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2015年1月16日 (金)

何枚使うかな?(立教池袋中学 2014年)

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Pic_4127q

上の図のような、3種類の正三角形のカードがたくさんあります。

これらを重ならないように、すき間なく並べて、1辺が 7cm の正三角形を作ります。

ただし、3種類のカードをそれぞれ少なくとも 1枚は使います。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)3種類のカードの合計枚数が最も多いのは、何枚のときですか。

(2)3種類のカードの合計枚数が最も少ないのは、何枚のときですか。

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(1)1辺 2cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形の4個分、

1辺 3cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形9個分の面積で、

1辺 7cmの正三角形は、1辺1cmの正三角形49個分の面積です。

それぞれ、少なくとも1枚使うので、カードの合計枚数が

最も多いのは、1辺 3cmの正三角形1枚、1辺 2cmの正三角形1枚、

残りの部分を1辺 1cm の正三角形にしたときで、

1辺 1cm の正三角形は、49-(9+4)=36枚 必要なので、

カードの合計枚数が最も多いのは、

36+1+1=38枚 です。

 

(2)1辺7cm の正三角形を、1辺 3cm、2cm、1cm の正三角形を用いて、

枚数を少なくして作らなければなりません。

そこで、1辺の枚数が少ない場合について考えます。

  7cm=3cm+3cm+1cm

  7cm=3cm+2cm+2cm

となるので、下の図1、図2、図3、図4が考えられます。

(他にもあるかもしれませんが)

Pic_4129a

図1では、1辺 2cmの三角形を作ることができません。

図2では、1例として、下の図5のようなときが最も少ない枚数で、

    Pic_4130a

3+3+10=16枚になります。

一方、図3、図4では、下の図6,図7のようになります。

   Pic_4131a

枚数は、2+7+3=12枚 です。

これ以上少なくすることはできそうもありません。

よって、最も枚数が少なくなるのは、12枚です。

なお、下の図8のような並べ方もあります。

    Pic_4132a_2

他にもあるかもしれませんね!

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