面積比は？長さ比は？ （ラ・サール中学 2009年）

台形ＡＢＣＤがあります。ＡＤとＢＣは平行で、ＡＤとＢＣの長さの比は２：３です。

ＡＢ上に点Ｐ，ＣＤ上に点Ｑをとったところ、

三角形ＡＤＱ，三角形ＡＰＱ、三角形ＰＱＣ、三角形ＰＢＣの面積は、

それぞれ３ｃ㎡、５ｃ㎡、４ｃ㎡、３㎡  となりました。

ＰＱとＡＣの交点を点Ｒとしたとき、次の問に答えなさい。

　（１）三角形ＡＰＣの面積を求めなさい。

　（２）三角形ＡＰＲの面積を求めなさい。

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（１）台形ＡＢＣＤの面積は、３＋５＋４＋３＝１５ｃ㎡　で、

ＡＤ：ＢＣ＝２：３なので、

三角形ＡＣＤの面積：三角形ＡＢＣの面積＝２：３となり、

三角形ＡＢＣの面積＝１５÷５×３＝９ｃ㎡　となります。

三角形ＰＢＣの面積が３ｃ㎡  なので、

三角形ＡＰＣの面積＝９－３＝６ｃ㎡  です。

（２）ＰＲの長さ：ＲＱの長さの比を考えると、

ＰＲ：ＲＱ＝三角形ＡＰＲの面積：三角形ＡＱＲの面積

　　　　　＝三角形ＰＲＣの面積：三角形ＱＲＣの面積

となります。

よって、（三角形ＡＰＲの面積＋三角形ＰＲＣの面積）

　　　　　：  （三角形ＡＱＲの面積＋三角形ＱＲＣの面積）＝ＰＲ：ＲＱ

すなわち、三角形ＡＰＣの面積：三角形ＡＱＣの面積＝ＰＲ ：  ＲＱ　

となります。

三角形ＡＰＣの面積は、（１）より６ｃ㎡、

三角形ＡＱＣの面積は、

三角形ＡＰＱの面積＋三角形ＰＱＣの面積－三角形ＡＰＣの面積

＝５＋４－６＝３ｃ㎡　なので、

ＰＲ：ＲＱ＝６：３＝２：１　となります。

よって、三角形ＡＰＲの面積：三角形ＡＱＲの面積＝２：１より、

三角形ＡＰＲの面積＝５÷３×２＝３と１/３ｃ㎡　となります。

　

★ＰＱを基準に考えましたが、

ＡＣを基準にしても同様に求められます。

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