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2015年1月 7日 (水)

どんな正方形?(共立女子中学 2006年)

1cmの間を置いて36個の点が下の図のように並んでいます。

       

この中から4個の点を選び、その点を4つの頂点とする正方形を作るとき、

(1)正方形の面積が2c㎡  となる正方形を描いてください。

(2)正方形の面積が13c㎡  となる正方形を描
いてください。

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 (1)作れる正方形を考えると、下の図1の正方形A,Bなどが

考えられます。

        

正方形Aの面積は1c㎡、正方形Bの面積は4c㎡。

求める正方形の面積は2c㎡  ですから、正方形Bの面積の半分。

ということは、正方形Bを下の図2のように半分にすれば、

面積が2c㎡  となります。

       

 (2)面積13c㎡ の正方形は、3cm×3cm=9c㎡  より

大きいので、まず図3の1辺4cmの正方形C の辺上に

頂点がある正方形を考えると、

        


考えられる正方形D,Eともに面積13c㎡にはなりません。

 

次に、図4の1辺5cmの正方形F  の辺上に頂点を持つ正方形を

考えると、正方形Hが面積13c㎡ となります。

        

正方形Hを求めるコツは、正方形Fの面積が25c㎡、

正方形H(まだ形はわからないものとします)の面積が13c㎡  なので

正方形Hの周りの4つの合同な直角三角形P,Q,R,Sの面積は、

 (25-13)÷4=3c㎡  です。

すると、面積が3c㎡ となる直角三角形の直角をはさむ辺の長さは、

 2cm×3cm÷2=3c㎡  なので、

正方形Fの各頂点から2cm、3cmの点を頂点とした正方形Hの

面積が13c㎡ になると求めることができます。

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