これ、難しいですよ！（２００９年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より）

三角形ABCはAC＝９．５ｃｍで、面積が１５ｃ㎡です。

いま、BCのまん中の点Ｄをとると、角ADC＝１３５°となりました。

このとき、ABの長さを求めなさい。

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図のように、三角形ＡＢＤと三角形ＤＢ’Ａが合同となるようにＢ’とります。

次に、ＡＢ’＝ＤＢ＝ＣＤなので、

三角形ＡＢ’Ｅと三角形ＣＤＡが合同となるように点Ｅを図のようにとることができます。

すると、角ＥＡＣ＝角ＥＡＢ’＋角Ｂ’ＡＤ＋角ＣＡＤ＝角ＡＣＤ＋角ＢＤＡ＋角ＣＡＤ

となります。

角ADC＝135°なので、角BDA＝４５°、角ＡＣＤ＋角CAD＝４５°です。

よって、角ＥＡＣ＝４５°＋４５°＝９０°になります。

以下、同様に三角形ＡＤＢと三角形ＥＢ’Ｆが合同となるようにＦをとり、

三角形ＡＥＢ’と三角形EＧFが合同となるようにＧをとり、

三角形EFＢ’と三角形GHFが合同となるようにＨをとっていきます。

すると、四角形AEGCは角CAE＝角GEA＝９０°で、

CA＝AE＝EGなので、正方形とわかります。

よって、三角形CGHと三角形GEFは

GC＝EG、GH＝EF、角HGC＝角FEGとなるので、合同とわかります。

また、三角形ＣＨＤとＧＦＨもCD＝GH、CH＝GF、角ＤＣＨ＝角HGFなので、

合同とわかります。

以上から、ＤＢ’＝Ｂ’Ｆ＝ＦＨ＝ＨＤとなります。

さらに、角ＤＢ’Ｆ＝角Ｂ’ＦＨ＝角ＦＨＤ＝角ＨＤＢ’となり、

よって、四角形ＤＢ’ＦＨは正方形とわかります。

すると、正方形AEGCと正方形ＤＢ’ＦＨの面積の差は、

三角形ABCの４倍の大きさとわかります。

よって、正方形ＤＢ’ＦＨの面積は、

９．５×９．５－１５×４＝１２１/４ｃ㎡　となり、

よって、ＡＢ＝ＤＢ’の長さは１１/２＝５．５ｃｍ　とわかります。

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