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2015年1月 6日 (火)

巻き終わるまでにかかった時間と長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が あります。

この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる ように点Oで壁に固定して、

長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

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円周率が3と指定されていることに注意しましょう。

(1)板の弧の長さは、6×2×3×120/360=12cm です。

板の半径をOPとOR とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもPQは、まず、下の図1のように240°回転してPO、ORの部分に巻き取られ、

     Pic_2603a

残りがRQの部分の8cmになります。

弧PRの長さが12cmなので、

弧の長さの2/3回転すれば完全に巻き取ることができ、

図1の状態から、120°の2/3の80度回転すればよく、

最初の状態から、240+80=320°

回転すれば巻き終わります。

毎秒20°回転するので、かかる時間は、320÷20=16秒

と求められます。

 

(2)まず板が90度回転して、点Qは下の図2の状態になります。

  Pic_2604a

点Qが動いた長さ(赤い点線)は、6×2×3×90/360=9cmで、

次に点Qは、図2から下の図3の状態まで60度回転しても動きません。

 Pic_2605a

図3の状態から、図1の状態まで、下の図4のように点Qが動き、

 Pic_2606a

この移動した長さも、同様に9cmです。

図4からは点Qは上へ8cm動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さは、

  9+9+8=26cm です。

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