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2014年12月

2014年12月31日 (水)

平行線を利用した相似問題

一辺が5cm、25cm、30cmの正方形が図のようにならんでいます。

色のついた部分の面積は何c㎡になりますか。

1_2

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Bandicam_20141231_090627198

Bandicam_20141231_090645204

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正八面体にならないのは?(第6回算数オリンピック、トライアル問題より)

A~Fのうち、組み立てても正八面体にならない展開図はどれでしょうか?

1_2

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CとDとEとF

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直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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(1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつあるので、

1個目の印を辺AB,BC,AC のどこにつけるかで、図1、図2のように形が変わります。

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつけるので、

下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び操作を行うと、

図7では直角三角形の個数は、8個となります。

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、下の図8のように、

7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

(2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけなので、

最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図1になるように、

斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、図4の方が多くなります。

その後の3回目の操作では、下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができることがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割されています。

これは、図3→図5のところでも登場しているパターンの増え方です。

2個しか増えません。

1回目の操作で斜辺に印をつけると、

図10の赤い直角三角形が現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、

3回目の操作を行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図2について検証しますが、

2回目の操作で図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図13のように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に分割されるので、

図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

(3)まず、最も多い場合について考えます。

これは、(2)の図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。

すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増えるパターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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2014年12月30日 (火)

ぬり分け方は何通り? (大妻中学 2014年(平成26年度)

Pic_4124q

上の図の5つの部分を赤、白、黄 の3色でぬり分けます。

ぬり分け方は全部で何通りですか。

ただし、となり合う部分どうしは同じ色にならないようにします。

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下の図1のように、5つの部分を①~⑤とします。

 Pic_4125a

①を赤でぬると、①~⑤をぬる色は、上のような樹形図で考えることができ、

10通りです。(②は白が5通りなので、黄も5通り)

 

①を白、黄にしたときも同様に10通りずつ考えられるので、

ぬり方は全部で、10×3=30通り です。

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2014年12月29日 (月)

2015年の海陽中等教育学校入試問題から、3□1□2□4□5=?

下のように1から5までの5つの数を3、1、2、4、5の順に並べて計算式を作ります。

3□1□2□4□5=?

□には+、-、×、÷ がそれぞれ1度ずつ入ります。

 

(1)+、-、×、÷ がこの順番に入ったときの計算結果はいくつですか。

(2)計算結果が9/5になるような入れ方を1つ答えなさい。

(3)計算結果が9/2になるような入れ方をひとつ答えなさい。

(4)一番大きい数になるような入れ方を答えなさい。

Bo3

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(1)12/5または2.4

(2)3-1×2+4÷5  または 3×1-2+4÷5

(3)3-1+2÷4×5

(4)3-1÷2+4×5

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2014年12月28日 (日)

2回で200%にするには?(2005年算数オリンピック、トライアル問題より)

101%から1%ごとに199%まで拡大できるコピー機があります。

このコピー機を2回使って、ある原稿をちょうど200%の大きさにするには、

何%と何%を使えばよいですか?

Sbyac022s

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1回目をA%、2回目をB%とすると、

A/100×B/100=(A×B)/10000

=200/100=20000/10000

A×B=20000になる

101以上199以下のAとBの組み合わせを考えます。

20000素因数分解すると、

20000=2×2×2×2×2×5×5×5×5

AもBも3けたなので、

A=2×2×2×2×2×5=160

B=5×5×5=125

が見つかります。

160%→125% または 125%→160%

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□に入る数は?(慶應義塾普通部 2009年)

次の計算式の□に入る数を答えなさい。

    2+4+6+8+・・・+48+50=□×□+□ 

 □には同じ数が入ります。

Question153729_150

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2+4+6+8+・・・+48+50 は、25個の偶数の和です。

よって、

 2+4+6+8+・・・+48+50=(2+50)×25÷2

                    =52×25÷2

                    =26×25

                    =(25+1)×25

                    =25×25+25

となり、□=25 とわかります。

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2014年12月27日 (土)

生徒は全員で何人?(渋谷教育学園渋谷中学 2013年)

ある小学校の男子生徒の人数は女子生徒の人数の6/7より8人多く、

女子生徒の人数は全体の人数の4/9より16人多くなっています。

生徒は全員で何人ですか。

Pog007s

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問題文を線分図で整理してみます。

1

⑦-16が全体の4/9にあたり

⑥+8+16=⑥+24が全体の5/9にあたります。

(⑦-16):(⑥+24)=4:5

5×(⑦-16)=4×(⑥+24)

2

⑪=176

①=16人

全体の人数=⑬+8=16×13+8=216人

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点の移動による面積変化は?(フェリス女学院中学 2013年)

Pic_3582q

上の図のような長方形ABCD があります。

点P は点A を出発し一定の速さで辺AB上をA → B → A の順に動きます。

点Qは、点A を出発し辺AD と直線PQ が平行であるように A → C → Dの順に動きます。

また、点R は四角形APQR が長方形となるような点です。

点P が点A を出発してから 30秒後の長方形APQR の周の長さが 35cm のとき、

次の問に答えなさい。

(1)点Pが点Aを出発して30秒後の長方形APQRの面積を求めなさい。 

(2)点P の速さは毎秒何cmですか。

(3)長方形APQR の面積が長方形ABCD の面積の 4/9倍になるのは、点Pが点A を出発して何秒後と何秒後ですか。

(4)点Pが点A を出発して点Bに着くまでの途中のある30秒間で長方形APQR の面積は 435c㎡ だけ増加します。

それは点Pが点A を出発してから何秒後からの30秒間ですか。

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(1)AP : AR = 39 : 52 = 3 : 4 なので、

35cmを 3 : 4 に分けると、15cm と 20cm です。

これは、それぞれ、たて×2、横×2 の長さなので、

30秒後の長方形APQR の

たて=7.5cm、横=10cmとわかり、

面積は、7.5×10=75c㎡ です。

 

(2)30秒で点Pは、7.5cm移動するので、点Pの速さは

7.5 ÷ 30 = 0.25cm(毎秒)ということです。

 

(3)長方形ABCD の面積の4/9 になるとき、

AP の長さが何cm かを求めればよいわけです。

点QがAC上にあるとき、AP=□cm とすると、

AR=□×4/3 なので、

     □×□×4/3=52×39×4/9  と表すことができ、

      □×□=52×13=13×4×13

          =13×13×2×2  より、

□=26cm とわかります。

 

次に、点QがCD上にあるとき、AP=□cmとすると、

     □×52=39×52×4/9 と表すことができ、

     □=39×4/9=52/3cm とわかります。

よって、点Pが 26cm 進んだとき

      点Pが 39+(39-52/3)=182/3 cm 進んだときの2回が、

長方形APQRの面積が長方形ABCDの面積の4/9になるときで、

  26÷0.25=104秒後

  182/3 ÷ 0.25 = 182/3 ÷ 1/4 = 728/3

                = 242 と 2/3 秒後

と求められます。

 

(4)点QがCからDへ移動するときは、面積は減少するのみなので、

求めるのは、点QがAからCへ移動しているときです。

30秒間に点Pが移動する長さは、0.25×30=7.5cmです。

30秒間に点Rが移動する長さは、点Pの4/3倍で、10cmです。

移動後の点をそれぞれ点P’,Q’,R’とすると、下の図1のように

Pic_3583a

増えた面積は、青い部分と黄色い部分の合計で、

   黄色い部分の面積 = 7.5×10 = 75c㎡

なので、

   青い部分の面積 = 435 - 75 = 360c㎡

とわかります。

さらに、下の図2のように、図1を2.5cmずつ、【1】ずつの部分に分けると、

Pic_3584a

2.5cm × 【1】 が 12+12=24個 できます。

この1つの面積は、360÷24=15c㎡ と求められるので、

   【1】=15÷2.5=6cm

とわかり、【3】=6×3=18cmです。

よって、AP=18cm となるときから 30秒で435c㎡の面積が増えることがわかり、

点Pが点Aを出発してから

   18÷0.25=72秒後

から30秒間と求められます。

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2014年12月26日 (金)

2つの整数の組は?(第7回算数オリンピック、ファイナル問題より)

それらをたしてできた数は、

十の位と一の位の数字が等しい2けたの整数になり、

それらをかけてできた数は、

百の位、十の位、一の位が等しい3けたの整数になりました。

このような2つの整数の組をあるだけ答えなさい。

Lpsa1105csjpg

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同じ数字がならぶ3けたの整数は、

111×(1けたの整数)=3 ×37×(1けたの整数)

と書けます。

かけ合わせて3×37×(1けたの整数)になる

2つの整数の組み合わせは、

①(1けたの整数) と 3 ×37×(1けたの整数)

②3 と 37×(1けたの整数)

③37 と 3×(1けたの整数)

④(1けたの整数) と 3×37

この4つの組み合わせのいずれかですが、

①と④は3×37が111と3けたになるので不適当、

②は3と37×2=74だけが、3+74=77、3×74=222

③は37と3×6=18だけが、37+18=55、37×18=666

で、条件に合います。

18と37  3と74

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この立体図形の体積は?(世田谷学園中学 2014年)

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Pic_4121q

上の図は、1辺の長さが12cmの立方体です。

(1)4つの頂点A,C,F,H を結んでできる立体の体積を求めなさい。

(2)立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

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 (1)求める立体は、下の図1のようになり、

     Pic_4122a

立方体から、三角すいA-EFH 4個分の体積を除けばよく、

 12×12×12 - 12×12÷2×12÷3×4個

=12×12×(12-8)=144×4

576c㎥

となります。

 

 (2)求める立体は、下の図2の立体PQRSTU で、

      Pic_4123a

この立体は、面QRST を底面とする 2つの四角すい

P-QRST と U-QRST を合わせたもので、

それぞれの高さは、立方体の1辺の長さの半分の 6cm、

四角形QRST の面積は、正方形ABCD の半分の 72c㎡

なので、この立体の体積は、

 72×6÷3×2個=288c㎥

と求められます。

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2014年12月25日 (木)

側面積の比は何対何?(栄東中学東大選抜 2006年)

図のような体積の等しい2つの円柱A、Bがあり、

高さの比は16:9です。

このときA、Bの側面積の比は何対何ですか?

Bandicam_20140402_084556375

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体積が等しいことから、

底面積の比は逆比となり、A:B=9:16=3×3:4×4

すると半径の比は、A:B=3:4

側面積の比は、A:B=3×16:4×9=48:36=4:3

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角ア、イ、ウの大きさは?(女子学院中学 2013年)

Pic_3280q

上の図のように、正五角形の中に正方形ABCD と正三角形BEFがあります。

このとき、角ア、イ、ウの大きさを求めなさい。

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まず、正五角形の1つの角度は、108度です。

下の図1で、三角形ADG は、AD=AG の二等辺三角形で、

  Pic_3281a

角DAG=108-90=18度 より、

角AGD=(180-18)÷2=81度 なので、

角ア=108-81=27度 です。

次に、下の図2の三角形AGH は、GA=GHの二等辺三角形で

  Pic_3282a

角GAH=(180-108)÷2=36度 なので、

角イ=108-36=72度 です。

下の図3の三角形BE I において、

  Pic_3283a

 

角BE I +角E B I =角ウ で、角E B I=角DAG=18度より、

角ウ=18+60=78度 とわかります。

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2014年12月24日 (水)

出題意図を超えた子供たちの柔らか頭(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

人口1000人の村に1000軒の家があり、村の人はみんな一人で住んでいます。

この村では、お正月にすべての村の人が、

自分の家からいちばん近い距離にある家に1枚だけ年賀状を出します。

家どうしの距離はみんな違います。

また、村の外から年賀状は来ません。

さて、この村では、一人の村の人が最高で何枚の年賀状をもらえますか。

その理由も答えなさい。

Cnb901s

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△ABCでa>bならば∠C>∠B

1_2

どの家でもよいから1軒(A)をきめ、

それに対してより近い2軒B、Cとの3軒で三角形をつくります。

Aが、BとCから年賀状をもらったら、

BC>BAなので∠A>∠C

CB>CAなので∠A>∠B

これは、三角形の1つの内角(∠A)が、

他の内角(∠Bと∠C)よりも大きいということです。

そして三角形の内角の和は180゜ですから、

∠A(下図の△1~4)>60゜以上でなければなりません。

ところが、もしAさんが6人以上から年賀状をもらっていたら、

∠△1~4と∠□ともう一つの角も60゜以上にならなければならず、

360°を超えてしまい、不可能です。

2_2

つまりある人がもらう年賀状は5枚以下です。

という答えが出題意図だったようですが・・・・・・

999枚という答えがたくさんあったそうです。

子供たちは下図のように、大きな家が一軒あって、

その周りを999軒の家が囲んでいる村を想像したのです。

3_2

だから真ん中の家は999枚の年賀状をもらえます。

家を点として考える大人たちの出題意図を、

子供たちの柔軟な頭が超えてしまった例ですね。

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何個ずつ買ったでしょうか?(学習院中等科 2010年)

春子さんと秋子さんは3つの品物A,B,C を買いました。

A,B,Cの1つあたりの値段は、それぞれ194円、85円、70円  です。

二人はどの品物も少なくとも1個は買っています。

(1)春子さんは、

   A,B,C  を合わせて16個買ったところ、代金が1676円でした。

   それぞれ何個買ったのでしょうか?

(2)秋子さんは、

   A,B,C  を合わせていくつか買ったところ、代金が2000円でした。

   A,B,C  をそれぞれ何個買ったのでしょうか?

Ilm16_aa04003s

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(1)Aが194円、Bが85円、Cが70円で、16個買って1676円

合計金額が偶数なので、Bは、偶数個買っていることになります。

(A,Cは偶数の値段にしかならず、偶数+奇数=奇数なので)

Bを170円として考えると、

194円を何個か、170円を何個か、70円を何個かで、

1676円になると考えられます。

一の位が6になるには、Aは、4個か9個ですが、

9個では194×9=1746円で1676円以上になってしまいます。

もちろん14個でも1676円以上になり、

Aは4個に決まります。 

Aが4個の場合、194×4=776円より、

B,Cで、1676-776=900円になればよいわけです。

つるかめ算で、B,C合わせて12個、900円で計算すると、

1

白い部分の横は120÷15=8個・・・Cの個数

12-8=4個・・・Bの個数

B=4個、C=8個とわかります。

よって、A4個、B4個、C8個を買ったことがわかります。

 

(2)A,B,C 合わせて2000円になるのは、

(1)と同様にBが偶数個買われたときです。

(1)と同様に、Bを170円と考えると、

A:194円を何個か、B:170円を何個か、C:70円を何個かで

合計2000円にすることになります。

一の位が 0 なので、Aの個数として考えられるのは、

5個 または 10個ですが、

Aが10個の場合、Aで1940円となり、

残り60円ではB,Cを買うことができません。

よって、Aの個数は 5個 です。

194×5=970 より、B,C の合計の金額は、

2000-970=1030円 です。

170円を何個かと、70円を何個かで、1030円にすることを考えます。

全体の個数がわからないので、つるかめ算では計算できないので、

順番に調べていきます。  

B=170のとき、C=1030-170=860 ・・・ ×

B=170×2=340のとき、C=1030-340=690 ・・・ ×

B=170×3=510のとき、C=1030-510=520 ・・・ ×

B=170×4=680のとき、C=1030-680=350 ・・・ ○

B=170×5=850のとき、C=1030-850=180 ・・・ ×

B=170×6=1020のとき、C=1030-1020=10 ・・・ ×

以上より、A=5個、B=4×2=8個、C=5個 とわかります。

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平行四辺形が回転すると・・・(高槻中学 2012年) 

直線Lと直線Mは垂直に交わっています。

また、下の図のように 平行四辺形ABCD があります。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3207q

(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させてできる立体Pの体積を求めなさい。

(2)平行四辺形ABCDを直線Lのまわりに1回転させてできる立体Qと立体Pの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

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(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させると、

下の図1の三角形OABが回転してできる円すいと

三角形BCDが回転してできる円すいは、合同なので、

 Pic_3208a_2

求める体積は、長方形OADBを直線Mのまわりに1回転させてできる

円柱の体積と等しくなり、立体Pの体積は、

  4×4×3.14×3=48×3.14=150.72(c㎥)

となります。

 

(2)平行四辺形ABCDを直線Lの周りに1回転させたときにできる立体の体積は、

辺CDをのばして直線Lとの交点をE としたとき、

下の図2のように三角形OCE を直線Lの周りに1回転させた円すいから、

三角形ADE,OBAを直線Lの周りに1回転させた円すいを除いたもので、

Pic_3209a

立体Qの体積は、

  6×6×3.14×8÷3-3×3×3.14×4÷3×2個

=(6×6×8-3×3×4×2)×3.14÷3

=(36-9)×8×3.14÷3

=72×3.14   となります。

立体Pの体積=48×3.14

立体Qの体積=72×3.14   なので、

立体Pの体積 : 立体Qの体積 = 48 : 72 

                                           = 2 : 3    となります。

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2014年12月23日 (火)

何歳?(愛光中学 2010年)

父、母、兄、妹の4人家族がいます。兄は妹より4歳年上です。

現在、母の年齢は兄の年齢の3倍で、

8年後には父の年齢は妹の年齢の3倍になります。

父は母より[①]歳年上です。また、現在の4人の年齢を足すと96歳です。

現在、母の年齢は[②]歳、妹の年齢は[③]歳です。

Ilm08_cc01025s

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Bandicam_20141223_101030206

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どちらがどれだけ大きい?(麻布中学 2010年)

1辺の長さが1cmの黄と白の正方形が図のようにしきつめられています。このとき,太線で示された(1)から(3)の各図形の中の,黄の部分の面積と白の部分の面積はどちらがどれだけ大きいですか。

9231

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(1)△ABC内には相似の直角三角形が4つ見つかります。

9232

△赤は底辺が1/4ですから面積は1/4×1÷2=1/8

黄→(2/4×2÷2)-1/8=3/8

緑→(3/4×3÷2)-(1/8+3/8)=5/8

青→(4/4×4÷2)-(1/8+3/8+5/8)=7/8

面積比は赤:黄:緑:青=1:3:5:7

△ABCの黄部分=7+3=10

△ABCの白部分=5+1=6

(10-6)×1/8=4/8=1/2=0.5c㎡黄色部分が大きくなります。

(2)は同数です。

9233

(3)は(1)と(2)の結果を利用します。

9234_2 

全体が同数ですから、(2)の同数の水色部分を引いても残り部分は同数です。

青部分は黄色が0.5c㎡大きいので、残りは白部分が0.5c㎡大きくなります。

そこから(1)の白部分が0.5c㎡大きい赤い直角三角形2つを引くと、残りは黒部分が0.5c㎡大きくなります。

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仕事算の応用! (聖光学院中学 2014年)

聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに取り組みます。

聖さんだけで仕事A を終わらせるには60分、仕事B を終わらせるには80分かかり、

光さんだけで仕事A を終わらせるには100分、

仕事B を終わらせるには120分かかります。

いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに同時に取り組み始めました。

規則1 1つの仕事に2人で同時に取り組むことはできない。

規則2 仕事が2つとも残っているときには、2人ともどちらかに取り組む

規則3 仕事が1つだけ残っているときには、2人のうちどちらかが取り組む

規則4 仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることができる

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる時間は考えないものとします。

(1)仕事A を終わらせるのにかかった時間が70分だったとすると、聖さんが仕事A に取り組んだ時間は何分ですか。

また、2人が仕事を始めてから仕事B を終わらせるまでにかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

(2)仕事A,Bを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Aに取り組んでいた時間は何分ですか。

また、仕事が終わったのは、2人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

Question153729_150

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(1)仕事A を聖さんは、1分で 1/60、光さんは1分で1/100終わらせます。

2人で70分かかって終わらせたので、下の図1を用いて、

つるかめ算で求めることができます。

  Pic_4118a

70分、光さんが仕事A をすると、

  1/100 × 70 = 7/10  が終わり、3/10 が足りないので、

  1/60 - 1/100 = 1/150  より、聖さんが仕事A に

  3/10 ÷ 1/150 = 45分  取り組めばよいことがわかります。

次に、仕事B を聖さんは1分で1/80、光さんは1分で1/120終わらせるので、

仕事A が終わった時点で、仕事B は聖さんが25分、光さんが45分取り組んで、

 1/80 × 25 + 1/120 × 45 = 165/240 = 11/16

が終わっています。残りは、5/16 です。

最も早く終わるのは、聖さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/80=25分

最も遅く終わるのは、光さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/120=37.5分=37分30秒  かかるので、

仕事B を終わらせるのにかかった時間は、

 95分以上107分30秒以下

です。

 

(2)聖さんが仕事A に取り組むとき、光さんが仕事B に取り組んでいて、

1分間に 聖さんは仕事A を 1/60ずつ、

光さんは仕事B を 1/120 ずつ 終わらせます。

ということは仕事A と仕事B が終わる速さは、1/60 : 1/120 = 2 : 1 で、

聖さんと光さんが入れかわる時点で、下の図2のように仕事が進んでいます。

          Pic_4119a

聖さんが仕事B に取り組むと、光さんが仕事B に取り組んでいて、

1分間に 聖さんは仕事B を 1/80ずつ、

光さんは仕事A を 1/100 ずつ 終わらせます。

仕事A と仕事B が終わっていく速さは、

 1/100 : 1/80 = 4 : 5  なので、

A,B同時に終わるとき、下の図2のようになります。

  Pic_4120a

(たまたま)2つの和が 6 になるので、

聖さんは仕事A の2/6=1/3 を終わらせたので、

聖さんが仕事A に取り組んだ時間は、

  1/3÷1/60=20分  と求められ、

光さんは仕事A の 4/6=2/3 を終わらせたので、

光さんが仕事A に取り組んだ時間は、

  2/3÷1/100=200/3分=66と2/3分=66分40秒

と求められるので、

仕事A,B が同時に終わったのは、

  20分+66分40秒=86分40秒後  です。

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2014年12月22日 (月)

3けたの数は??(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル改題)

D子さんは紙に3けたの数を書き、裏返しにして机の上に置きました。

A君「その数字、ぼくのカンでは218だな」

B君「ぼくは917だと思うよ」

C君「ひらめいた!888だ」

D子「3人とも異なるけたの数字1個ずつだけは合っているわ」

さて、この数字いくつでしょうか?

Pfa020s

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A→2 1 8

B→9 1 7

C→8 8 8

各位1つずつ合っているので、

1の位は7、10の位は8

一人1つずつ合っているので、

100の位はA君の2

したがって、287

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魔方陣の難問! (東大寺学園中学 2006年)

4つの円ア、イ、ウ、エが下の図のように交わり、10個の部分に分かれています。

この10個の部分に0~9までの10個の数字を同じ数は使わないように、

しかも各円内の数字の和が同じ値(Aとする)になるようにわりあてます。

たとえば図1では、

円(ア)の和は、9+0+3+4+7=23

円(イ)の和は、0+3+4+7+2+6+1=23

円(ウ)の和は、3+4+2+6+8=23

円(エ)の和は、4+7+6+1+5=23

となり、A=23  です。

(1)下の図2の□にあてはまる数はいくつですか?

(2)

①Aの値のうち、最も小さい数はいくつですか?

②下の図3において、Aの値が最も小さくなるように□に数字をあてはめてください。

(3)下の図4の□に数をあてはめてください。

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 (1)図2は、下の図5のように円イの中の数がすべてわかるので

円イの中の数の和=3+1+4+5+2+7+0=22となり、

円ア、ウ、エにある数との差を求めることで、

□に入る数がわかりますが、ここで、円の重なった部分に注目すると、

下の図6のように

円アと円イでは、黄色い部分が共通なので、

残りの  X と 2+7+0 が等しいことがわかります。

すなわち、X=9  です。

同様に、Y=3+5+0=8、Z=3+1+2=6  と求められます。 

 

(2)①4つの円の関係を考えると、円イの7個の数の和=Aです。

10個の数の和は、0+1+2+・・・+9=45  なので、下の図7のように、

円イ以外の数をX,Y,Zとすると、

A+(X+Y+Z)=45  となります。

ここで、Aの値が最も小さくなるようにするには、

X+Y+Z=9+8+7  として大きい方から順に数を除けば

Aの値が最も小さくなることがわかります。

このとき、Aの値は、45-(9+8+7)=21  です。

『Aの値が21より小さくなることもあるのでは?!』

と考える人がいるかもしれません。

では、Aが21より小さくなったらどうなるか考えましょう。 

下の図8のように、円イを大きい黄色い円で表し、Aの値を書くと、

 

A=21のときは、成り立っています。

A=20にすると、Aが1減っているので、外側の数を増やしてあげないといけませんが、

図のように同じ数を使うことになり、問題の条件に合わなくなります。 

よって、Aの値のうち、最も小さい数は21ということです。  

 

(2)②  図3で、Aの値が最も小さくなるのは、円ウに「8」が書かれているので、

①の場合、すなわちA=21にすることができます。

下の図9のX,Yには、「9」か「7」が入ります。

P,Q,R,Sには、残る「2」、「3」、「5」、「6」のどれかが入ります。

次にまずわかるのは、下の図10のように円イとウを比べると、

8=4+Q+1  となるので、Q=3  とわかります。 

次に、円イとエを比べてみると、下の図11のように、

Y=4+P+0  ということがわかります。

ここで、Yは「9」か「7」でした。

 Y=9 のとき、P=5 です。

 Y=7  のとき、P=3 です。しかし3はすでにQの場所にあるので

Y=9、P=5  ということになります。したがって、X=7です。

最後に円アとイを比べてみると、下の図12のように

7=0+S+1  なので、S=6  とわかります。最後に残ったR=2で、

それぞれの円の数の和A=21になり、下の図13のようになります。


 

(3)まず、すでに書かれている数「5」、「4」が含まれる円アとイについて比べてみると、

下の図14のように、

5=4+S+U  ということから、SとUは「0」と「1」のどちらかということがわかります。 

次に、S,Uが含まれる円イとエについて比べてみると、下の図15のように、

Y=P+T+4  となることがわかります。

0,1,4,5が現れているので、残っている数は、

2,3,6,7,8,9 の6個で、 Y=P+T+4  を満たすのは、

P,T に小さい方から2,3をいれたときにY=9  となる場合です。

よって、Y=9で、P,Tには2か3が入ることがわかります。 

X,R,Qには、残った6,7,8のどれかが入ることになります。

次に、Xについて図8のように考えると、下の図16のように、

Xの値とAの値の関係ができます。それぞれ調べると、

X=6のとき、下の図17のように

円ウの数の和は、最も大きいときでも、6+4+3+8+1=22となり、

A=25にはならないので、Xは「6」ではありません。 

次に、X=7のとき、下の図18のように 

円ウの数の和は、最も大きいときで、7+4+3+8+1=23なので、

A=24にならないので、X=7でもありません。 

よって、X=8のとき、下の図19のようになり、

円ウの数の和が、8+4+3+7+1のとき、A=23となり、

4つの円の数、それぞれの和が23となります。

ゆえに、すべての数は下の図20のようになります。

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受付のニュートン算(桜蔭中学 2012年)

ある学校では、文化祭を2日間行いました。

2日とも、入場開始前の受付に、すでに長い列ができていて、

入場開始後は5分ごとに100人の入場希望者が列に加わっていきました。

1日目は受付の数を7ヵ所にしたところ、

入場開始から45分後に列に並んでいる人は10人になりました。

2日目は入場開始前の列が1日目よりも25人多かったので、

受付の数を8ヵ所にしたところ、

入場開始からちょうど20分後に列に並んでいる人がいなくなりました。

どの受付場所でも、5分ごとに受付のできる人数は同じです。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1ヵ所の受付場所で5分ごとに何人の受付ができましたか。

(2)2日目の入場開始前に列に並んでいた人は何人ですか。

Ilm07_ca19016s

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解答

 (1)最初に並んでいた人数を □人 とします。

1か所の受付が5分間に受付する人数を■人とします。

 

1日目、45分後、列に並んでいる人数は10人になっていたので

 □+100×9-■×7×9=10 ・・・ ①

という式ができます。

 

2日目、20分で列がなくなったので、

 □+25+100×4-■×8×4=0 ・・・ ②

という式ができます。

 

①より、

  □+890-■×63=0 ・・・ ③

②より、

  □+425-■×32=0 ・・・ ④

③、④を比べると、

  890-■×63=425-■×32

なので、下の図1のように

        Pic_3787a

■×(63-32)=890-425=465 より、

■=465÷31=15 で、5分ごとに 15人 の受付をしていた

ことがわかります。

 

 (2)□+425-■×32=0 で、■=15なので、

□+425-480=0 で、□=55人です。

 

よって、2日目に並んでいた人は、55+25=80人 です。

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2014年12月20日 (土)

マッチ棒取りゲーム(第11回算数オリンピック、トライアル問題より)

100本のマッチ棒の山があります。2人が順番にこの山からそれぞれ1回に10本以下のマッチ棒を取っていき、最後に残ったマッチ俸を取ったほうが勝ちというゲームをします。先手が必ず勝つためには最初に何本取れば良いですか。

Cfa021s

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1人が1回こ取れる本数は1本以上10本以下なので、

先手は後手に対して11本残すようにすれば、

次に後手がどのような本数を取ったとしても、

最後の残りすべてを先手が取ることができます。

そのためには先手は、後手が11+1=12本以上、

11+10=21本以下の本数を残させるようにすればよいので、

前の先手の順番の時に12+10=22本を、

後手に対して残せばよいことになります。

以上のように考えて、

先手が後手に対して残す本数をさかのぼっていくと、

11、22、33、…………、99となり、

先手は最初に100-99=1本取ればよいことがわかります。

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周囲の長さは?(函館ラ・サール中学 2009年)

たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)は何cmですか?

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか?

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(1)太線の長さは、下の図1のように、

図形がぴったり入る長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

(2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cmとなるので、

たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、

たて=37cm、横=38cm となります。

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

(1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、

図形を青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

(2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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この立体図形と展開図の関係は?(渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

辺の長さが等しい正方形と正三角形があります。 

この正方形6個と正三角形8個を組み合わせて、

下の図1のような展開図になる図2のような立体を作りました。

     Pic_4110q

Pic_4111q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)この立体の辺の数を答えなさい。

(2)この立体を正方形ABCDの真上から見たときの図を描きなさい。

(3)この展開図から立体を作ったとき、図1の展開図で点P と重なる点すべてに○印をつけなさい。

(4)正方形1個の面積が18c㎡ のとき、この立体の体積を求めなさい。

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(1)正方形は6個あるので、正方形の辺の数は、4×6=24本、

正三角形は8個あるので、正三角形の辺の数は、3×8=24本。

合わせて、48本の辺があります。

それぞれの辺は、立体を作るときに、2本が重なって1本になる

ので、立体の辺の数は、48÷2=24本 です。

 

(2)図1より、すべての正方形のとなりには正三角形が、

すべての正三角形のとなりには正方形があるので、立体は下の図3のようになります。

Pic_4112a

ここで、図3の上の面と底面の正方形は同じ大きさなので、

下の図4のように、底面の真上に上の面の正方形があるということになります。

Pic_4113a

次に、側面を囲む4つの正方形は、下の図5のように、

図4の矢印と直角に交わる線で頂点を結ぶことができ、

(図が見にくくなるので裏面は省略、正方形の対角線は直角に交わる)

Pic_4114a_2

この立体を正方形ABCDの真上から見た図は、下の図6のようになります。

      Pic_4115a

四角形PQRS は、PQ=QR=RS=SP なので、

ひし形か正方形になりますが、図の対称性から、PR=SQ で、正方形になります。

 

(3)点P と重なる点は、下の図7のように追うことができます。

    Pic_4116a

 (4)正方形ABCDの面積が18c㎡ のとき、

図6の正方形PQRSの面積は 36c㎡ となるので、PQ=6cm とわかります。

この立体は、下の図8の立方体から、

三角すいO-ABP と同じものを8個取り除いてできる立体です。

Pic_4117a

立方体の体積=6×6×6=216c㎥

取り除く部分の体積=3×3÷2×3÷3×8個=36c㎥

なので、この立体の体積は、216-36=180c㎥ と求められます。

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2014年12月19日 (金)

これ、難しいですよ!(2009年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

三角形ABCはAC=9.5cmで、面積が15c㎡です。

いま、BCのまん中の点Dをとると、角ADC=135°となりました。

このとき、ABの長さを求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

3

図のように、三角形ABDと三角形DB’Aが合同となるようにB’とります。

次に、AB’=DB=CDなので、

三角形AB’Eと三角形CDAが合同となるように点Eを図のようにとることができます。

すると、角EAC=角EAB’+角B’AD+角CAD=角ACD+角BDA+角CAD

となります。

角ADC=135°なので、角BDA=45°、角ACD+角CAD=45°です。

よって、角EAC=45°+45°=90°になります。

以下、同様に三角形ADBと三角形EB’Fが合同となるようにFをとり、

三角形AEB’と三角形EGFが合同となるようにGをとり、

三角形EFB’と三角形GHFが合同となるようにHをとっていきます。

すると、四角形AEGCは角CAE=角GEA=90°で、

CA=AE=EGなので、正方形とわかります。

よって、三角形CGHと三角形GEFは

GC=EG、GH=EF、角HGC=角FEGとなるので、合同とわかります。

また、三角形CHDとGFHもCD=GH、CH=GF、角DCH=角HGFなので、

合同とわかります。

以上から、DB’=B’F=FH=HDとなります。

さらに、角DB’F=角B’FH=角FHD=角HDB’となり、

よって、四角形DB’FHは正方形とわかります。

すると、正方形AEGCと正方形DB’FHの面積の差は、

三角形ABCの4倍の大きさとわかります。

よって、正方形DB’FHの面積は、

9.5×9.5-15×4=121/4c㎡ となり、

よって、AB=DB’の長さは11/2=5.5cm とわかります。

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正しい面積は?(青山学院中等部 2012年)

下の図形の面積を求めるのに、

よしお君はDCの長さをまちがえて2cm短くしたため、

面積が正しい面積より22㎡少なくなりました。

さち子さんはEDの長さをまちがえて3cm長くしたため

面積が正しい面積より15c㎡少なくなりました。

正しい面積は何c㎡でしたか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

こたえ

2

縦長の長方形と横長の長方形の2つ部分に分けて考えてみます。

xcmを2cm短くしても縦長の長方形は変化しません。

すると赤い部分だけが減った面積なので、

ycm×2cm=22c㎡ で、y=11cm になります。

ycmを長くすると、縦長長方形は緑部分が減り、横長長方形は黄色部分が増えます。

緑のほうが黄色より大きいために全体が減ったので、

3cm×12cm-3cm×xcm=15c㎡

x=7cm

全体の面積=(17-11)×12+11×7=149c㎡

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移動する点の規則性は?(開成中学 2008年) 

1辺5cmの正五角形ABCDEがあります。

下の図1のように正五角形の各頂点、およびそれぞれの辺に頂点から1cmずつ印がついています。

いま、25個ある印のうち、点E  には黒丸を置き、それ以外の5ヶ所に白丸を置きます。

  

白丸は正五角形の周上を反時計回りに秒速1cmで動きます。

また、黒丸は正五角形の対角線上をE → B → D → A → C →  E → B → ・・・  の順で3秒ごとに次の頂点に着くように、一定の速さで動きます。

黒丸と白丸が同時に動き出し、黒丸と白丸が重なると、その白丸が消えます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)動き出して15秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方を下の図2に書きこみなさい。

 

(2)動き出してからちょうど18秒ですべての白丸が消えるような白丸の置き方は何通りありますか。

(3)下の図3のように、白丸が5個連続でならんでいる(白丸の間に印または黒丸がない)ような置き方を考えます。

このとき、動き出してからすべての白丸が消えるまでにかかる時間が最も短い場合の白丸の置き方の例を図2に書きこみ、そのときにかかる時間を答えなさい。

  

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)黒丸が3秒で次の頂点に達するので、

15秒では15÷3=5個の頂点を移動することがわかります。

動く白丸の数が5個なので、各頂点で1個の白丸が黒丸と重なれば、

すべての白丸が消えます。

まず、黒丸がE  → B に移動するときに消える白丸は、

Bから3個手前の、下の図4のような位置になります。

 

同様にして、B →  D に移動して消える白丸は、D から6個手前、

D → A に移動して消える白丸は、A から9個手前、

A → C  に移動して消える白丸は、C から12個手前、

C → E に移動して消える白丸は、E  から15個手前にあればよく

下の図5のような位置になります。

 

(2)18秒で黒丸が移動できる頂点は、18÷3=6個です。

(1)より1つ多くなり、E  → B → D → A → C → E → B  と移動します。

最後の頂点Bに移動したときに消える白丸の位置は、

頂点Bから18個手前の印で、下の図6のようになります。

(1)の図5の5個の場所と重なっていないので、

この6ヶ所の位置から5ヶ所を選べばよく、

白丸の置き方は5通り  あることがわかります。

(3)黒丸と重なって消える白丸の位置は、

下の図7のように7個ずつ移動しながら存在することがわかります。

このことを利用して、連続する5個の白丸ができる位置を探します。

始まりが頂点E  なので、E  から始まる数直線を書いてみると、

下の図8のようになり、黒丸と重なる白丸の位置は、

7の倍数のときとなります。(数字の振り方に注意しましょう)

まず最初に黒丸が頂点Bに移動したときに重なる白丸は、最初「7」の位置です。

次に、頂点Dに移動したときに重なる白丸は「14」の位置です。

これを順番に調べていきます。

印が25個周期であることから、25ずつ調べます。

1~25まで・・・7、14,21

26~50まで・・・28、35、42、49

51~75まで・・・56、63、70

このように7の倍数を書けますが、連続しているか判断しにくいので、

26以降を1~25に書き直します。

すなわち、「28」なら、図8の数直線では「3」と同じです。

26~50までは、25を引き、51~75までは50を引き、

といったように調べていくと、

1~25まで・・・7、14,21

26~50まで・・・28(3)、35(10)、42(17)、49(24)

51~75まで・・・56(6)、63(13)、70(20)

76~100まで・・・77(2)、84(9)、・・・

この辺りまで調べると、(  )内だけ周期的に調べればよいことがわかり、

下のように書けます。

1~25まで・・・7、14,21

26~50まで・・・3、10、17、24

51~75まで・・・6、13、20

76~100まで・・・2、9、16、23

101~125まで・・・5、12、19

126~150まで・・・1、8、15、22 

多くの数が出てきたところで、連続した数がないか調べると、

5,6,7,8,9,10  の連続した6個が現れていることが見つけられ、

ここから5個を選べばよく、下の図9のような位置になります。

(12,13,14,15,16  や 20,21,22,23,24 もありますが、

 5,6,7,8,9,10の方が黒丸と重なるのが早いです) 

「8」の位置まで移動するのに、黒丸が移動した頂点の数は、

    3+4+3+4+3+2=19個  で、

1つの頂点への移動に3秒かかるので、

連続して5個ならんだ白丸が消えるまでの最短の時間は、

    19×3=57秒  と求められます。

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2014年12月18日 (木)

勝ち数と負け数は?(第7回算数オリンピック、トライアル問題より)

A~Fの6チームでサッカーのリーグ戦(総当たり戦)をしています。どのチームも15試合もしくは16試合が終了した時点での順位は下の表の通りです。順位は勝率(勝ち数を試合数で割ったもの)順にならんでいます。勝ち数、敗け数の書かれていない部分(ア~キ)に適当な数字を入れなさい。ただし引き分けはありません。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

試合数からいって(イ)は8か9、(オ)は7か8ですが、

(イ)に8を入れると、2位の勝率は0.56・・・

(オ)に8を入れると、5位の勝率は0.5

その間に入る勝率の組み合わせはないので不適、

(オ)に7を入れると、5位の勝率は0.46・・・

その間に入る勝率の組み合わせは8勝8敗だけなので不適、

つまり、3、4位がなりたたないので、(イ)は9。

(オ)を8にするとやはり3、4位がなりたたないので、

(オ)は7に決まります。

(ウ)を9とすると、

勝率からいって(カ)は8でなくてはならないのですが、

それでは試合数がオーバーします。

また7とすると、(カ)が7では試全数が不足し、

8では勝率から4、5位がなりたたないので、

(ウ)は8に決まります。

(カ)は7か8ですが、勝率からいって7、

(エ)に7を入れると、

(キ)が8でも9でも5位チームがなりたたないので、

(エ)は8に決まります。

(キ)も8になります。

負け数を合計すると47、1位以外の勝ち数を合計すると36、

よって1位の勝ち数は47-36=11で、(ア)は11。

2

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アの角度は何度?(青山学院中等部 2014年)

下の図1の三角形ABC を頂点B が辺AC の上にくるように折ったところ、

図2のようになりました。

次に、頂点A が辺DBの上にくるように折ったところ、

図3のようになりました。このとき、アの角度は何度でしょうか?

Pic_3785q

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

角A の大きさは、180-(27+85)=68°です。

次に、下の図4のように ●、○と等しい角度の部分を表すと、

        Pic_3786a

●=(180-36)÷2=72°

○=180-(68+72)=40°

と求められます。

角B=27°なので、

ア=180-(○+○+27)=73°

です。

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角度は? (須磨学園中学 2011年) 

下の図において、太線2本は平行です。

図の角あの大きさを求めなさい。

    Pic_3964q_2

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

下の図1のように、ABを延ばし、交点をC とします。

  Pic_3965a

六角形BCDEFGの内角の和は、720°なので、

図1の角い の大きさは、

 720-(141+70+40+93+60)=316°

と求められ、角あ の大きさは、

 360-316=44°

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2014年12月17日 (水)

算数オリンピック問題に挑戦!3つの連続する数の積は?(第11回、トライアル問題より)

ア~オの中で、3つの連続する2けたの整数の積として考えられるものは

どれでしょうか?

                    ア:1321

                    イ:12144

                    ウ:980100

                    エ:5812

                    オ:44568

Bo4

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

連続する3つの整数の積の1けたの数は、

0×1×2→0、

1×2×3→6、

2×3×4→4

3×4×5、4×5×6、5×6×7→0

6×7×8→6

7×8×9→4

8×9×0、9×0×1→0

つまり、0か4か6になるので、

イ→12144 か ウ→980100 のいずれかになります。

それぞれ、素因数分解すると、

イ→12144=2×2×2×2×3×11×23

ウ→980100=2×2×3×3×3×3×5×5×11×11

ウは2個の11を2つの整数に分けると、

両方とも11の倍数になり、その差も11の倍数になるので、

連続しません。

1つの整数を11×11=121にすると3けたになり不適。

イ→23、2×11=22、2×2×2×3=24、

したがって イ

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何枚のタイルが必要?(慶應義塾普通部 2002年)

下の図のように

直角三角形を1辺10cmの正方形のタイルでおおいました。

      

直角をはさむ2辺が3mと4mの直角三角形を同じようにおおうには、

何枚のタイルが必要でしょうか?

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

3m×4mの直角三角形は、

30cm×40cmの直角三角形の10倍の大きさです。

30cm×40cmの直角三角形をおおう正方形のタイルは9枚で、

3m×4mの直角三角形は、下の図のように構成されます。

1217      

使われるタイルの枚数は、

9×10+12×(1+2+3+・・・+9)

=90+12×(1+9)×9÷2

=630枚  となります。

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何個の奇数がある?(鎌倉学園中学 2014年)

次のように奇数がグループに分けられています。

 第1グループ : 1

 第2グループ : 3,5

 第3グループ : 7,9,11,13

 第4グループ : 15,17,19,21,23,25,27,29

 第5グループ : 31,33,35,・・・

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)第10グループには、何個の奇数がありますか。

(2)145は第何グループの小さい方から何番目の奇数ですか。

(3)第10グループに含まれるすべての奇数の和を求めなさい。

Question153729_150

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)第1グループには、1個、第2グループには2個、

第3グループには4個、第4グループには8個、という数の奇数があり、

2倍、2倍となっていることがわかるので、

第10グループには、2×2×・・・×2(2が9回)=512個

の奇数があります。

 

 (2)各グループの1番目の数は、

1、3、7、15、31、・・・ となっていて、それぞれの差は、

2,4,8,16,・・・ と、これも2倍、2倍となっていて、

1、3、7、15、31、63、127、255、・・・

となるので、145は第7グループに入ることがわかります。

127を1番目としたとき、145が何番目の奇数か数えると、

10番目なので、145は

 第7グループの小さい方から10番目

です。

 

 (3)(2)の続きで、第9グループの1番目は、511、

 第10グループの1番目は、1023、

 第11グループの1番目は、2047

とわかるので、第10グループは、

 1023から2045までの512個の奇数なので、その和は、

 (1023+2045)×512÷2=785408

と求められます。

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2014年12月16日 (火)

5人のならび方は?(慶應義塾普通部 2007年)

A,B,C,D,E  の5人が1列にならんでいます。

        ・A は一番前ではありません。

        ・E  はAのすぐ後ろです。

        ・C とAの間には2人います。

        ・D  はCのすぐ後ろです。

このとき、5人のならび方を前から順に答えてください。

44

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

まず、Aの後ろがEなので、A  → E の順です。

次に、DがC の後ろなので、C→D  の順になります。

CとAの間に2人はいるような並び方は、

 A→E→○→C→D

 C→D→○→A→E  の2通り考えられますが、

Aは一番前ではないので、

 C→D→B→A→E の順番ということがわかります。

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葉Cにいるカエルは何匹?(市川中学 2006年)

葉A,B,Cにいるカエルは1秒ごとに次のように移動します。
 
★葉Aにいるカエルは、半分が葉Bへ、半分が葉Cへ移動します。

★葉Bにいるカエルは、1/3が葉Aへ、1/3が葉Cへ、

  1/3が池へ 飛び込み、戻ってきません。

★葉Cにいるカエルは、1/3が葉Aへ、1/3が葉Bへ、

  1/3が 移動せず葉Cにとどまります。
 

今、カエルが葉Aに108匹いて、葉B,Cにはいないとき、

4秒後に葉Cにいるカエルは何匹でしょうか?。

Ilm18_ab04022s

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時系列を描いてみると、下の図のようになります。



 
4秒後には葉Cに31匹のカエルがいることがわかります。

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何段、何列?(愛知淑徳中学 2014年) 

Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って1から16までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

(1)2段の8列にある数はいくつですか。

(2)98は何段の何列にありますか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数(同じ数を2回かけた数)がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表1の青い部分にあることがわかります。

    Pic_4103a

 4(2×2)は、2段の1列

 9(3×3)は、1段の3列

 16(4×4)は、4段の1列

 25(5×5)は、1段の5列

となっていて、

 偶数段の1列には、その数の平方数、

 1段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

 

2段の8列に近いのは、1段の8列ですが、偶数列なので、

1段の7列が、7×7=49 より、1段の8列は、50 で、

2段の8列にあるのは、51 と求められます。

 

(2)98に最も近い平方数は、10×10=100 で、

100が10段の1列にあり、そこから2個戻れば98なので、

98は、10段の3列にあります。

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2014年12月15日 (月)

ぬり分け方は?(お茶の水女子大学附属中学 2010年) 

紙に下の図を描きました。この図の線で区切られた部分に1色を

 

絵の具でぬるとき、最低何色必要か答えなさい。

 

 ただし、となりあった部分は違う色をぬるものとします。

      Pic_1866q

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最低何色かを調べるので、少ない色から調べます。

 

1色でぬれるか・・・となり合った部分があるので不可能

2色でぬれるか・・・中央の円の部分が2つととなりあっているので

            不可能

3色でぬれるか・・・下の図のように可能

      Pic_1867a

よって、最低3色必要であることがわかります。

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平行四辺形を分ける面積比の求め方

図のような平行四辺形ABCDでEは辺ADを1:3にわける点です。

平行四辺形ABCDの面積は三角形AEFの面積の何倍ですか。

Bandicam_20121103_094040265

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

Bandicam_20121103_093947500

Bandicam_20121103_094016562

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サッカーをした日付の合計は?(2002年算数オリンピック、トライアル問題より)

下は2002年7月のカレンダーです。タカシ君はこの7月には毎週1回ずつ合計5回のサッカーの試合をします。試合の曜日は月曜日が1回、水曜日が2回、土曜日が1回、日曜日が1回です。タカシ君がサッカーをする日付の数の和はいくつですか。

1_2

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---------------------------------------------------------

解答

第1週の日曜日の日付を0とします。

2

もし5週とも日曜日に試合したとすると、

日付の数の和は、0+7+14+21+28=70です。

次に月曜日、水曜日、土曜日の日付けの数は、

毎週の日曜日の日付の数にそれぞれ、

+1、+3、+6、したものなので、

求めるサッカーをする日付の数の和は、

70+1+3×2+6=83 になります。

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数の並べ方は?(学習院中等科 2010年) 

4けたの整数のある位の数を1つ消し、

その位をつめて3けたの整数を作ったところ、101になりました。

このとき次の問に答えなさい。

 

(1)この数になる4けたの整数のうち、最も小さいものはいくつですか。

(2)この数になる4けたの整数は全部で何個ありますか。

(3)この数になる4けたの整数を全部足すといくつですか。

Ilm11_ad01020s

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(1)3けたの整数「101」から元の4けたの整数を復元すると

          Pic_1387a

上のように、A,B,C,Dの4ヶ所に数を入れて4けたの整数に戻すことができます。

このとき、4けたの整数が最も小さくなるのは、数字の「0」を入れるときで、

B,Cに「0」を入れたときの1001が最小です。

 

(2)Aに入る数は、1~9の9通り、

Bに入る数は、0~9の10通り、

Cに入る数は、0~9の10通り、

Dに入る数は、0~9の10通り、合計39通り が考えられますが、

(1)のように、Bに0を入れたときも、Cに0を入れたときも1001

を作ることができます。同じ数になるので、これは1通りとなります。

このような場合が他にどれくらいあるか考えると、

 ①B=0のときも、C=0のときも、1001 (B,Cの間の0のとき)

 ②A=1のときも、B=1のときも、1101 (A,Bの間の1のとき)

 ③C=1のときも、D=1のときも、1011 (C,Dの間の1のとき)

以上の3通りがあるので、101になる4けたの整数は、

39-3=36個 あることがわかります。

 

(3)Aに入るのは、1~9で、それぞれの和は、

1101+2101+3101+・・・+9101の9個の和で、

=101×9+(1+2+3+・・・+9)×1000

=909+45000=45909 

 

Bに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

1001+1101+1201+・・・+1901 の10個の和で、

=1001×10+(1+2+3+・・・+9)×100

=10010+4500=14510

 

Cに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

 1001+1011+1021+・・・+1091 の10個の和で、

=1001×10+(1+2+3+・・・+9)×10

=10010+450=10460

 

Dに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

 1010+1011+1012+・・・+1019 の10個の和で、

=1010×10+(1+2+3+・・・+9)

=10100+45=10145

 

39通りの和は、

 45909+14510+10460+10145=81024 です。

ここから、(2)の1001、1011、1101の3個をのぞいた

 81024-(1001+1011+1101)=77911 が答えです

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2014年12月13日 (土)

2007になる式は?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

1,2,3,4,5,6の数を1回ずつ使って、

それを+、-、×、÷でつなげ、

答えが2007になるような式を作ってください。

数字はバラバラに使っても、

325や12などのように、つなげて使ってもよいものとします。

ただし、(  )カッコや小学生では習わない√ルートは使えません。

2007=???

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65×31-2×4=2007

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2人が出会うのはいつ?(灘中学 2014年)

東西方向にまっすぐな道があり、西から順にA地点、B地点、C地点があります。

この道を太郎君と花子さんが歩きます。

太郎君と花子さんの歩く速さは一定で、その比は 3 : 4 です。

また、太郎君は15分歩くたびに2分休むことをくり返し、

花子さんは8分歩くたびに1分休むことをくり返します。

太郎君がA地点からB地点に、

花子さんがB地点からA地点に向かって同時に歩き始めると、

10分後に初めて2人は出会います。

また、太郎君がA地点からC地点に、

花子さんがC地点からA地点に向かって同時に歩き始めると

20分後に初めて2人は出会います。

BC区間のキョリは1500m です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)太郎君、花子さんの歩く速さは毎分何 m ですか。

   また、AB区間のキョリは何 m ですか。

(2)太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して歩き始め、

     AB区間を1往復します。2回目に2人が出会うのは、

     歩き始めて何分後で、このとき2人はA地点から何 m の地点にいますか。

Aruki_2Ilm19_aa01022s




----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

 

(1)2人がA地点とB地点の間を歩いて出会うまで10分かかっているので、

太郎君は休まず、花子さんは1分休んでいるので、

太郎君が10分、花子さんは9分歩いたことになります。

2人がA地点とC地点の間を歩いて出会うまでは20分かかっているので、

太郎君は2分、花子さんも2分休んでいるので、

太郎君が18分、花子さんも18分歩いたことになります。

下の図1のように、花子さんが 9分間に歩いたキョリを【4】とすると、

18分間に歩くキョリは【8】、太郎君が9分間に歩くキョリは【3】、

太郎君が10分間に歩くキョリは、【3】×10/9、

太郎君が18分間に歩くキョリは【6】と表すことができます。

Pic_4100a

 AB区間のキョリ=【10/3】+【4】=【22/3】

 AC区間のキョリ=【6】+【8】=【14】

となり、

 BC区間のキョリ=【14】-【22/3】=【20/3】=1500m

なので、

 AB区間のキョリ : BC区間のキョリ = 11 : 10

より、

 AB区間のキョリ=1500÷10×11=1650m

と求められます。

AC区間のキョリ=1500+1650=3150m で、

これを 3:4 に分けると、1350m と 1800m になり、

太郎君は18分で1350m、

花子さんは18分で1800mをそれぞれ歩いたことがわかるので、

2人の速さは、

 太郎君 : 1350÷18=75m(毎分)

 花子さん : 1800÷18=100m(毎分)

と求められます。

 

(2)太郎君と花子さんは、1回目に出会ったあと(10分後)から

下の図2のような動きをします。

     Pic_4101a

2人とも休まずに歩いたとすると、2回目に出会うまでに、さらに

 (1650×2)÷(100+75)= 3100/175=124/7(分)

=17と5/7(分)

かかりますが、

 太郎君は15分歩いて2分休み、花子さんは8分歩いて1分休む

ことを考えなければいけません。

2人が出発してから2回目に出会うまでに、2人合わせて

 1650×3=4950m

を歩きます。

さきほどの計算で、約28分後と目星がつくので、

出発して28分後までに2人が歩くキョリを計算すると、

 太郎君は、26分間歩くので、75×26=1950m

 花子さんは、25分間歩くので、100×25=2500m

で、2人合わせると4450m なので、残りは

 4950-4450=500m

です。

28分後の地点の次に太郎君が休むのは、4分後で、

花子さんが休むのは、7分後ですが、4分間に2人合わせて

 (75+100)×4=700m

歩くので、この間に出会うことがわかります。

2人が出会うのは、28分後の

 500÷(100+75)=500/175=20/7(分後)

なので、出発してから、

 28+20/7=30と6/7(分後)

と求められます。

花子さんは、20/7分間に、

 100×20/7=2000/7(m)

歩くので、2人が2回目に出会った地点は、A地点からは、

 2500+2000/7-1650

=850+285と5/7=1135と5/7(m)

の地点と求められます。

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2014年12月12日 (金)

3目並べ、必ず勝つには?(海陽中等教育学校(特別給費) 2013年)

あなたと海陽君が「3目並べ」をします。「3目並べ」とは,図1の表の①~⑨の9か所に先攻が○,後攻が×を交互に入れていき,縦,横,斜めのいずれかに○が3つ連続して並べば先攻の勝ち,×が3つ連続して並べば後攻の勝ちとなるゲームのことです。

1_2

あなたが先攻で⑦をとり,海陽君が後攻で⑨をとりました(図2)
次にあなたは残りの7か所①~⑥,⑧のどこをとれば,その後に相手がどのようにとっても,あなたがうまくとれば必ず勝つことができますか。すべて選んで,①~⑥,⑧の記号で答えなさい。

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----------------------------------------------------

①をとれば、相手は④しかなく、③で②と⑤の両どりで勝ち。

2

③をとれば、相手は⑤しかなく、①で②と④の両どりで勝ち。

3

④をとれば、相手は①しかなく、⑤で③と⑥の両どりで勝ち。

4

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算数オリンピック問題に挑戦!区切り方は何通り?(2004年ジュニア、トライアル問題より)

同じ大きさの正方形のマス目がたて3列、横8列あります。これをたてに3マスか横に3マスの形に区切っていきす。全部で何通りの区切り方がありますか。ただし、回転したり裏返して重なるものはすべて同じもの(合わせて1通り)として数えます。

3_2

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----------------------------------------------------

横は3つ重ねて使うしかないので、

3つ重ねた形をBとします。

1

Bを使わずAだけの場合が1通り。

Bを1つ使うときは、

BAAAAA か ABAAAA か AABAAA の3通り、

Bを2つ使う場合は、

BBAA か BABA か BAAB か ABBA の4通り。

したがって、全部で1+3+4=8 通りです。

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頂点の個数はいくつ?(立教新座中学 2013年)

立方体 3つを使い、

面と面をはり合わせて下の図1のような立体を作りました。

この立体を頂点ア、イ、ウを通る平面で切断するとき、

立体の切断面となる図形の頂点の個数はいくつでしょうか?

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図1の立体に切り口の線を描きいれていきいます。

まず、頂点イ、ウは同一平面上にあるので、

その線と平行な線を頂点アから引くと、下の図3の赤線のようになり、

ウと同一平面上の点オまで引きます。

Pic_3677a

ウとオは同一平面上にあるので、

図3のように切り口を青線で表すことができます。

すると、下の図4の 点カ を切り口が通ることがわかります。

 Pic_3678a

直線アカ と平行な線をイ、ウから引くと、カ~キは2cm、ア~キは6cm なので、

下の図5のようにイ~ク、ウ~ケ(エ~クは2cm)の切り口の線を引くことができます。

 Pic_3679a

最後に、ア~ク、イ~ケを引いて切り口の図形が完成し、

頂点の数は 6個 とわかります。

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立体図形の切り口は?(駒場東邦中学 2014年)

下の図のような 1辺の長さが 2cm の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

     Pic_4022q

この立方体を3点A,C,F を通る平面と、

3点A,C,H を通る平面で切って、面EFGH を含む方を1つ目の立体とします。

2つ目の立体は、この立方体を3点A,C,F を通る平面、3点A,C,Hを通る平面、

3点B,D,E を通る平面と3点B,D,G を通る平面で切って、

面EFGH を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められるものとして、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)1つ目の立体の体積を求めなさい。

 

(2)2つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、1つ目の立体は展開図が下の図2のようになるので、

 

【正方形1つ、正三角形2つ、直角二等辺三角形4つ】 となります。

   Pic_4023q

(3)1つ目の立体の表面積から、2つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)切り取った2つの三角すいの体積の合計は、

 (2×2÷2×2÷3)×2個=8/3(c㎥)

なので、1つ目の立体の体積は、

 2×2×2-8/3=16/3=5と1/3(c㎥)

です。

 

(2)まず、1つ目の立体をB,D,E を通る平面で切ると、下の図3のようになります。

AC とBDの交点をP,AFとBE の交点をQ,AHとDE の交点をR としています。

   Pic_4024a

次に、さらに 3点B,D,G を通る平面で切ると、下の図4のようになります。

BG とCFの交点をS,CHとDG の交点をT としています。

  Pic_4025a

図4の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、2つ目の立体には、切り口PQER,PSGT ができ、下の図5のように、

切り口は正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

  Pic_4026a

ひし形となります。

よって、2つ目の立体の面は、

正方形が1つ (面EFGH)

直角二等辺三角形が4つ (EFQ,EHR,FGS,GHT)

ひし形が4つ (FSPQ,HRPT,PQER,PSGT)

で構成されていることになります。

 

(3)図5のひし形PQER の面積は、

三角形BPQ と三角形DPRを合わせた面積と等しくなっています。

もう1つのひし形PSGT も同様になっており、

下の図6の黄色い部分と等しくなっています。

  Pic_4027a

1つ目の立体の表面積と、2つ目の立体の表面積を比べると差し引きで、

図6の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形4個の面積の合計は、正方形EFGH と等しく、

 2×2=4c㎡

です。 

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2014年12月10日 (水)

網目部分の面積は?(城北中学 2014年)

図は半径6cmの円を4等分した図形で、

点.Pは半径OAを2等分した点、点Qは弧ABを3等分した点の1つです。

このとき、網目部分の面積は何c㎡ですか。

2

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----------------------------------------------------

QからOBに垂線を下ろし、OBとの交点をHとします。

3

緑部分の面積は扇形AOQから△黄を引いたものです。

△黄の底辺をOPとすると、高さはOHですが、

△QOHは90°、60°、30°の直角三角形なので、

OH=6÷2=3cm

△黄の面積=3×3÷2=4.5c㎡

緑部分の面積=6×6×3.14×30/360-4.5

=3×3.14-4.5

網目部分の面積=6×6×3.14×90/360-(3×3.14-4.5+3×6÷2)

=9×3.14-3×3.14-4.5

=3.14×(9-3)-4.5

=18.84-4.5

=14.34c㎡

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2014年12月 9日 (火)

直角三角形内の正方形の数は?(愛知淑徳中学 2010年)

たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を作ります。

次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな直角三角形を1つ作ります。

最後に、この大きな直角三角形に含まれるタイルの個数を数えます。

たとえば、下の図のように、縦4個、横6個のタイルを並べると、

大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれるタイルの個数は、8個です。

     Pic_2558q

では、タイルを縦に21個、横に51個並べて長方形を作ったとき、

直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

縦4個、横6個のタイルを並べた図は、下の図1のように、

2つの黄色い三角形と、青い長方形の3つの部分に分けられます。

 

   Pic_2559a

 

直角三角形に含まれるタイルは、青い長方形の部分の枚数と、

黄色い三角形に含まれる枚数の合計となります。

ここで、黄色い三角形の縦と横の個数の比、2:3は、

並べたタイルの個数の比 4:6 です。

このことから、縦21個、横51個のタイルを並べたときは、

21:51=7:17 なので、

下の図2のように考えればよいことがわかります。

Pic_2560a_2

 

青い長方形の部分に含まれるタイルの個数は、

17×7×3=357個 です。

残る黄色い直角三角形の中に何個あるかが問題です。

この直角三角形は、縦と横の比が 7 : 17 なので、

下の図3のように、7段に分けて考えます。

 

Pic_2561a

すなわち、1段目~7段目に何個のタイルがあるか調べます。

タイルを縦1cm、横1cmとして考え、

直角三角形の縦と横が7cm、17cmということから、

対角線とそれぞれの段の交点6ヶ所について、

左はしから何cmなのか調べると、下の図4のようになります。

 

Pic_2562a

 

1段目にはタイルはありません。(すべて対角線と交わっている)

2段目は対角線との交点が17/7cm=2.4・・cm地点なので

2個のタイルがあることがわかります。

3段目は対角線との交点が34/7cm=4.8・・cm地点なので

4個のタイルがあることがわかります。

4段目は対角線との交点が51/7cm=7.2・・cm地点なので

7個のタイルがあることがわかります。

5段目は対角線との交点が68/7cm=9.7・・cm地点なので

9個のタイルがあることがわかります。

6段目は対角線との交点が85/7cm=12.1・・cm地点なので

12個のタイルがあることがわかります。

7段目は対角線との交点が102/7cm=14.5・・cm地点なので

14個のタイルがあることがわかります。

よって、図2の黄色い直角三角形1つには、

2+4+7+9+12+14=48個 のタイルがある

ということが求められます。

ゆえに、タイルを縦21個、横51個ならべたとき、直角三角形に

含まれるタイルの数は、

357+48×3=501個 です。

<別解>

対角線で切られない正方形ではなく、

対角線で切られる正方形の数について考えると、下の図5を参考に考えると、

 

       Pic_25622a

 

縦の辺の正方形の個数 + 横の辺の正方形の個数 - 1

として数えることができます。

縦7個、横17個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、

7+17-1=23個 です。

縦21個、横51個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、この3倍で

23×3=69個 です。

(21+51-1=71個 ではないので注意)

よって、直角三角形に含まれるタイルの個数は、

(21×51-69)÷2=501個 となります。

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2014年12月 8日 (月)

正三角形と円の重なり(白百合学園中学 2014年)

図のように直径が12cmの円と1辺の長さが12cmの正三角形があります。

斜線部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように等積移動すると、

中心角60°×2=120°の扇形の面積になります。

2

6×6×3.14×120/360=37.68c㎡

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石の置き方は何通り?(ラ・サール中学 2013年)

下の図1のように、

正三角形の各頂点と各辺のまん中にそれぞれ黒石か白石を置きます。

その際、回転して同じになるものは同じ置き方とみなします。

たとえば、下の図1と図2は同じ置き方です。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3276q

(1)黒石が2か所となる置き方は何通りですか。

(2)黒石が3か所となる置き方は何通りですか。

(3)置き方は全部で何通りですか。6か所すべてが同じ色でもかまいません。

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----------------------------------------------------

(1)黒石が2か所となる置き方は、下の図3のように

   Pic_3277a

5通り あります。

(2)黒石が3か所となる置き方は、下の図4のように

   Pic_3278a

8通り あります。

(3)黒石が1か所となる置き方は、下の図5のように

   Pic_3279a

2通り あります。

 

黒石が4か所となる置き方は、図3の白と黒が逆転した

置き方になるので、5通り です。

黒石が5か所となる置き方は、図4の白と黒が逆転した

置き方になるので、2通り です。

黒石が0か所と6か所となる置き方は、それぞれ1通りです。

よって、置き方は全部で

 5+8+5+2+2+1+1=24通り

ということがわかります。

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2014年12月 7日 (日)

色のついた三角形の面積は?(浅野中学 2014年)

図の三角形ABCにおいて、AD:DB=5:2、AE:EC=3:2、

BEとCDの交わった点をFとします。

三角形ABCの面積が10c㎡であるとき、

三角形CEFの面積は何c㎡ですか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

△黄の面積を2とすると、△青=5

△赤の面積をとすると、△緑=

+5+2=+7=10×3/5=6c㎡・・・・・・①

+5=+5=10×5/7=50/7c㎡・・・・・・②

①×5

15+35=30・・・・・・③

②×7

35+35=50・・・・・・④

④-③

3515=20

20=20c㎡

三角形CEF=△緑==2c㎡

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算数オリンピック問題に挑戦!輪になった生徒は何人?(第6回ジュニア、トライアル問題より)

15人以上30人以下の生徒がいます。

全員がまるく輪になり、ある生徒から、

1から順に1、2、3、4、……と1人が1つずつ数を言っていきます。

このとき「17」と言った生徒と「59」と言った生徒は同じ生徒でした。

全部で生徒は何人いますか。

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----------------------------------------------------

17と59が同じなので、

人数は59-17=42の約数です。

1、2、3、6、7、14、21、42のどれかですが、

15人以上30人以下 なので、

21人です。

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2014年12月 6日 (土)

約数の和が24になるのは?(横浜共立学園中学 2012年)

A  は0でない整数とし、<A>はAの約数の和を表すものとします。

たとえば、<8>=1+2+4+8=15  です。

<A>=24 となるA は全部で  3個あります。

いくつといくつといくつですか?

Hpsd1201cs_2

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まず、24以上の数になると、<A>=1+A 以上なので

<A>=24 になりません。よって、23までの数で考えます。

1+A=24 となる A は、A=23 で、23は他に約数がないので

A=23 が1つ決まります。

 

調べてみると、素数(1とその数しか約数がないもの)は、23だけが成立します。

次に、Aが素数の2より大きい2の倍数のものを考えると、

<A>=1+2+(A÷2)+A=24

より、(A÷2)+A=21 で、これが成り立つのは A=14 です。

確かに、<14>=1+2+7+14=24 で成り立ちます。

 

次に、同じ方法でAが3より大きい3の倍数のものを考えると、

<A>=1+3+(A÷3)+A=24

より、(A÷3)+A=20 で、これが成り立つのは A=15 です。

確かに、<15>=1+3+5+15=24 で成り立ちます。

これで3つ見つかりました。

 

以上より、<A>=24 となるのは、A=14,15,23 です。

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体積と表面積は?(神戸海星女子学院中学 2010年) 

  

Pic_4095q

上の3つの図は、1辺の長さが1cmの立方体をすき間なく積み重ねてできた立体を、

真正面から見た図1、真横から見た図2、真上から見た図3 です。

このように見える立体は何通りかありますが、

そのうち体積が最も小さい立体の体積と表面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

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体積が最も小さくなる立方体の積み方は、下の図4のときです。

Pic_4096a

立方体の個数が12個なので、立体の体積は、12c㎥ です。

表面積は、前後から見ると図1、左右から見ると図2、

上下から見ると図3 になるので、

6×2+6×2+9×2=42c㎡

です。

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2014年12月 5日 (金)

和が17の魔方陣(東京学芸大学附属世田谷中学 2006年)

下の図の○の中に1~9の数字を入れて、各辺の数字の和が17になるようにします。4,5,6が図のように、すでに入っているとき、残りのA~Fまでに、それ以外の数字を入れてください。(答えは何通りかあるので、そのうち1つを答えてください。ただし数字は1度しか使えないものとします。)

   Pic_0583

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----------------------------------------------------

A+4+B+C=17・・・①

C+D+6+E=17・・・②

A+5+E+F=17・・・③

 

①+②+③を計算すると、

A+4+B+C+C+D+6+E+A+5+E+F=51で、整理すると

(A+C+E)+(A+B+C+D+E+F+4+5+6)=51 となり、

A+B+C+D+E+F+4+5+6

=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 なので、

 

A+C+E=51-45=6  で、1+2+3=6より、

A,C,E は、1,2,3のどれかであることがわかります。

すると、B,D,F は7,8,9のどれかということになります。

Aが1のとき、Cには3しか入りません。

(C=2のとき、A(1)+4+B+C(2)=17で、

 B=10となるので)

B=9となりますが、

A(1)+5+F+E(2)=17より、F=9 となり、

9が2回登場するので、成り立ちません。

 

A=2のとき、C=3です。

  (C=1のとき、A(2)+4+B+C(1)=17より、

    B=10となるので)

 

すると、B=8、E=1となります。

さらに、F=9、D=7 となり、成り立ちます。

 

なお、A=3のとき、C,Eには1,2のどちらも可能です。

C=1、E=2のとき、

B=9、D=8、F=7 となり、成り立ちます。

 

C=2,E=1のとき、

B=8、D=8、F=8 となり、成り立ちません。

 

よって、当てはまる(A,B,C,D,E,F)の組み合わせは、

 (2,8,3,7,1,9) または (3,9,1,8,2,7) 

となります。

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算数オリンピック問題に挑戦!ABCDに入る数字は?(2005年ジュニア、トライアル問題より)

下のA~Dに0~9の適当な数字を入れて、

式を完成させてください。

A234+1B34+12C4+123D=12345

Hpsb1101cs

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

4×3+D=○5

D=3 ○=1

3×3+1+C=○4

C=4 ○=1

2×3+1+B=○3

B=6 ○=1

1×3+1+A=12

A=8

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子供の人数は?(関西学院中学部 2012年)

大人と子供が合わせて66人で動物円に行きました。

入場料の合計は33900円でした。

もし大人と子供の人数が逆になると、43980円になります。

大人一人の入場料は800円です。このとき、求めなさい。

Ilm13_bb12015s

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本来の料金と、大人と子供の人数が逆になったときの料金を

下の図1のように表すことができます。

Pic_4094a_2

(33900+43980)÷66=1180 となり、

子供の料金は、1180-800=380円 です。

このあとは、普通のつるかめ算として解けばよく、

66人が全員大人だった場合の料金は、

66×800=52800円 となり、

52800-33900=18900円 多くなるので、

子供の人数は、

18900÷(800-380)=45人

と求められます。

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2014年12月 4日 (木)

算数オリンピック問題に挑戦!最大の奇数はいくつ?(第4回ジュニア、トライアル問題より)

0~9の10個の数字を2つずつ使って、5個の2けたの数をつくります。

この5個の2けたの数の和を、最も大きな奇数にしたいと思います。

その奇数はいくつですか?

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

Bo4

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10の位を最大にするには、5,6,7,8,9を使いたいのですが、

すると、1の位は0,1,2,3,4になって、

たすと偶数になってしまいます。

4の代わりに5にすると奇数です。

1の位の合計は、0+1+2+3+5=11

10の位の合計は、

40+60+70+80+90=340

11+340=351

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色のついた部分の面積合計は?(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のように、点Oを中心、ABを直径とする半径6cmの円があります。

角COD=60°、角EOF=120°、角GOH=90°のとき、

色のついた部分の面積の合計を求めなさい。

  Pic_3243q_2

---------------------------------------------------

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下の図1の三角形EOFに注目すると、

Pic_3244a

三角形EOF は正三角形に変形でき、

三角形COD と等しい面積ということがわかります。

よって、求める面積は、扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF と

扇形OGH から直角三角形OGH を除いた部分 の合計となり、

扇形OCD,扇形OAE,扇形OBF  の合計の中心角は、

  60+(180-120)=120°

なので、求める面積は

 6×6×3.14×120/360  

     +(6×6×3.14×90/360-6×6÷2)

=(12+9)×3.14-18=21×3.14-18

47.94c㎡ です。

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取り除いた数はいくつ?(白陵中学 2011年)

1から19までの19個の整数から、ある1つの整数を取り除き

残り18個の整数の平均を求めると10になりました。

取り除いた整数はいくつでしょうか?

Ilm11_ad01029s

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残った18個の整数の和は、18×10=180 です。

1から19までの19個の整数の和は、

(1+19)×19÷2=190

です。

よって、取り除いた整数は、190-180=10 です。

 

<別解>

1から19までの19個の整数から、平均が10となるような組を考えると、

(1と19)、(2と18)、・・・、のように

大きい数と小さい数から1つずつ選ぶと、平均が10となっていきます。

最後は、(9と11)の組ができて、10だけ余計になるので、

取り除いた整数は、10 とわかります。

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2014年12月 3日 (水)

正方形が通過した面積は?

Seihokaiten0

対角線の長さが20cmの正方形があります。

この正方形の1つの頂点を中心として45°回転させたとき

正方形が通過した面積は何c㎡ですか。

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Bandicam_20141203_100144073

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長方形を正方形に切り分けると・・・(筑波大学附属駒場中学 2003年)

長方形の紙をハサミで何回か切り、

切り分けたすべての部分が正方形になるようにします。

ただし、元の長方形も切り分けられた正方形も、

辺の長さはすべてセンチメートル単位で測ると整数になるものとします。

たとえば、横5cm、たて 3cmの長方形の紙を

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

下の図のように4個の正方形になります。このうち2個だけは同じ大きさです。

 

このとき、次の問に答えなさい。

1

(1)面積が56c㎡ の長方形の紙は何種類かありますが、それぞれの紙を正方形の個数が最も少なくなるように切ります。

このうち、正方形の個数が最も少ない場合の個数を答えなさい。

(2)ある長方形の紙は 6個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

(3)ある長方形の紙は14個の正方形に切り分けられ、そのうち2個だけが同じ大きさで、それらは一番小さい正方形でした。

このような長方形の紙のうち、面積が最も小さい長方形の2辺の長さを求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)56=1×56=2×28=4×14=7×8 で、

正方形の個数が最も少なくなるように切ると、

 1×56 のとき、1辺1cmの正方形が56個できます。

 2×28 のとき、1辺2cmの正方形が28個できます。

 4×14 のとき、

  1辺4cmの正方形が3個、1辺2cmの正方形が2個できます。

 7×8 のとき、

  1辺7cmの正方形が1個、1辺1cmの正方形が7個できます。

よって、正方形の個数が最も少ないときの個数は、

4×14の場合で、5個です。

 

(2)6個に切り分けられる長方形は、下の図1の形になります。

    Pic_4098a

2辺の長さは、8cm と 13cm です。

 

(3)図1に、正方形の番号を入れると下の図2のように

ジグザグになることがわかります。

     Pic_4099a

2番の正方形まで並べたときの2辺は、1cm と 2cm

3番の正方形まで並べたときの2辺は、2cm と 3cm

4番の正方形まで並べたときの2辺は、3cm と 5cm

5番の正方形まで並べたときの2辺は、5cm と 8cm

となっていて、次の正方形の2辺の長さは、

 前の長方形の長い方の辺の長さと、

 前の長方形の2辺の長さの合計の長さ

になっています。

6番目の長方形は、8cm と 5+8=13cm

7番目の長方形は、13cm と 8+13=21cm

8番目の長方形は、21cm と 13+21=34cm

9番目の長方形は、34cm と 21+34=55cm

10番目の長方形は、55cm と 34+55=89cm

11番目の長方形は、89cm と 55+89=144cm

12番目の長方形は、144cm と 89+144=233cm

13番目の長方形は、233cm と 144+233=377cm

14番目の長方形は、377cm と 233+377=610cm

と求められます。

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2014年12月 2日 (火)

算数オリンピック問題に挑戦!三角形ABDの面積は?(2012年ジュニア、トライアルより)

図の面積が12c㎡の三角形ABCにおいて、角ADB=150°角BDC=90°、

AD=CDで、三角形DBCと三角形ADCの面積が等しいとき、

三角形ABDの面積を求めなさい。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

2

CDの延長上にCD=DEとなるようにEをとります。

すると、角ADE=60°、AD=EDなので、

三角形ADEが正三角形だとわかります。

次に、DEの真ん中の点をFとします。

すると、角AFD=角BDF=90°となります。

よって、AFとBDが平行だとわかります。

AをFに等積移動してみると、

三角形ADBの面積は三角形BDFの面積に等しくなります。

FDはCDの半分の長さなので、

三角形ADBの面積は三角形BDCの面積の半分とわかります。

三角形ABCの面積が12c㎡なので、

三角形ABDの面積は、12÷(2+2+1)=2.4c㎡

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出会った時間は?(高槻中学 2012年)

兄弟が2つの地点AとBの間を散歩します。

兄はA地点から出発し、B地点で折り返してA地点に戻ってきます。

弟はB地点から出発し、A地点で折り返してB地点に戻ってきます。

2人はそれぞれの地点から同時に出発し、出発してから44分後に初めて出会いました。

折り返した後、再び出会い、そのあと同時に元の地点に戻りました。

兄は行きも帰りも同じ速さでしたが、弟の帰りの速さは行きの速さの 2/3 でした。

このとき次の問に答えなさい。

(1)兄と弟の行きの速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)2人が元の地点に戻ったのは出発してから何時間何分後ですか。

(3)2人が2回目に出会うのは出発してから何時間何分後ですか。

9221

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----------------------------------------------------

(1)弟の行きの速さを【3】とすると、弟の帰りの速さは【2】です。

弟が行きと帰りにかかった時間は、速さの逆比になるので、

行きが<2>、帰りが<3>で、合計<5>という時間になります。

兄と弟は同時に元の地点に戻るので、兄が行きと帰りにかかった時間は、

共に<2.5>です。

よって、兄は行きに<2.5>、弟は行きに<2>の時間がかかっているので、

二人の速さの比は、時間の逆比で、

 兄の行きの速さ : 弟の行きの速さ = 2 : 2.5

= 4 : 5

と求められます。

(2)(1)より、2人が出会う 44分の間に兄と弟は、

[ 4 ]、[ 5 ] というキョリをそれぞれ移動します。

A地点とB地点の間のキョリは、[ 4 ]+[ 5 ]=[ 9 ] で、

兄が44分間に[ 4 ]のキョリを移動しているので、

残りの[ 5 ] のキョリを移動するのにかかる時間は 55分です。

行きに 44+55=99分 かかるので、帰りも 99分かかり、

元の地点に戻ったのは、99×2=198分後=3時間18分後

とわかります。

(3)弟の帰りの速さは、行きの 2/3 なので、兄と弟の帰りの速さの比は、

  4 : 5×2/3 = 12 : 10 = 6 : 5

です。

2人が2回目に出会ってから、元の地点に戻るまでの様子は下の図1のようになり、

    Pic_4093a

2人が出会った地点は、Aから見て全体の6/11のところです。

兄は、BからAへ99分かかるので、

2回目に出会った地点からA地点までにかかる時間は、

99×6/11=54分 なので、

2人が2回目に出会うのは、

 198-54=144分後=2時間24分後

と求められます。

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2014年12月 1日 (月)

算数オリンピック問題に挑戦!星型の面積は?(第3回ジュニア、トライアル問題より)

大きな正三角形を2つ重ねて星形の12角形を作り、その中に同じように小さな星形の12角形(図の斜めの線の部分)を作りました。大きな星形の12角形の面積が72c㎡のとき、小さな星形の12角形の面積は何c㎡ですか。

1

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図のように星型は小さな正三角形12個に分けられるので、

大きな正三角形が重なった部分は、6/12=1/2

2

また、重なった正六角形は12個の小さなひし形に分けられるので、

斜線部分はその6/12=1/2

大きな星型の1/2×1/2=1/4

72÷4=18c㎡

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何度の目盛りと重なってる?(青山学院中等部 2013年)

図1のような分度器が3枚あり、それぞれをア、イ、ウとします。

図2は、アの143度の目盛りとイの96度の目盛りを合わせて重ねた図です。

図3は、さらにこの上にイの18度の目盛りとウの92度の目盛りを

合わせて重ねた図です。

アの0度の目盛りはウの何度の目盛りと重なり合っていますか。

1_2

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イはアより 143-96=47度 右にずれていて、

ウはイより 92-18=74度 左にずれているので、

ウはアより 74-47=27度 左にずれています。

したがって、アの0度はウの27度です。

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