どんな正方形？（共立女子中学 2006年）

１ｃｍの間を置いて３６個の点が下の図のように並んでいます。

　　　　　　　

この中から４個の点を選び、その点を４つの頂点とする正方形を作るとき、

（１）正方形の面積が２ｃ㎡  となる正方形を描いてください。

（２）正方形の面積が１３ｃ㎡  となる正方形を描いてください。

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　（１）作れる正方形を考えると、下の図１の正方形Ａ，Ｂなどが

考えられます。

　　　　　　　 

正方形Ａの面積は１ｃ㎡、正方形Ｂの面積は４ｃ㎡。

求める正方形の面積は２ｃ㎡  ですから、正方形Ｂの面積の半分。

ということは、正方形Ｂを下の図２のように半分にすれば、

面積が２ｃ㎡  となります。

　　　　　　　

　（２）面積１３ｃ㎡ の正方形は、３ｃｍ×３ｃｍ＝９ｃ㎡  より

大きいので、まず図３の１辺４ｃｍの正方形Ｃ の辺上に

頂点がある正方形を考えると、

　　　　　　　 

考えられる正方形Ｄ，Ｅともに面積１３ｃ㎡にはなりません。

　

次に、図４の１辺５ｃｍの正方形Ｆ  の辺上に頂点を持つ正方形を

考えると、正方形Ｈが面積１３ｃ㎡ となります。

　　　　　　　 

正方形Ｈを求めるコツは、正方形Ｆの面積が２５ｃ㎡、

正方形Ｈ（まだ形はわからないものとします）の面積が１３ｃ㎡  なので

正方形Ｈの周りの４つの合同な直角三角形Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓの面積は、

　（２５－１３）÷４＝３ｃ㎡  です。

すると、面積が３ｃ㎡ となる直角三角形の直角をはさむ辺の長さは、

　２ｃｍ×３ｃｍ÷２＝３ｃ㎡  なので、

正方形Ｆの各頂点から２ｃｍ、３ｃｍの点を頂点とした正方形Ｈの

面積が１３ｃ㎡ になると求めることができます。

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