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2015年1月10日 (土)

三角形OACの面積は? (白百合学園中学 2009年 改題)

中心角60°の扇形OABのAB上に、AC=BCとなるように点Cをとります。

点Cをひとつの頂点とする長方形CDEFを扇形OABに接するように描きます。

点DはOB上、EFはOA上にあります。

 

EF上にEM=FMとなるように点Mをとり、

DE、DMとOCの交点をそれぞれ点G,点Hとしたとき、GH=2.4cmでした。 

OD:OE=2:1のとき、三角形OACの面積を求めなさい。

   Pic_0359

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 AC=BCなので、角AOC=角BOC=60÷2=30度です。

OAとCDは平行なので、角AOC=角OCD=30度で、 

角DOC=角OCD=30度なので、三角形ODCは二等辺三角形で、

CD=ODです。OD:OE=2:1なので、OE=CD÷2=EM=FM。

よって、OD=OMなので、三角形ODMは二等辺三角形で、

角AOB=60度なので、三角形ODMは正三角形となります。

よって、角OMD=60度、角EDM=30度、角DHG=90度です。

   Pic_0360

三角形ODE と三角形GDHは相似なので、

GD=2.4×2=4.8cm 、さらに三角形GCDも相似なので

GC=GD×2=9.6cm です。

三角形ODGは、角GOD=角ODG=30度なので二等辺三角形で、

OG=GD=4.8cm です。

よって、OC=4.8+9.6=14.4cm

三角形OCFと三角形ODEが相似なのでCF=14.4÷2=7.2cm

OC=OA=14.4cmなので、

三角形OACの面積=OA×CF÷2

=14.4×7.2÷2=51.84c㎡ となります。  

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