調べる手順は？（駒場東邦中学 2011年）

縦と横の長さが下に示された長方形ア、正方形イ、長方形ウがあります。いま、Ａ と Ｂ を１以上の整数として、これら３つの四角形の縦を Ａ ｃｍ、横を Ｂ ｃｍ それぞれ短くしたら、面積が共に Ｓ ｃ㎡ の四角形になりました。このとき、Ａ，Ｂ，Ｓ の値を求めなさい。

　 長方形ア　：　縦　５ｃｍ　、　 横　３５ｃｍ

　 正方形イ　：　縦　１１ｃｍ　、　横　１１ｃｍ

　 長方形ウ　：　縦　１８ｃｍ　、　横　９ｃｍ

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こたえ

長方形ア の縦の長さが ５ｃｍ なので、Ａ の値は １，２，３，４ の

どれかとなります。

Ａ＝１ のとき、

　 長方形ア　：　縦　４ｃｍ　、　横　３５ｃｍ　、　面積　１４０ｃ㎡

　 正方形イ　：　縦　１０ｃｍ　、　横　１１ｃｍ　、　面積　１１０ｃ㎡

　 長方形ウ　：　縦　１７ｃｍ　、　横　９ｃｍ　、　面積　１５３ｃ㎡

このとき、横の長さを１ｃｍずつ減らすと、

　 長方形ア　→　４ｃ㎡ずつ面積が減る

　 正方形イ　→　１０ｃ㎡ずつ面積が減る

ので、長方形ア と正方形イ　の面積が等しくなることはありません。

よって、Ａ＝１ ではないということです。

Ａ＝２ のとき、

　 長方形ア　：　縦　３ｃｍ　、　横　３５ｃｍ　、　面積　１０５ｃ㎡

　 正方形イ　：　縦　９ｃｍ　、　横　１１ｃｍ　、　面積　９９ｃ㎡

　 長方形ウ　：　縦　１６ｃｍ　、　横　９ｃｍ　、　面積　１４４ｃ㎡

このとき、横の長さを１ｃｍずつ減らすと、

　 長方形ア　→　３ｃ㎡ずつ面積が減る

　 正方形イ　→　９ｃ㎡ずつ面積が減る

ので、Ａ＝１のときと同様に、長方形ア と正方形イ の面積が等しく

なることはありません。よって、Ａ＝２ ではないということです。

Ａ＝３ のとき、

　 長方形ア　：　縦　２ｃｍ　、　横　３５ｃｍ　、　面積　７０ｃ㎡

　 正方形イ　：　縦　８ｃｍ　、　横　１１ｃｍ　、　面積　８８ｃ㎡

　 長方形ウ　：　縦　１５ｃｍ　、　横　９ｃｍ　、　面積　１３５ｃ㎡　

このとき、横の長さを１ｃｍずつ減らすと、

　 長方形ア　→　２ｃ㎡ずつ面積が減る

　 正方形イ　→　８ｃ㎡ずつ面積が減る

　 長方形ウ　→　１５ｃ㎡ずつ面積が減る

ので、アとイの面積は、３ｃｍ減らしたとき等しくなりますが、

そのとき、ウの面積は９０ｃ㎡ なので、３つの面積が等しく

なりません。よって、Ａ＝３ でもないということです。

Ａ＝４ のとき、

　 長方形ア　：　縦　１ｃｍ　、　横　３５ｃｍ　、　面積　３５ｃ㎡

　 正方形イ　：　縦　７ｃｍ　、　横　１１ｃｍ　、　面積　７７ｃ㎡

　 長方形ウ　：　縦　１４ｃｍ　、　横　９ｃｍ　、　面積　１２６ｃ㎡

このとき、横の長さを１ｃｍずつ減らすと、

　 長方形ア　→　１ｃ㎡ ずつ面積が減る

　 正方形イ　→　７ｃ㎡ ずつ面積が減る

　 長方形ウ　→　１４ｃ㎡ ずつ面積が減る

ので、横の長さを ７ｃｍ 減らしたとき、３つの四角形の面積は

共に等しくなり、２８ｃ㎡ となります。

よって、Ａ＝４ｃｍ，Ｂ＝７ｃｍ、Ｓ＝２８ｃ㎡ です。

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