積み木は何個？（ラ・サール中学 2007年）

図１のような直方体の積み木を図２のように、

すべて同じ向きにならべて立方体を作ります。

　

　

（１）最も体積の小さい立方体を作るとき、積み木は何個必要ですか。

　

　　（１）の立方体の６つの面すべてにペンキで色をつけ、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　その後この立方体をバラバラにくずしました。

　

（２）ペンキの色がどの面にもついていない積み木は 何個ありますか。

（３）ペンキの色が１つの面にのみついている積み木は 何個ありますか。

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（１）３と４と４．８の最小公倍数を求めればよいことになります。

３と４の最小公倍数は１２です。

１２と４．８の最小公倍数は、４．８×５＝２４で

１２×２＝２４なので、２４です。

よって、最も体積の小さい立方体の１辺の長さは２４ｃｍ  です。

このとき、２４÷３＝８、２４÷４＝６、２４÷４．８＝５  より、

積み上げた直方体の数は、

８×６×５＝２４０個  となります。

　

（２）どの面にもペンキの色がついていない積み木は、

外側の積み木の内側にあるので、

下の図３のように前後、左右、上下の立方体の外側の積み木を除くと、

（８－２）×（６－２）×（５－２）＝６×４×３＝７２個

となります。

　

（３）ペンキの色が１つの面にのみついている積み木は、

立方体の面の最も外側の以外の積み木なので、その数は、

｛（８－２）×（６－２）＋（６－２）×（５－２）＋（５－２）×（８－２）｝×２

＝１０８個  となります。

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