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2015年1月14日 (水)

この数列の規則性は?(江戸川学園取手中学 2014年)

次のように、数字がある規則にしたがって並んでいます。

1,1,2,1,1,2,3,2,1,1,2,3,4,3,2,1,1,2,3,4,5,4,3,2,1,…

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめから57番目にある数はいくつですか。

(2)はじめて 11 が出てくるのは、はじめから何番目ですか。

(3)はじめから数えて和が150になるときがあります。

      そのとき、最後に加える数はいくつですか。

Apf0107s

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(1)規則的に数が並んでいるので、グループを作ると、

 1グループ目 1個 : 1

 2グループ目 3個 : 1,2,1

 3グループ目 5個 : 1,2,3,2,1

 4グループ目 7個 : 1,2,3,4,3,2,1

 5グループ目 9個 : 1,2,3,4,5,4,3,2,1

のようになっています。

1+3+5+7+9+11+13=49

1+3+5+7+9+11+13+15=64

なので、57番目の数は、8グループ目の8番目の数なので、 です。

 

(2)(1)より、各グループの番号が、そのグループの最大の数なので、

はじめて11が出てくるのは、11グループ目です。

よって、11が初めて出てくるのは、

 1+3+5+・・・+19+11=111番目

です。

 

(3)各グループの和を調べると、

 1グループ目 : 1(1×1)

 2グループ目 : 4(2×2)

 3グループ目 : 9(3×3)

 4グループ目 : 16(4×4)

 5グループ目 : 25(5×5)

のように、グループ番号を2回かけたものになります。

順々に和を求めていくと、7グループまでの和が、

1+4+9+16+25+36+49=140となり、

8グループ目の 1+2+3+4=10 で、和が150となるので、

最後に加える数は、 とわかります。

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