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2014年12月17日 (水)

何個の奇数がある?(鎌倉学園中学 2014年)

次のように奇数がグループに分けられています。

 第1グループ : 1

 第2グループ : 3,5

 第3グループ : 7,9,11,13

 第4グループ : 15,17,19,21,23,25,27,29

 第5グループ : 31,33,35,・・・

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このとき、次の問に答えなさい。

(1)第10グループには、何個の奇数がありますか。

(2)145は第何グループの小さい方から何番目の奇数ですか。

(3)第10グループに含まれるすべての奇数の和を求めなさい。

Question153729_150

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(1)第1グループには、1個、第2グループには2個、

第3グループには4個、第4グループには8個、という数の奇数があり、

2倍、2倍となっていることがわかるので、

第10グループには、2×2×・・・×2(2が9回)=512個

の奇数があります。

 

 (2)各グループの1番目の数は、

1、3、7、15、31、・・・ となっていて、それぞれの差は、

2,4,8,16,・・・ と、これも2倍、2倍となっていて、

1、3、7、15、31、63、127、255、・・・

となるので、145は第7グループに入ることがわかります。

127を1番目としたとき、145が何番目の奇数か数えると、

10番目なので、145は

 第7グループの小さい方から10番目

です。

 

 (3)(2)の続きで、第9グループの1番目は、511、

 第10グループの1番目は、1023、

 第11グループの1番目は、2047

とわかるので、第10グループは、

 1023から2045までの512個の奇数なので、その和は、

 (1023+2045)×512÷2=785408

と求められます。

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