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2015年1月 4日 (日)

調べる手順は?(駒場東邦中学 2011年)

縦と横の長さが下に示された長方形ア、正方形イ、長方形ウがあります。いま、A と B を1以上の整数として、これら3つの四角形の縦を A cm、横を B cm それぞれ短くしたら、面積が共に S c㎡ の四角形になりました。このとき、A,B,S の値を求めなさい。

  長方形ア : 縦 5cm 、  横 35cm

  正方形イ : 縦 11cm 、 横 11cm

  長方形ウ : 縦 18cm 、 横 9cm

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こたえ

長方形ア の縦の長さが 5cm なので、A の値は 1,2,3,4 の

どれかとなります。

 

A=1 のとき、

  長方形ア : 縦 4cm 、 横 35cm 、 面積 140c㎡

  正方形イ : 縦 10cm 、 横 11cm 、 面積 110c㎡

  長方形ウ : 縦 17cm 、 横 9cm 、 面積 153c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 4c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 10c㎡ずつ面積が減る

ので、長方形ア と正方形イ の面積が等しくなることはありません。

よって、A=1 ではないということです。

 

A=2 のとき、

  長方形ア : 縦 3cm 、 横 35cm 、 面積 105c㎡

  正方形イ : 縦 9cm 、 横 11cm 、 面積 99c㎡

  長方形ウ : 縦 16cm 、 横 9cm 、 面積 144c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 3c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 9c㎡ずつ面積が減る

ので、A=1のときと同様に、長方形ア と正方形イ の面積が等しく

なることはありません。よって、A=2 ではないということです。

 

A=3 のとき、

  長方形ア : 縦 2cm 、 横 35cm 、 面積 70c㎡

  正方形イ : 縦 8cm 、 横 11cm 、 面積 88c㎡

  長方形ウ : 縦 15cm 、 横 9cm 、 面積 135c㎡ 

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 2c㎡ずつ面積が減る

  正方形イ → 8c㎡ずつ面積が減る

  長方形ウ → 15c㎡ずつ面積が減る

ので、アとイの面積は、3cm減らしたとき等しくなりますが、

そのとき、ウの面積は90c㎡ なので、3つの面積が等しく

なりません。よって、A=3 でもないということです。

 

A=4 のとき、

  長方形ア : 縦 1cm 、 横 35cm 、 面積 35c㎡

  正方形イ : 縦 7cm 、 横 11cm 、 面積 77c㎡

  長方形ウ : 縦 14cm 、 横 9cm 、 面積 126c㎡

このとき、横の長さを1cmずつ減らすと、

  長方形ア → 1c㎡ ずつ面積が減る

  正方形イ → 7c㎡ ずつ面積が減る

  長方形ウ → 14c㎡ ずつ面積が減る

ので、横の長さを 7cm 減らしたとき、3つの四角形の面積は

共に等しくなり、28c㎡ となります。

 

よって、A=4cm,B=7cm、S=28c㎡ です。

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