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2014年12月20日 (土)

この立体図形と展開図の関係は?(渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。 

この正方形6個と正三角形8個を組み合わせて、

下の図1のような展開図になる図2のような立体を作りました。

     Pic_4110q

Pic_4111q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の辺の数を答えなさい。

(2)この立体を正方形ABCDの真上から見たときの図を描きなさい。

(3)この展開図から立体を作ったとき、図1の展開図で点P と重なる点すべてに○印をつけなさい。

(4)正方形1個の面積が18c㎡ のとき、この立体の体積を求めなさい。

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(1)正方形は6個あるので、正方形の辺の数は、4×6=24本、

正三角形は8個あるので、正三角形の辺の数は、3×8=24本。

合わせて、48本の辺があります。

それぞれの辺は、立体を作るときに、2本が重なって1本になる

ので、立体の辺の数は、48÷2=24本 です。

 

(2)図1より、すべての正方形のとなりには正三角形が、

すべての正三角形のとなりには正方形があるので、立体は下の図3のようになります。

Pic_4112a

ここで、図3の上の面と底面の正方形は同じ大きさなので、

下の図4のように、底面の真上に上の面の正方形があるということになります。

Pic_4113a

次に、側面を囲む4つの正方形は、下の図5のように、

図4の矢印と直角に交わる線で頂点を結ぶことができ、

(図が見にくくなるので裏面は省略、正方形の対角線は直角に交わる)

Pic_4114a_2

この立体を正方形ABCDの真上から見た図は、下の図6のようになります。

      Pic_4115a

四角形PQRS は、PQ=QR=RS=SP なので、

ひし形か正方形になりますが、図の対称性から、PR=SQ で、正方形になります。

 

(3)点P と重なる点は、下の図7のように追うことができます。

    Pic_4116a

 (4)正方形ABCDの面積が18c㎡ のとき、

図6の正方形PQRSの面積は 36c㎡ となるので、PQ=6cm とわかります。

この立体は、下の図8の立方体から、

三角すいO-ABP と同じものを8個取り除いてできる立体です。

Pic_4117a

立方体の体積=6×6×6=216c㎥

取り除く部分の体積=3×3÷2×3÷3×8個=36c㎥

なので、この立体の体積は、216-36=180c㎥ と求められます。

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