立体図形の切り口と長さの比は？（市川中学 2010年）

すべての面が正三角形で、１辺の長さが６ｃｍ の三角すいＡＢＣＤ があります。

下の図のように、辺ＡＢ，辺ＢＣ，辺ＣＤの上にそれぞれ点Ｐ，Ｑ，Ｒ があり、

ＡＰ＝３ｃｍ、ＢＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝１ｃｍ のとき、次の問に答えなさい。

（１）辺ＡＤ の上に点Ｓ があります。ＰＳ の長さとＳＲ の長さの和が最も小さくなるとき、ＡＳ ： ＳＤ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（２）２つの点Ｐ，Ｑ を通る直線と、２つの頂点Ａ，Ｃ を通る直線が交わる点をＴ とするとき、ＡＣ ： ＣＴ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（３）３つの点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面と、２つの頂点Ａ，Ｄ を通る直線が交わる点をＵ とするとき、ＡＵ ： ＵＤ を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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（１）三角形ＡＢＤ と三角形ＡＣＤ の部分の展開図を描くと、下の図１のようになり、

ＰＳ の長さとＳＲ の長さの和が最も小さくなるのは、

Ｐ，Ｓ，Ｒ の３点が一直線に並ぶときです。

　　　　　　

このとき、三角形ＡＰＳ と三角形ＤＲＳ は、すべての角度が等しいので、相似です。

ＡＰ＝３ｃｍ、ＤＲ＝５ｃｍ なので、ＡＳ ： ＳＤ ＝ ３ ： ５ です。

（２）下の図２のように、正三角形ＡＰＶ を作ると、

三角形ＰＴＶ と三角形ＱＴＣ は相似で、ＰＶ＝３ｃｍ、ＱＣ＝２ｃｍなので、

相似比が ３ ： ２ とわかります。

ＶＣ＝３ｃｍ なので、ＣＴ＝３×２＝６ｃｍ とわかり、

ＡＣ ： ＣＴ ＝ ６cm ： ６cm ＝ １ ： １ です。

（３）まず、Ｐ，Ｑ，Ｒ の３点を通る平面が、どのような平面かを考える必要があります。

Ｑ，Ｒ が同じ正三角形ＢＣＤ 上にあることから、下の図３のように点Ｑ から２ｃｍ 進み、

６０度曲がって１ｃｍ進んだところの点Ｒ を通る平面 ということを利用して、

点Ｐ から三角形ＢＣＤ と平行な平面の正三角形ＰＶＷ 上のどこと Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面が交わるのかを探すと、

点Ｐから２ｃｍ進んだ点Ｘ で６０度曲がり、１ｃｍ進んだ点Ｙ を通ることになります。

Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｙ の４つの点は、同じ平面上にあります。

ＰＹ は同じ平面上なので、ＰＹ を延ばしてＶＷ との交点をＺ とすると、

Ｚ もＰ，Ｑ，Ｒ，Ｙ と同じ平面上で、下の図４のように、

ＶＺ ＝１．５ｃｍ とわかります。

　　 　　

ＱＣ ： ＣＲ ＝ ２ ： １ なので、ＰＶ ： ＶＺ ＝ ２ ： １ としても求めることができます。

ＲＺ の延長と ＡＤ の交点が Ｕ で、下の図５より、

　　　　 

三角形ＵＷＺ と三角形ＵＤＲ が相似で、ＷＺ＝１．５ｃｍ、ＤＲ＝５ｃｍ なので、

ＵＷ ： ＵＤ ＝ ③ ： ⑩ とわかり、

ＷＤ ＝ ３ｃｍ より、⑦＝３ｃｍ なので、ＵＷ ＝９/７ ｃｍ、

ＡＵ ＝ ３－９/７＝１２/７ ｃｍ と求められ、

ＡＵ ： ＵＤ ＝ １２/７ ： ３ ＋ ９/７ ＝ ２ ： ５ です。

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