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2015年1月13日 (火)

立体図形の切り口と長さの比は?(市川中学 2010年)

すべての面が正三角形で、1辺の長さが6cm の三角すいABCD があります。

下の図のように、辺AB,辺BC,辺CDの上にそれぞれ点P,Q,R があり、

AP=3cm、BQ=4cm、CR=1cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2340q

(1)辺AD の上に点S があります。PS の長さとSR の長さの和が最も小さくなるとき、AS : SD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

(2)2つの点P,Q を通る直線と、2つの頂点A,C を通る直線が交わる点をT とするとき、AC : CT を最も簡単な整数の比で答えなさい。

 

(3)3つの点P,Q,R を通る平面と、2つの頂点A,D を通る直線が交わる点をU とするとき、AU : UD を最も簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)三角形ABD と三角形ACD の部分の展開図を描くと、下の図1のようになり、

PS の長さとSR の長さの和が最も小さくなるのは、

P,S,R の3点が一直線に並ぶときです。

      Pic_2341a_3

このとき、三角形APS と三角形DRS は、すべての角度が等しいので、相似です。

AP=3cm、DR=5cm なので、AS : SD = 3 : 5 です。

 

(2)下の図2のように、正三角形APV を作ると、

三角形PTV と三角形QTC は相似で、PV=3cm、QC=2cmなので、

相似比が 3 : 2 とわかります。

Pic_2342a

VC=3cm なので、CT=3×2=6cm とわかり、

AC : CT = 6cm : 6cm = 1 : 1 です。

 

(3)まず、P,Q,R の3点を通る平面が、どのような平面かを考える必要があります。

Q,R が同じ正三角形BCD 上にあることから、下の図3のように点Q から2cm 進み、

60度曲がって1cm進んだところの点R を通る平面 ということを利用して、

点P から三角形BCD と平行な平面の正三角形PVW 上のどこと P,Q,R を通る平面が交わるのかを探すと、

点Pから2cm進んだ点X で60度曲がり、1cm進んだ点Y を通ることになります。

Pic_2344a

P,Q,R,Y の4つの点は、同じ平面上にあります。

PY は同じ平面上なので、PY を延ばしてVW との交点をZ とすると、

Z もP,Q,R,Y と同じ平面上で、下の図4のように、

VZ =1.5cm とわかります。

     Pic_2345a

QC : CR = 2 : 1 なので、PV : VZ = 2 : 1 としても求めることができます。

RZ の延長と AD の交点が U で、下の図5より、

    Pic_2345a_4 

三角形UWZ と三角形UDR が相似で、WZ=1.5cm、DR=5cm なので、

UW : UD = ③ : ⑩ とわかり、

WD = 3cm より、⑦=3cm なので、UW =9/7 cm、

AU = 3-9/7=12/7 cm と求められ、

AU : UD = 12/7 : 3 + 9/7 = 2 : 5 です。

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