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2015年1月11日 (日)

正八面体の性質は?(奈良学園中学 2009年)

1辺4cmの立方体の各面の中心の点を結んで立体Aを作ります。

下の図1は、立体Aの1つの面を表しています。

        

(1)立体Aの面の数を答えなさい。

(2)円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Aを回転させずに通します。

次のとき、穴の面積は最低何c㎡必要か答えなさい。

(ア)元の立方体の面と板が平行になるように立体Aを通すとき

(イ)立体Aの面と板が平行になるように穴を通すとき

なお、必要ならば、1辺1cmの正三角形の3つの頂点を通る円の面積が、

半径1cmの円の面積の3分の1であることを用いなさい。

また、円周率は3.14とします。

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(1)立方体の各面の中心を結んでできる立体Aは、正八面体と呼ばれるもので、

下の図1のように「8面」あります。

       

(2)(ア)  板の穴に立方体の面と平行に立体Aを通すとき、

穴を通る最も大きい部分は、図1の正方形ABCDで、

穴を通る図は、下の図2のようになります。

     

この穴の面積は、半径2cmの円の面積で、

 2×2×3.14=12.56c㎡  です。

(2)(イ) 図1の三角形ABE,CDFの面を真上から見ると、

下の図3のように見ることができます。

AC,BD,EFの交点をOとすると、Oを中心として

下の図4のように円を描くことができます。

(Oを通り三角形ABE、CDFをつらぬく直線を軸として立体Aを回転させることでできる円です)

       

板と三角形ABE,CDFが平行な状態で穴を通すときに必要な最小の面積の円は、

この6点AFBCEDが通る円です。

六角形AFBCEDは正六角形なので、

この円の面積は、問題文の条件から、

辺ABの長さを半径とする円の面積の3分の1ということになります。 

図2より、ABの長さを□cmとすると、

  □×□÷2=4×4÷4

なので、□×□=8  です。

よって、求める円の面積は、

 □×□×3.14÷3=25.12÷3

               =8と28/75 c㎡ となります。 

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