三角形ＯＡＣの面積は？ （白百合学園中学 2009年 改題）

中心角６０°の扇形ＯＡＢのＡＢ上に、ＡＣ＝ＢＣとなるように点Ｃをとります。

点Ｃをひとつの頂点とする長方形ＣＤＥＦを扇形ＯＡＢに接するように描きます。

点ＤはＯＢ上、ＥＦはＯＡ上にあります。

ＥＦ上にＥＭ＝ＦＭとなるように点Ｍをとり、

ＤＥ、ＤＭとＯＣの交点をそれぞれ点Ｇ，点Ｈとしたとき、ＧＨ＝２．４ｃｍでした。　

ＯＤ：ＯＥ＝２：１のとき、三角形ＯＡＣの面積を求めなさい。

　　　

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　ＡＣ＝ＢＣなので、角ＡＯＣ＝角ＢＯＣ＝６０÷２＝３０度です。

ＯＡとＣＤは平行なので、角ＡＯＣ＝角ＯＣＤ＝３０度で、　

角ＤＯＣ＝角ＯＣＤ＝３０度なので、三角形ＯＤＣは二等辺三角形で、

ＣＤ＝ＯＤです。ＯＤ：ＯＥ＝２：１なので、ＯＥ＝ＣＤ÷２＝ＥＭ＝ＦＭ。

よって、ＯＤ＝ＯＭなので、三角形ＯＤＭは二等辺三角形で、

角ＡＯＢ＝６０度なので、三角形ＯＤＭは正三角形となります。

よって、角ＯＭＤ＝６０度、角ＥＤＭ＝３０度、角ＤＨＧ＝９０度です。

　　　

三角形ＯＤＥ と三角形ＧＤＨは相似なので、

ＧＤ＝２．４×２＝４．８ｃｍ　、さらに三角形ＧＣＤも相似なので

ＧＣ＝ＧＤ×２＝９．６ｃｍ　です。

三角形ＯＤＧは、角ＧＯＤ＝角ＯＤＧ＝３０度なので二等辺三角形で、

ＯＧ＝ＧＤ＝４．８ｃｍ　です。

よって、ＯＣ＝４．８＋９．６＝１４．４ｃｍ

三角形ＯＣＦと三角形ＯＤＥが相似なのでＣＦ＝１４．４÷２＝７．２ｃｍ

ＯＣ＝ＯＡ＝１４．４ｃｍなので、

三角形ＯＡＣの面積＝ＯＡ×ＣＦ÷２

＝１４．４×７．２÷２＝５１．８４ｃ㎡　となります。　　

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