この立体図形と展開図の関係は？（渋谷教育学園渋谷中学 ２０１４年）

辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。 

この正方形６個と正三角形８個を組み合わせて、

下の図１のような展開図になる図２のような立体を作りました。

　　　　　

このとき、次の問に答えなさい。

（１）この立体の辺の数を答えなさい。

（２）この立体を正方形ＡＢＣＤの真上から見たときの図を描きなさい。

（３）この展開図から立体を作ったとき、図１の展開図で点Ｐ と重なる点すべてに○印をつけなさい。

（４）正方形１個の面積が１８ｃ㎡ のとき、この立体の体積を求めなさい。

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（１）正方形は６個あるので、正方形の辺の数は、４×６＝２４本、

正三角形は８個あるので、正三角形の辺の数は、３×８＝２４本。

合わせて、４８本の辺があります。

それぞれの辺は、立体を作るときに、２本が重なって１本になる

ので、立体の辺の数は、４８÷２＝２４本 です。

（２）図１より、すべての正方形のとなりには正三角形が、

すべての正三角形のとなりには正方形があるので、立体は下の図３のようになります。

ここで、図３の上の面と底面の正方形は同じ大きさなので、

下の図４のように、底面の真上に上の面の正方形があるということになります。

次に、側面を囲む４つの正方形は、下の図５のように、

図４の矢印と直角に交わる線で頂点を結ぶことができ、

（図が見にくくなるので裏面は省略、正方形の対角線は直角に交わる）

この立体を正方形ＡＢＣＤの真上から見た図は、下の図６のようになります。

　　　　　　

四角形ＰＱＲＳ は、ＰＱ＝ＱＲ＝ＲＳ＝ＳＰ なので、

ひし形か正方形になりますが、図の対称性から、ＰＲ＝ＳＱ で、正方形になります。

（３）点Ｐ と重なる点は、下の図７のように追うことができます。

　　　　

　（４）正方形ABCDの面積が１８ｃ㎡ のとき、

図６の正方形PQRSの面積は ３６ｃ㎡ となるので、PQ＝６ｃｍ とわかります。

この立体は、下の図８の立方体から、

三角すいO－ABP と同じものを８個取り除いてできる立体です。

立方体の体積＝６×６×６＝２１６ｃ㎥

取り除く部分の体積＝３×３÷２×３÷３×８個＝３６ｃ㎥

なので、この立体の体積は、２１６－３６＝１８０ｃ㎥ と求められます。

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