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2015年1月 8日 (木)

面積比は?長さ比は? (ラ・サール中学 2009年)

台形ABCDがあります。ADとBCは平行で、ADとBCの長さの比は2:3です。

AB上に点P,CD上に点Qをとったところ、

三角形ADQ,三角形APQ、三角形PQC、三角形PBCの面積は、

それぞれ3c㎡、5c㎡、4c㎡、3㎡  となりました。

PQとACの交点を点Rとしたとき、次の問に答えなさい。

 (1)三角形APCの面積を求めなさい。

 (2)三角形APRの面積を求めなさい。

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(1)台形ABCDの面積は、3+5+4+3=15c㎡ で、

AD:BC=2:3なので、

三角形ACDの面積:三角形ABCの面積=2:3となり、

三角形ABCの面積=15÷5×3=9c㎡ となります。

三角形PBCの面積が3c㎡  なので、

三角形APCの面積=9-3=6c㎡  です。

(2)PRの長さ:RQの長さの比を考えると、

PR:RQ=三角形APRの面積:三角形AQRの面積

     =三角形PRCの面積:三角形QRCの面積

となります。

よって、(三角形APRの面積+三角形PRCの面積)

     :  (三角形AQRの面積+三角形QRCの面積)=PR:RQ

すなわち、三角形APCの面積:三角形AQCの面積=PR :  RQ 

となります。

三角形APCの面積は、(1)より6c㎡、

三角形AQCの面積は、

三角形APQの面積+三角形PQCの面積-三角形APCの面積

=5+4-6=3c㎡ なので、

PR:RQ=6:3=2:1 となります。

よって、三角形APRの面積:三角形AQRの面積=2:1より、

三角形APRの面積=5÷3×2=3と1/3c㎡ となります。

 

★PQを基準に考えましたが、

ACを基準にしても同様に求められます。

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