正八面体の性質は？（奈良学園中学 2009年）

１辺４ｃｍの立方体の各面の中心の点を結んで立体Ａを作ります。

下の図１は、立体Ａの１つの面を表しています。

　　　　　　　 

（１）立体Ａの面の数を答えなさい。

（２）円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Ａを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何ｃ㎡必要か答えなさい。

（ア）元の立方体の面と板が平行になるように立体Ａを通すとき

（イ）立体Ａの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、１辺１ｃｍの正三角形の３つの頂点を通る円の面積が、

半径１ｃｍの円の面積の３分の１であることを用いなさい。

また、円周率は３．１４とします。

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（１）立方体の各面の中心を結んでできる立体Ａは、正八面体と呼ばれるもので、

下の図１のように「８面」あります。

　　　　　　　

（２）（ア）  板の穴に立方体の面と平行に立体Ａを通すとき、

穴を通る最も大きい部分は、図１の正方形ＡＢＣＤで、

穴を通る図は、下の図２のようになります。

　　　　 

この穴の面積は、半径２ｃｍの円の面積で、

　２×２×３．１４＝１２．５６ｃ㎡  です。

（２）（イ）　図１の三角形ＡＢＥ，ＣＤＦの面を真上から見ると、

下の図３のように見ることができます。

ＡＣ，ＢＤ，ＥＦの交点をＯとすると、Ｏを中心として

下の図４のように円を描くことができます。

（Ｏを通り三角形ＡＢＥ、ＣＤＦをつらぬく直線を軸として立体Ａを回転させることでできる円です）

       

板と三角形ＡＢＥ，ＣＤＦが平行な状態で穴を通すときに必要な最小の面積の円は、

この６点ＡＦＢＣＥＤが通る円です。

六角形ＡＦＢＣＥＤは正六角形なので、

この円の面積は、問題文の条件から、

辺ＡＢの長さを半径とする円の面積の３分の１ということになります。 

図２より、ＡＢの長さを□ｃｍとすると、

　　□×□÷２＝４×４÷４

なので、□×□＝８  です。

よって、求める円の面積は、

　□×□×３．１４÷３＝２５．１２÷３

　　　　　　　　　　　　　  ＝８と２８/７５ ｃ㎡ となります。　

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