この数列の規則性は？（江戸川学園取手中学 2014年）

次のように、数字がある規則にしたがって並んでいます。

１，１，２，１，１，２，３，２，１，１，２，３，４，３，２，１，１，２，３，４，５，４，３，２，１，…

このとき、次の問に答えなさい。

（１）はじめから５７番目にある数はいくつですか。

（２）はじめて １１ が出てくるのは、はじめから何番目ですか。

（３）はじめから数えて和が１５０になるときがあります。

      そのとき、最後に加える数はいくつですか。

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（１）規則的に数が並んでいるので、グループを作ると、

　１グループ目　１個　：　１

　２グループ目　３個　：　１，２，１

　３グループ目　５個　：　１，２，３，２，１

　４グループ目　７個　：　１，２，３，４，３，２，１

　５グループ目　９個　：　１，２，３，４，５，４，３，２，１

のようになっています。

１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＝４９

１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＝６４

なので、５７番目の数は、８グループ目の８番目の数なので、８ です。

（２）（１）より、各グループの番号が、そのグループの最大の数なので、

はじめて１１が出てくるのは、１１グループ目です。

よって、１１が初めて出てくるのは、

　１＋３＋５＋・・・＋１９＋１１＝１１１番目

です。

（３）各グループの和を調べると、

　１グループ目　：　１（１×１）

　２グループ目　：　４（２×２）

　３グループ目　：　９（３×３）

　４グループ目　：　１６（４×４）

　５グループ目　：　２５（５×５）

のように、グループ番号を２回かけたものになります。

順々に和を求めていくと、７グループまでの和が、

１＋４＋９＋１６＋２５＋３６＋４９＝１４０となり、

８グループ目の １＋２＋３＋４＝１０ で、和が１５０となるので、

最後に加える数は、４ とわかります。

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