

7-8

8-8、8-9

このうち、12の倍数になる組み合わせは、

1-2の12、2-4の24、2-7の72、3-6の36、

4-8の48と84、6-9の96 がみつかるので、

Aは12、21、24、42、72、27、36、63、48、84、96、69 の12個、

・・・・・・・・と答えると、間違いなのです。

じつはもう一つだけ、かけ合わせると12の倍数になる組み合わせがあるのです!

それは、66!

66×66=4356

4356÷12=363

66=2×3×11

66×66=2×3×11×2×3×11=3×11×11×12=363×12=4356

したがって、13個が正解です!

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今年2015年出題された問題から(四天王寺中学 2015年)

1辺が12cmの正三角形があります。

図のように、半径が等しい円と半円をかきました。

色がついた部分の面積の和は何c㎡ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように赤い部分を黄色い部分に移動すると、

2

中心角60°、半径3cmの扇形が6個できます。

つまり、その面積の和は半径3cmの円の面積になります。

3×3×3.14=28.26c㎡

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2015年1月19日 (月)

A、Bはいくつ?甲陽学院中学、今年2015年の問題から!

Bandicam_20150119_091741442


となるような整数A、Bはいくつ?

Apa0307s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(34×34)/(A×B)=(34×B+34×A)/(A×B) より

34×34=34×(A+B)

A+B=34・・・・・・①

(B×B)/(8×A)=(8×B+A×B)/(8×A) より

B×B=B×(8+A)

B=8+A・・・・・・②

①、②より

A+8+A=34

A=13

B=21

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今年2015年の灘中学1日目、最初の計算問題は?

Bandicam_20150119_083229654


□に当てはまる数はいくつですか。

Pce022s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2015=5×13×31 を利用して計算してみます。

中括弧の中が3/2015になればいいわけです。

(5×13)/2015-(13×31-5×31)/2015÷□=3/2015

5×13=65なので、

(13×31-5×31)/2015÷□=62/2015 になればよく、

(31×8)/2015÷□=62/2015

□=(31×8)/2015÷62/2015

 =(31×8)/2015×2015/(31×2)

 =(31×8)/(31×2)

 =8/2

 =4

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2015年1月17日 (土)

200番目の数はいくつ?(第8回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

2004年のジュニア算数オリンピックは第8回目になります。

下の数列は、3番目以降がすべて直前の2つの数の差になっています。

200番目の数はいくつになりますか?

8、2004、1996、8、1988、1980、8、・・・・・・

Hpsb1301cs

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----------------------------------------------------

①1,4,7,・・・番目はすべて8,

②2,5,8,・・・番目は2004,1988,1972,…と16ずつ減っていき,

③3,6,9,・・・番目も1996,1980,1964,…と、

やはり16ずつ減っていきます。

200÷3=66あまり2より,200番目は②のグループの

66+1=67番目とわかるので,

2004 - 16 ×(67-1)=948 となります。

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今年(2015年)はこんな問題が!正方形の移動(浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが4cmの正方形Aと1辺の長さが2cmの正方形Bがあります。

この2つの正方形が22cm離れた2つの壁の間を、90秒間、往復を繰り返します。

AとBは、下の図のような状態から出発し、

それぞれの正方形の対称の中心が2.5cm離れた直線の上にあるように動きます。

下のグラフは、動きだしてからの時間と、

出発した側の壁から正方形の対称の中心までの距離の関係を表したものです。

(1)2つの正方形の速さをそれぞれ答えなさい。

    また、グラフの[ア]にあてはまる数を答えなさい。

(2)動きだしてから何秒後に、2つの正方形の重なった部分がはじめてなくなりますか。

(3)2つの正方形が重なっている時間の合計は何秒間ですか。

1

2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)

Aは20-2=18cmのキョリを36÷2=18秒で移動したので、

秒速、18÷18=1cm です。

Bは21-1=20cmのキョリを20÷2=10秒で移動したので、

秒速、20÷10=2cm です。

アはAが40-36=4秒間で移動したキョリなので、1cm×4秒=4cm

ア=2cm+4cm=[ 6 ] cm

(2)重ならない状態になるまでBの中心は4cmAより前に進みます。

AとBの速さの差は2-1=1cm なので、

4÷1=4秒後に重ならなくなります。

(3)途中でAとBが重なるとき、Bの中心はAに対し6cm移動しています。

すれ違うときは、6÷(2+1)=2秒、

BがAを追い越すときは、6÷(2-1)=6秒 かかるので、

グラフより、すれ違った回数は6回なので、

2×6=12秒

追い越したのは1回で6秒、

最初と最後は4秒なので、4×2=8秒

12+6+8=26秒間 となります。

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2015年1月16日 (金)

今年の問題から→残る石は何個?(浦和明の星女子中学 2015年)

下の図のように、一周100mのトラック上に、

P地点から1mおきに1個ずつ合計100個の石が並べてあります。

この石を拾いなから、A君とB君がトラックを回り続けます。

A君はP地点から出発し、歩き始めてから6mおきに立ち止り、

石があればそれを拾います。

また、B君はA君の後を追って、P地点から出発し、

歩き始めてから5mおきに立ち止まり、石があれば拾います。

ただし、2人が立ち止まった所の石が、すでに拾われてなくなっているときは、

何もせず先へ進みます。

このとき、最後まで2人に拾われず、トラック上に残る石の個数は何個ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

A君は6mおきなので、一周した後、P地点から2mのところで立ち止まります。

3週目はP地点から4mのところで立ち止まり、

3周し終わったときにはP地点で立ち止まります。

つまり、P地点から偶数m地点で立ち止まり、

奇数m地点には何周しても立ち止まりません。

A君だけなら石はP地点から奇数mの50個残りますが、

B君は5の倍数の奇数m地点の10個の石を拾うので、

残る石は、50-10=40個 です。

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何枚使うかな?(立教池袋中学 2014年)

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Pic_4127q

上の図のような、3種類の正三角形のカードがたくさんあります。

これらを重ならないように、すき間なく並べて、1辺が 7cm の正三角形を作ります。

ただし、3種類のカードをそれぞれ少なくとも 1枚は使います。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)3種類のカードの合計枚数が最も多いのは、何枚のときですか。

(2)3種類のカードの合計枚数が最も少ないのは、何枚のときですか。

----------------------------------------------------

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(1)1辺 2cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形の4個分、

1辺 3cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形9個分の面積で、

1辺 7cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形49個分の面積です。

それぞれ、少なくとも1枚使うので、カードの合計枚数が

最も多いのは、1辺 3cmの正三角形1枚、1辺 2cmの正三角形1枚、

残りの部分を1辺 1cm の正三角形にしたときで、

1辺 1cm の正三角形は、49-(9+4)=36枚 必要なので、

カードの合計枚数が最も多いのは、

36+1+1=38枚 です。

 

(2)1辺7cm の正三角形を、1辺 3cm、2cm、1cm の正三角形を用いて、

枚数を少なくして作らなければなりません。

そこで、1辺の枚数が少ない場合について考えます。

  7cm=3cm+3cm+1cm

  7cm=3cm+2cm+2cm

となるので、下の図1、図2、図3、図4が考えられます。

(他にもあるかもしれませんが)

Pic_4129a

図1では、1辺 2cmの三角形を作ることができません。

図2では、1例として、下の図5のようなときが最も少ない枚数で、

    Pic_4130a

3+3+10=16枚になります。

一方、図3、図4では、下の図6,図7のようになります。

   Pic_4131a

枚数は、2+7+3=12枚 です。

これ以上少なくすることはできそうもありません。

よって、最も枚数が少なくなるのは、12枚です。

なお、下の図8のような並べ方もあります。

    Pic_4132a_2

他にもあるかもしれませんね!

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2015年1月15日 (木)

最小の数はいくつ?(奈良学園中学 2010年)

2010は、

669+770+671  のように3個の連続する整数の和として表すことができます。

(1)2010を4個の連続する整数の和で表すとき、

       この連続する 整数の中で最小の数はいくつですか?

(2)2010を5個の連続する整数の和で表すとき、

       この連続する  整数の中で最小の数はいくつですか?

(3)2010を連続する整数の和で表すとき、

       5個の次に 多い個数で表すことができるのは何個のときですか?

        また、このとき、連続する整数の中で最小の数はいくつですか?

Apf0107s

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(1)連続する4個の整数のうち、最小のものを□とすると、

4個の数は、

 □、□+1、□+2、□+3

と表すことができ、この和が2010なので、

 □+(□+1)+(□+2)+(□+3)=2010 

 □×4+6=2010 より、□=501  と求められます。

 
(2)(1)と同様に、

 □+(□+1)+(□+2)+(□+3)+(□+4)=2010

 □×5+10=2010  より、□=400 と求められます。

 
(3)  (1)、(2)と同様の作業をして、

□×6+(10+5)=2010    (2010-15)÷6 割り切れない

□×7+(10+5+6)=2010(2010-21)÷7 割り切れない

□×8+(21+7)=2010     (2010-28)÷8 割り切れない

□×9+(28+8)=2010    (2010-36)÷9 割り切れない

□×10+(36+9)=2010  (2010-45)÷10  割り切れない

□×11+(45+10)=2010 (2010-55)÷11 割り切れない

□×12+(55+11)=2010  (2010-66)÷12=162

よって、連続する12個の整数の和で表すことができ、

最小の数は162  です。 

 

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何gおもりが必要か?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題)

1gと4gのおもり1個ずつと、上皿てんびんが1台あります。これらのおもりをてんびんのかた側または両側の皿にのせることによって、次のように4種類の重さをはかることができます。しかし、2gの重さをはかることはできません。

1

そこで、おもりをあと2個注文して、できるだけ大きい重さまで1gきざみにすべて(1g、2g、3g、4g、5g、……)はかれるようにしようと思います。何gと何gのおもりを注文すればよいでしょうか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

4個のおもりではかれる重さとは、

4個のおもりの和と差であらわせる重さのこと。

したがって、おもりがもう1個あったらはかれる重さは、

以ドの4つになります。

①……(それまではかれた重さ)

②……①+(新しいおもりの重さ)

③……①-(新しいおもりの重さ)

④……(新しいおもりの重さ)-①

それまではかれた重さは1、3、4、5gなので、

まず2gがはかれる、できるだけ大きい重さのはかりを考えます。

④から□g-(1g+4g)=2g より、

7gのおもりが必要とわかります。

しかもこれで1~8gと10g~12gがはかれるようになります。

そこで同じように9gがはかれるように考えると、

やはり④から□g-(1g+4g+7g)=9g より、

21gのおもりがよいことがわかります。

しかもこれで1~29gまで、すべてはかれます。

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今年2015年の浦和明の星女子中学の問題から、最大の面積は?

図1の展開図を黒い面が表面にくるように組み立てた1辺の長さが1cmの立方体が9個あります。

この立方体を図2のように机の上に積み上げます。

黒い面が最も多く見えるように置いたとき、その見えている黒い面の面積の合計を求めなさい。

ただし、この立体が机に接する面は見えないものとします。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

立方体を組み立てると図のように、

黒い面が赤い部分のように「コ」の字型に3面続きます。

5

3面が見えるように置けるのは7個、

2面しか見えないのは2個 なので、

最大の面積は、3×7+2×2=25c㎡

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2015年1月14日 (水)

14%の食塩水は何g できたか?(須磨学園中学 2011年)

20%の食塩水が100g あります。

これに12%の食塩水と6%の食塩水をそれぞれ同じ重さずつ加えたところ、

14%の食塩水ができました。14%の食塩水は何g  できましたか。

Sst055s

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----------------------------------------------------

12% と6% の食塩水を同量ずつ( 1 : 1 で )加えるので、

2つを合わせて、平均して 9% の食塩水を加えることと同じになります。

つまり、20%の食塩水100g と 9%の食塩水を足すと、

14%の食塩水になるということです。

9%の食塩水を□g 加えたとすると、

下の図1のてんびん図より、

Pic_3812a

 □ : 100 = 6 : 5 

なので、□=120g とわかり、できた14%の食塩水の量は

 120+100=220g

と求められます。

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この数列の規則性は?(江戸川学園取手中学 2014年)

次のように、数字がある規則にしたがって並んでいます。

1,1,2,1,1,2,3,2,1,1,2,3,4,3,2,1,1,2,3,4,5,4,3,2,1,…

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめから57番目にある数はいくつですか。

(2)はじめて 11 が出てくるのは、はじめから何番目ですか。

(3)はじめから数えて和が150になるときがあります。

      そのとき、最後に加える数はいくつですか。

Apf0107s

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----------------------------------------------------

(1)規則的に数が並んでいるので、グループを作ると、

 1グループ目 1個 : 1

 2グループ目 3個 : 1,2,1

 3グループ目 5個 : 1,2,3,2,1

 4グループ目 7個 : 1,2,3,4,3,2,1

 5グループ目 9個 : 1,2,3,4,5,4,3,2,1

のようになっています。

1+3+5+7+9+11+13=49

1+3+5+7+9+11+13+15=64

なので、57番目の数は、8グループ目の8番目の数なので、 です。

 

(2)(1)より、各グループの番号が、そのグループの最大の数なので、

はじめて11が出てくるのは、11グループ目です。

よって、11が初めて出てくるのは、

 1+3+5+・・・+19+11=111番目

です。

 

(3)各グループの和を調べると、

 1グループ目 : 1(1×1)

 2グループ目 : 4(2×2)

 3グループ目 : 9(3×3)

 4グループ目 : 16(4×4)

 5グループ目 : 25(5×5)

のように、グループ番号を2回かけたものになります。

順々に和を求めていくと、7グループまでの和が、

1+4+9+16+25+36+49=140となり、

8グループ目の 1+2+3+4=10 で、和が150となるので、

最後に加える数は、 とわかります。

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2015年1月13日 (火)

□に当てはまる数は?(第4回算数オリンピック、トライアル問題より)

大介君は0~9の数字をすべて入れかえて計算式をつくり変える遊びをしています。

たとえば0→5、1→3、2→9、3→7、4→0、5→2、6→1、7→8、8→4、9→6と入れかえると、

 68587105×18=1234567890 という式は
 ↓                 ↓    ↓
 14248352×34=3970218465 となってしまいます。

いま大介君は新しくきまりをつくって5つの計算式の数字を入れかえたところ、それぞれ次のようになりました。

5+7=9  5×4=30  4×4=54

9×9=79  3+7+9=□

□に当てはまる数はいくつでしょう?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

5つの式を次のように(ア)~(オ)とします。

5+7=9……(ア) 5×4=30……(イ)
4×4=54……(ウ) 9×9=79……(エ)
3+7+9=□……(オ)

まず(ウ)と(エ)に注目します。積が2けたになるかけ算の九九で、

同じ数2個の積の一の位ともとの数が一致するのは、

5×5=25と6×6=36の2つだけなので、

それらが(ウ)と(エ)になるはずです。

・5×5=25……(ウ)、6×6=36……(エ)のとき

数字の入れかえは5→4、2→5、6→9、3→7となるので、

(ア)の式を入れかえ前の式にもどすと2+3=6となり、不適当

・5×5=25……(エ)、6×6=36……(ウ)のとき

数字の入れかえは6→4、3→5、5→9、2→7となるので、

(ア)の式を入れかえ前の式にもどすと3+2=5となり、

この式は成り立つので、条件を満たします。

さらに(イ)を入れかえ前の式にもどすと、

3×6=18になるはずなので、

1→3、8→0と入れかえていることがわかります。

以上わかったことから(オ)を入れかえ前の式にもどすと、

1+2+5=8

したがって、□=0

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得点の平均は何点?(女子学院中学 2013年)

下の図のような矢の的があります。A,B,C,D,E,F の6人が2回ずつ矢を射って、2回の合計を得点とします。6人の得点の平均は、小数第2位を四捨五入すると 8.2点で、A,C,F の3人の得点の平均は、ちょうど12点でした。また、Fの得点はBの得点よりも4点多く、E とF だけが1回ずつ的を外しました。このとき、D,E の2人の得点の平均は何点ですか。

     Pic_3428q Ilm10_da03001s

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6人の合計得点は、

8.15×6=48.9点以上、8.25×6=49.5点未満で、

合計得点は、整数になるので、合計得点は、49点とわかります。

A,C,F の3人の合計得点は、12×3=36点なので、

B,D,E の3人の合計得点は、49-36=13点 です。

D,E の2人の平均点を求めたいので、

Bの得点がわかればいいのですが・・・

A,C,F の3人の合計得点は36点で、

F は1回的を外しているので、5回の得点の合計が36点です。

このような点数の取り方は、10、10、10、5、1 の1通りです。

Fの得点はBの得点より4点多いので、Fの得点は、5点か10点

となりますが、Bは的を外していないので、最低でも2点以上で、

F の得点は、10点、Bの得点は 6点 とわかります。

よって、D,E の2人の得点の合計は、13-6=7点で、

2人の平均点は、7÷2=3.5点 です。

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立体図形の切り口と長さの比は?(市川中学 2010年)

すべての面が正三角形で、1辺の長さが6cm の三角すいABCD があります。

下の図のように、辺AB,辺BC,辺CDの上にそれぞれ点P,Q,R があり、

AP=3cm、BQ=4cm、CR=1cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2340q

(1)辺AD の上に点S があります。PS の長さとSR の長さの和が最も小さくなるとき、AS : SD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

(2)2つの点P,Q を通る直線と、2つの頂点A,C を通る直線が交わる点をT とするとき、AC : CT を最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

(3)3つの点P,Q,R を通る平面と、2つの頂点A,D を通る直線が交わる点をU とするとき、AU : UD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)三角形ABD と三角形ACD の部分の展開図を描くと、下の図1のようになり、

PS の長さとSR の長さの和が最も小さくなるのは、

P,S,R の3点が一直線に並ぶときです。

      Pic_2341a_3

このとき、三角形APS と三角形DRS は、すべての角度が等しいので、相似です。

AP=3cm、DR=5cm なので、AS : SD = 3 : 5 です。

 

(2)下の図2のように、正三角形APV を作ると、

三角形PTV と三角形QTC は相似で、PV=3cm、QC=2cmなので、

相似比が 3 : 2 とわかります。

Pic_2342a

VC=3cm なので、CT=3×2=6cm とわかり、

AC : CT = 6cm : 6cm = 1 : 1 です。

 

(3)まず、P,Q,R の3点を通る平面が、どのような平面かを考える必要があります。

Q,R が同じ正三角形BCD 上にあることから、下の図3のように点Q から2cm 進み、

60度曲がって1cm進んだところの点R を通る平面 ということを利用して、

点P から三角形BCD と平行な平面の正三角形PVW 上のどこと P,Q,R を通る平面が交わるのかを探すと、

点Pから2cm進んだ点X で60度曲がり、1cm進んだ点Y を通ることになります。

Pic_2344a

P,Q,R,Y の4つの点は、同じ平面上にあります。

PY は同じ平面上なので、PY を延ばしてVW との交点をZ とすると、

Z もP,Q,R,Y と同じ平面上で、下の図4のように、

VZ =1.5cm とわかります。

     Pic_2345a

QC : CR = 2 : 1 なので、PV : VZ = 2 : 1 としても求めることができます。

RZ の延長と AD の交点が U で、下の図5より、

    Pic_2345a_4 

三角形UWZ と三角形UDR が相似で、WZ=1.5cm、DR=5cm なので、

UW : UD = ③ : ⑩ とわかり、

WD = 3cm より、⑦=3cm なので、UW =9/7 cm、

AU = 3-9/7=12/7 cm と求められ、

AU : UD = 12/7 : 3 + 9/7 = 2 : 5 です。

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2015年1月11日 (日)

正八面体の性質は?(奈良学園中学 2009年)

1辺4cmの立方体の各面の中心の点を結んで立体Aを作ります。

下の図1は、立体Aの1つの面を表しています。

        

(1)立体Aの面の数を答えなさい。

(2)円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Aを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何c㎡必要か答えなさい。

(ア)元の立方体の面と板が平行になるように立体Aを通すとき

(イ)立体Aの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、1辺1cmの正三角形の3つの頂点を通る円の面積が、

半径1cmの円の面積の3分の1であることを用いなさい。

また、円周率は3.14とします。

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----------------------------------------------------

(1)立方体の各面の中心を結んでできる立体Aは、正八面体と呼ばれるもので、

下の図1のように「8面」あります。

       

(2)(ア)  板の穴に立方体の面と平行に立体Aを通すとき、

穴を通る最も大きい部分は、図1の正方形ABCDで、

穴を通る図は、下の図2のようになります。

     

この穴の面積は、半径2cmの円の面積で、

 2×2×3.14=12.56c㎡  です。

(2)(イ) 図1の三角形ABE,CDFの面を真上から見ると、

下の図3のように見ることができます。

AC,BD,EFの交点をOとすると、Oを中心として

下の図4のように円を描くことができます。

(Oを通り三角形ABE、CDFをつらぬく直線を軸として立体Aを回転させることでできる円です)

       

板と三角形ABE,CDFが平行な状態で穴を通すときに必要な最小の面積の円は、

この6点AFBCEDが通る円です。

六角形AFBCEDは正六角形なので、

この円の面積は、問題文の条件から、

辺ABの長さを半径とする円の面積の3分の1ということになります。 

図2より、ABの長さを□cmとすると、

  □×□÷2=4×4÷4

なので、□×□=8  です。

よって、求める円の面積は、

 □×□×3.14÷3=25.12÷3

               =8と28/75 c㎡ となります。 

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交わらない1組はいくつ?(第11回算数オリンピック ファイナル問題より)

図は一つの6面体です。辺ABと辺DCはどの頂点も接することはありません。このようなABとDCを「交わらない一組」と考えたとき、この6面体にはABとDCの交わらない一組を含めて全部で何組「交わらない一組」がありますか。

8152

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こたえ

辺ABについて考えてみると、Aでは他の辺といくつ交わっている?

「3つ」

Bでは?

「やっぱり3つ」

合計6つの辺と交わっているね。6面体の辺の数は全部で?

「9つ」

すると、ABに交わらない辺は自分自身を除くといくつ?

「9-1-6=2つ」

AB、BC、CAはみんな2つずつ!ではDAは?

「9-1-5=3つ」

DA、DB、DC、EA、EB、ECはみんな3つずつ。

「2×3+3×6=24の交わらない組があるけど・・・?」

そう、みんな2回ずつ数えているから・・・

「24÷2=12組」

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30で割った余りは?(鴎友学園女子中学 2014年)

3を2014回かけた数を30で割ったときの余りはいくつでしょうか?

032822

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3をかけた回数ごとに、余りを調べてみると、

3 → あまり3

3×3 → あまり9

3×3×3 → あまり27

3×3×3×3 → あまり21

3を5回 → 243÷30 → あまり3

3を6回 → 729÷30 → あまり9

3を7回 → 2187÷30 → あまり27

3を8回 → 6561÷30 → あまり21

3を9回 → 19683÷30 → あまり3

のように、3→9→27→21→・・・のくり返しとなっているので、

2014÷4=503あまり2 より、3を2014回かけたものを30で割ると、

余ることがわかります。

 

 

<別解>

3×3×・・・×3×3 ÷ 30 を 分数として計算すると、

3で約分されて、3×3×・・・×3÷10 になります。

たとえば、

 3÷30 → 1÷10 → あまり1 (実際のあまりは3)

 3×3÷30 → 3÷10 → あまり3 (実際のあまりは9)

 3×3×3÷30 → 3×3÷10 → あまり9 (実際は27)

のようになり、10で割ったときのあまりを、3で約分しているため

3倍すると、30で割ったときのあまりになります。

 

3を2014回かけた数を30で割った余りを求めるには、

3を2013回かけた数を10で割ったときの余りを3倍すればよい

ということになります。

 

ある数を10で割ったときの余りは、その数の1の位の数に等しいので、

3を2013回かけたときの1の位の数は3なので、

3を2014回かけた数を30で割ったときのあまりは、

3×3= とわかります。

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2015年1月10日 (土)

三角形OACの面積は? (白百合学園中学 2009年 改題)

中心角60°の扇形OABのAB上に、AC=BCとなるように点Cをとります。

点Cをひとつの頂点とする長方形CDEFを扇形OABに接するように描きます。

点DはOB上、EFはOA上にあります。

 

EF上にEM=FMとなるように点Mをとり、

DE、DMとOCの交点をそれぞれ点G,点Hとしたとき、GH=2.4cmでした。 

OD:OE=2:1のとき、三角形OACの面積を求めなさい。

   Pic_0359

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 AC=BCなので、角AOC=角BOC=60÷2=30度です。

OAとCDは平行なので、角AOC=角OCD=30度で、 

角DOC=角OCD=30度なので、三角形ODCは二等辺三角形で、

CD=ODです。OD:OE=2:1なので、OE=CD÷2=EM=FM。

よって、OD=OMなので、三角形ODMは二等辺三角形で、

角AOB=60度なので、三角形ODMは正三角形となります。

よって、角OMD=60度、角EDM=30度、角DHG=90度です。

   Pic_0360

三角形ODE と三角形GDHは相似なので、

GD=2.4×2=4.8cm 、さらに三角形GCDも相似なので

GC=GD×2=9.6cm です。

三角形ODGは、角GOD=角ODG=30度なので二等辺三角形で、

OG=GD=4.8cm です。

よって、OC=4.8+9.6=14.4cm

三角形OCFと三角形ODEが相似なのでCF=14.4÷2=7.2cm

OC=OA=14.4cmなので、

三角形OACの面積=OA×CF÷2

=14.4×7.2÷2=51.84c㎡ となります。  

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2015年1月 9日 (金)

1/12になる分母の組み合わせは?(開成中学 2010年)

1

となる整数△と□の組をすべて答えてください。

ただし、□は△以上であるとします。

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△=□のとき、2/□=1/12 なので、□=24 です。

つまり、1/12 = 1/24 + 1/24 となります。ここで、

下の式1のように、1/△ と 1/□ が 1/24を基準として

      Pic_3175a_2

片方が大きい数字になれば、もう片方は小さくなり、

片方が小さい数字になれば、もう片方は大きくなる

という動きをします。

 

このことと、□は△以上であることから、問題文の場合、

式1の下の式があてはまり、△は24以下となります。

さらに、△は12より大きい数なので、12<△≦24 です。

 

△=13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24

について、計算していくと、

 △=13のとき、□=156

 △=14のとき、□=84

 △=15のとき、□=60

 △=16のとき、□=48

 △=17のとき、□ → 整数にならず

 △=18のとき、□=36

 △=19のとき、□ → 整数にならず

 △=20のとき、□=30

 △=21のとき、□=28

 △=22のとき、□ → 整数にならず

 △=23のとき、□ → 整数にならず

 △=24のとき、□=24

となります。

 

よって、(△、□)の組は、

 (13,156)、(14,84)、(15,60)、(16,48)

 (18,36)、(20、30)、(21、28)、(24,24)

の8組になります。

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花火を見ることができるのは?(芝中学 2014年)

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2種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。

 

① 花火【スター】は、3秒おきに点火し、点火してから4秒後に花火が開きます。

② 花火【ムーン】は、2秒おきに点火し、点火してから2秒後に花火が開きます。

ただし、【スター】と【ムーン】の2種類の花火が同時に開いてしまうときには、

【ムーン】の点火を見送ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の1分間に何発の花火を見ることができますか。

(2)【スター】と【ムーン】合わせて 100発の花火が開くのに2つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒かかりますか。

Ilm02_bd19011s

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(1)最初に点火してから【スター】を見ることができるのは、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、で、3で割ると1余るときです。

一方、【ムーン】を見ることができるのは、

2秒後、4秒後、6秒後、・・・、で、2の倍数(偶数)のときです。

ただし、同時に見ることができてしまうときは、【ムーン】は打ち上げられないので、

4秒後、10秒後、のようなときは【スター】だけになります。

 

【スター】を見ることが出来る時間は、偶数と奇数が交互にやってきていて、

【スター】は、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、58秒後

の19回見ることができ、そのうち 10回が【ムーン】と重なることがわかります。

(【ムーン】の回数のうち10回は打ち上げられない)

【ムーン】は、2秒後、4秒後、・・・、60秒後 の30回のうち

10回が打ち上げられないので、30-10=20回 見ることができます。

よって、【スター】と【ムーン】を合わせると、1分間で、

 19+20=39回

見ることができます。

 

(2)2秒おきと3秒おきに打ち上げられるので、

最小公倍数の6秒をひとまとまりにして考えると、

4秒後から10秒後にかけての【スター】と【ムーン】が見られるのは、

 【スター】 ・・・ (4秒後)   7秒後   10秒後

 【ムーン】 ・・・    6秒後   8秒後

の5回です。10秒後から16秒後にかけては、

 【スター】 ・・・ (10秒後)   13秒後   16秒後

 【ムーン】 ・・・    12秒後   14秒後

となっています。この規則正しい並びの数え方は色々ありますが、

2秒後の【ムーン】と4秒後【スター】の2回を除いて、

4秒後から10秒後の間で4回、10秒後から16秒後の間で4回のように、

下線を引いた4回ずつで考えると、

 (100-2)÷4=24あまり2

なので、6秒を24回くりかえし、あと2回(3秒後)になるので、

 4(最初の4秒)+6×24(回)+3=151秒後=2分31秒後

に100発目を見ることができます。

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2015年1月 8日 (木)

偶数は何個?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

異なる1以上の47個の整数があり、それらの和は2000です。

この47個の整数の中には、

最も少ない場合で偶数は何個あるでしょうか?

 

Bo3

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2000は偶数ですから、

1以上の異なる47個の整数の和が偶数になるとき、

47個の整数は、「奇数が偶数個」と「偶数が奇数個」です。

そこで、偶数の個数が最も少ない場合を考えます。

偶数が1個の時、残り46個が奇数なので、

小さい方から46個の奇数の和を求めてみると、

1+3+5+・・・+91=(1+91)×46÷2=2116となり、

2000を超えるので適しません。

偶数が3個の時、残り44個が奇数なので、

小さい方から44個の奇数の和は、

1+3+5+・・・+87=(1+87)×44÷2=1936となり、

2000-1936=64は異なる3個の偶数の和で表すことができます。

例えば、64=2+4+58 など・・・

したがって、偶数の個数が最も少ない場合、

偶数の個数は3個です。

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積み木は何個?(ラ・サール中学 2007年)

図1のような直方体の積み木を図2のように、

すべて同じ向きにならべて立方体を作ります。

 

 

(1)最も体積の小さい立方体を作るとき、積み木は何個必要ですか。

 

  
(1)の立方体の6つの面すべてにペンキで色をつけ、

                  その後この立方体をバラバラにくずしました。


 

(2)ペンキの色がどの面にもついていない積み木は 何個ありますか。

(3)ペンキの色が1つの面にのみついている積み木は 何個ありますか。

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(1)3と4と4.8の最小公倍数を求めればよいことになります。

3と4の最小公倍数は12です。

12と4.8の最小公倍数は、4.8×5=24で

12×2=24なので、24です。

よって、最も体積の小さい立方体の1辺の長さは24cm  です。

このとき、24÷3=8、24÷4=6、24÷4.8=5  より、

積み上げた直方体の数は、

8×6×5=240個  となります。

 

(2)どの面にもペンキの色がついていない積み木は、

外側の積み木の内側にあるので、

下の図3のように前後、左右、上下の立方体の外側の積み木を除くと、

(8-2)×(6-2)×(5-2)=6×4×3=72個

となります。

 

(3)ペンキの色が1つの面にのみついている積み木は、

立方体の面の最も外側の以外の積み木なので、その数は、

{(8-2)×(6-2)+(6-2)×(5-2)+(5-2)×(8-2)}×2

=108個  となります。

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面積比は?長さ比は? (ラ・サール中学 2009年)

台形ABCDがあります。ADとBCは平行で、ADとBCの長さの比は2:3です。

AB上に点P,CD上に点Qをとったところ、

三角形ADQ,三角形APQ、三角形PQC、三角形PBCの面積は、

それぞれ3c㎡、5c㎡、4c㎡、3㎡  となりました。

PQとACの交点を点Rとしたとき、次の問に答えなさい。

 (1)三角形APCの面積を求めなさい。

 (2)三角形APRの面積を求めなさい。

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(1)台形ABCDの面積は、3+5+4+3=15c㎡ で、

AD:BC=2:3なので、

三角形ACDの面積:三角形ABCの面積=2:3となり、

三角形ABCの面積=15÷5×3=9c㎡ となります。

三角形PBCの面積が3c㎡  なので、

三角形APCの面積=9-3=6c㎡  です。

(2)PRの長さ:RQの長さの比を考えると、

PR:RQ=三角形APRの面積:三角形AQRの面積

     =三角形PRCの面積:三角形QRCの面積

となります。

よって、(三角形APRの面積+三角形PRCの面積)

     :  (三角形AQRの面積+三角形QRCの面積)=PR:RQ

すなわち、三角形APCの面積:三角形AQCの面積=PR :  RQ 

となります。

三角形APCの面積は、(1)より6c㎡、

三角形AQCの面積は、

三角形APQの面積+三角形PQCの面積-三角形APCの面積

=5+4-6=3c㎡ なので、

PR:RQ=6:3=2:1 となります。

よって、三角形APRの面積:三角形AQRの面積=2:1より、

三角形APRの面積=5÷3×2=3と1/3c㎡ となります。

 

★PQを基準に考えましたが、

ACを基準にしても同様に求められます。

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2015年1月 7日 (水)

どんな正方形?(共立女子中学 2006年)

1cmの間を置いて36個の点が下の図のように並んでいます。

       

この中から4個の点を選び、その点を4つの頂点とする正方形を作るとき、

(1)正方形の面積が2c㎡  となる正方形を描いてください。

(2)正方形の面積が13c㎡  となる正方形を描
いてください。

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 (1)作れる正方形を考えると、下の図1の正方形A,Bなどが

考えられます。

        

正方形Aの面積は1c㎡、正方形Bの面積は4c㎡。

求める正方形の面積は2c㎡  ですから、正方形Bの面積の半分。

ということは、正方形Bを下の図2のように半分にすれば、

面積が2c㎡  となります。

       

 (2)面積13c㎡ の正方形は、3cm×3cm=9c㎡  より

大きいので、まず図3の1辺4cmの正方形C の辺上に

頂点がある正方形を考えると、

        


考えられる正方形D,Eともに面積13c㎡にはなりません。

 

次に、図4の1辺5cmの正方形F  の辺上に頂点を持つ正方形を

考えると、正方形Hが面積13c㎡ となります。

        

正方形Hを求めるコツは、正方形Fの面積が25c㎡、

正方形H(まだ形はわからないものとします)の面積が13c㎡  なので

正方形Hの周りの4つの合同な直角三角形P,Q,R,Sの面積は、

 (25-13)÷4=3c㎡  です。

すると、面積が3c㎡ となる直角三角形の直角をはさむ辺の長さは、

 2cm×3cm÷2=3c㎡  なので、

正方形Fの各頂点から2cm、3cmの点を頂点とした正方形Hの

面積が13c㎡ になると求めることができます。

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図形移動とグラフの関係は?(筑波大学附属駒場中学 2009年)

まっすぐな線の上に、70cm離れた2点A,Bと、1辺10cmの正方形があります。

はじめ、図1のように、正方形の1つの頂点はAの位置にあります。

正方形は図2のように、Aの位置にあった頂点がBの位置にくるまで、

1つの辺をまっすぐな線につけたまま毎秒1cmの速さで矢印の方向に移動します。

  

まっすぐな線の上に、たての長さが20cmの長方形をいくつか置いて、

正方形を移動させると、途中で長方形と重なるときがあります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)横の長さが15cmの長方形を下の図3のように置き、正方形を動かしました。

動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積を

図4のグラフに表しなさい。

横の目盛りは時間(秒)、縦の目盛りは面積(c㎡)です。

  

(2)いくつかの長方形を置き、正方形を動かしました。

下の図5は、動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積をグラフにしたものです。

ただし、置いた長方形の縦の長さはすべて20cmですが、横の長さは同じとは限りません。

 

(ア)正方形が最初の長方形と重なり始めてから、最後の長方形と重ならなくなるまでに何秒かかりますか。

(イ)まっすぐな線の上に、どのような長方形が、どの位置に置いてありますか。上の図6に長方形を描きなさい。 

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(1)下の図7のように正方形が①→②→③→④の順に長方形と重なっていきます。

 

①の位置まで20秒、②の位置まで30秒、③の位置まで35秒、

④の位置まで45秒  かかり、その変化を図8のように表せます。

(2)グラフから正方形の動きを読み取ってみましょう。

(ア)下の図9より、①の5秒のところで最初の長方形と重なり始め、

⑪の65秒の時点で最後の長方形と重ならなくなることがわかります。 

よって、65-5=60秒かかります。

 

(イ)下の図9から、図10のように長方形が並んでいることがわかります。

④と⑤のところで、20cm~25cmにかけて長方形がないことに注意しましょう。

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2015年1月 6日 (火)

式を作って!(第1回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

4、3、2、1の4つの数字の間に+、-、×、÷の記号を入れて、2から10までの数を求める式を作ってください。同じ記号を何回使ってもかまいません。

 2=4□3□2□1
 3=4□3□2□1
 4=4□3□2□1
 5=4□3□2□1
 6=4□3□2□1
 7=4□3□2□1
 8=4□3□2□1
 9=4□3□2□1
10=4□3□2□1

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解法例

2=4-3+2-1

3=4-3+2×1

4=4+3-2-1

5=4+3-2×1

6=4+3-2+1

7=4×3÷2+1

8=4+3+2-1

9=4+3+2×1

10=4+3+2+1

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点が重なるまでに何秒かかる?(明治大学付属明治中学 2014年)

図のような周の長さが72cmの円の直径の両端に2点A,Bがあり,Bを出発点とする点Pと,Aを出発点とする2点Q,Rがあります。P,Q,Rはそれぞれ毎秒4cm,毎秒13cm,毎秒11cmの速さで矢印の方向に円周上を動き続けます。P,Q,Rが同時に出発してから,初めて同じ場所で重なるまでに何秒かかりますか。
1

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こたえ

QがPに追いつくまで、(72÷2)÷(13-4)=4秒 で、

その後、72÷9=8秒ごとに追いつきます。

したがって、PとQが重なる時間は、

4秒後、12秒後、20秒後、28秒後、36秒後、・・・・・

QとRが出会うまで、72÷(13+11)=3秒 で、

その後も3秒ごとに出会うので、

3秒後、6秒後、9秒後、12秒後、・・・・・

最初に共通するのは12秒後になります。

ちなみに、PとRが出会うまでも調べると、(72÷2)÷(4+11)=2.4秒 で、

その後は、72÷15=4.8秒ごとに出会うので、

2.4秒後、7.2秒後、12秒後、・・・・・

やはり最初に共通するのは12秒後になります。

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巻き終わるまでにかかった時間と長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が あります。

この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる ように点Oで壁に固定して、

長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

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円周率が3と指定されていることに注意しましょう。

(1)板の弧の長さは、6×2×3×120/360=12cm です。

板の半径をOPとOR とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもPQは、まず、下の図1のように240°回転してPO、ORの部分に巻き取られ、

     Pic_2603a

残りがRQの部分の8cmになります。

弧PRの長さが12cmなので、

弧の長さの2/3回転すれば完全に巻き取ることができ、

図1の状態から、120°の2/3の80度回転すればよく、

最初の状態から、240+80=320°

回転すれば巻き終わります。

毎秒20°回転するので、かかる時間は、320÷20=16秒

と求められます。

 

(2)まず板が90度回転して、点Qは下の図2の状態になります。

  Pic_2604a

点Qが動いた長さ(赤い点線)は、6×2×3×90/360=9cmで、

次に点Qは、図2から下の図3の状態まで60度回転しても動きません。

 Pic_2605a

図3の状態から、図1の状態まで、下の図4のように点Qが動き、

 Pic_2606a

この移動した長さも、同様に9cmです。

図4からは点Qは上へ8cm動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さは、

  9+9+8=26cm です。

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2015年1月 5日 (月)

今年度(2015年)出題の問題から(海陽中等教育学校 2015年)

ある恒星S の周りを惑星A と惑星B がS を中心とする円を描いて移動しています。

A は100日で、Bは300日でSを一周します。

また、S と A と B は同じ平面上にあり、

A と B は同じ向きに回っているものとします。

S とA とBが一直線に並ぶのは下の図の2つの場合があります。

Pic_4133q

場合1 S と A と B がこの順に並ぶ場合

 

場合2 B と S と A がこの順に並ぶ場合

 

今日、ちょうど場合1の状態になっているものとして、次の問に答えなさい。

 

(1)次に、はじめて場合2になるのは、今日から数えて何日後ですか。

      明日は1日後とします。

 

(2)次に、はじめて場合1になるのは、今日から数えて何日後ですか。

(3)5回目に場合2になるのは、今日から数えて何日後ですか。

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(1)Aは100日ごとに、Sの下の位置にきます。

Bが場合2の場所にくるのは、150日後、450日後、750日後、

・・・あれ?100の倍数にならない?・・・ と思ってしまいますね。

でも、場合2のように並ぶことがあるのは、わかります。

恒星だ、惑星だ、と考えると解けなくなるので、考え方を変えてみましょう。

A は100日で1周、B は300日で1周するので、

A はB の3倍の速さということになりますから、

Aの速さを【3】、Bの速さを【1】することができます。

池の周りを回るA君とB君と考えてみると考えやすくなりますね?

池の周り(恒星Sの周り)の長さを 300としてみます。

300÷【3】=100日、300÷【1】=300日 となり、

場合2 のようになるには、A は B よりも半周(150)先に

進めばよいわけなので、場合2 になるのは、

  150÷(【3】-【1】)=75日後

です。

(2)はじめて場合1になる(BにAが追いつく)のは、

    300÷(【3】-【1】)=150日後

です。

(3)2回目に場合2になるのは、150日後から

さらに半周A が進めばよいので、150+75=225日後

です。

つまり、225-75=150日ごとに、場合2の状態になるので、

5回目の場合2は、

   75+150×4=675日後

になります。

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2015年1月 4日 (日)

連続する4つの整数は?(2005年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

連続する4個の整数を掛け合わせると積が9□□□4になりました。(それぞれの□に入る数字はわかりません)

この連続する4個の整数のうち、最大の数はいくつですか?

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解法例

1の位が4になるのは、

1×2×3×4 か 6×7×8×9の場合です。

積は5けたの9□□□4なので、

10×10×10×10=10000以上、

20×20×20×20=160000以下なので、

11×12×13×14 か 16×17×18×19 です。

計算してみると、16×17×18×19=93024 となり、

最大の数は19です。

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調べる手順は?(駒場東邦中学 2011年)

縦と横の長さが下に示された長方形ア、正方形イ、長方形ウがあります。いま、A と B を1以上の整数として、これら3つの四角形の縦を A cm、横を B cm それぞれ短くしたら、面積が共に S c㎡ の四角形になりました。このとき、A,B,S の値を求めなさい。

  長方形ア : 縦 5cm 、  横 35cm

  正方形イ : 縦 11cm 、 横 11cm

  長方形ウ : 縦 18cm 、 横 9cm

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こたえ

長方形ア の縦の長さが 5cm なので、A の値は 1,2,3,4 の

どれかとなります。

 

A=1 のとき、

  長方形ア : 縦 4cm 、 横 35cm 、 面積 140c㎡

  正方形イ : 縦 10cm 、 横 11cm 、 面積 110c㎡

  長方形ウ : 縦 17cm 、 横 9cm 、 面積 153c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 4c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 10c㎡ずつ面積が減る

ので、長方形ア と正方形イ の面積が等しくなることはありません。

よって、A=1 ではないということです。

 

A=2 のとき、

  長方形ア : 縦 3cm 、 横 35cm 、 面積 105c㎡

  正方形イ : 縦 9cm 、 横 11cm 、 面積 99c㎡

  長方形ウ : 縦 16cm 、 横 9cm 、 面積 144c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 3c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 9c㎡ずつ面積が減る

ので、A=1のときと同様に、長方形ア と正方形イ の面積が等しく

なることはありません。よって、A=2 ではないということです。

 

A=3 のとき、

  長方形ア : 縦 2cm 、 横 35cm 、 面積 70c㎡

  正方形イ : 縦 8cm 、 横 11cm 、 面積 88c㎡

  長方形ウ : 縦 15cm 、 横 9cm 、 面積 135c㎡ 

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 2c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 8c㎡ずつ面積が減る

  長方形ウ → 15c㎡ずつ面積が減る

ので、アとイの面積は、3cm減らしたとき等しくなりますが、

そのとき、ウの面積は90c㎡ なので、3つの面積が等しく

なりません。よって、A=3 でもないということです。

 

A=4 のとき、

  長方形ア : 縦 1cm 、 横 35cm 、 面積 35c㎡

  正方形イ : 縦 7cm 、 横 11cm 、 面積 77c㎡

  長方形ウ : 縦 14cm 、 横 9cm 、 面積 126c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 1c㎡ ずつ面積が減る

  正方形イ → 7c㎡ ずつ面積が減る

  長方形ウ → 14c㎡ ずつ面積が減る

ので、横の長さを 7cm 減らしたとき、3つの四角形の面積は

共に等しくなり、28c㎡ となります。

 

よって、A=4cm,B=7cm、S=28c㎡ です。

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特殊な立体図形の体積は? (過年度 六甲中学)

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図1の立体を展開すると、図2の展開図になります。

この立体の体積を求めなさい。円周率は3.14とします。


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 図3の赤線部分が、68.8cmになります。

外側の円の半径を□、内側の円の半径を○とすると、

赤い部分の長さは、

(□×2×3.14+○×2×3.14)×300/360+3×2=68.8

なので、□+○=12cmとなります。


図4のように、□と○の差は3cm  で、□+○=12cm より、

□=7cm、○=4.5cm  ということがわかります。

 

よって、図1の立体の体積は、

(7.5×7.5-4.5×4.5)×3.14×300/360×3=282.6立法cmです。

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