何個の奇数がある?(鎌倉学園中学 2014年)
次のように奇数がグループに分けられています。
第1グループ : 1
第2グループ : 3,5
第3グループ : 7,9,11,13
第4グループ : 15,17,19,21,23,25,27,29
第5グループ : 31,33,35,・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
このとき、次の問に答えなさい。
(1)第10グループには、何個の奇数がありますか。
(2)145は第何グループの小さい方から何番目の奇数ですか。
(3)第10グループに含まれるすべての奇数の和を求めなさい。
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(1)第1グループには、1個、第2グループには2個、
第3グループには4個、第4グループには8個、という数の奇数があり、
2倍、2倍となっていることがわかるので、
第10グループには、2×2×・・・×2(2が9回)=512個
の奇数があります。
(2)各グループの1番目の数は、
1、3、7、15、31、・・・ となっていて、それぞれの差は、
2,4,8,16,・・・ と、これも2倍、2倍となっていて、
1、3、7、15、31、63、127、255、・・・
となるので、145は第7グループに入ることがわかります。
127を1番目としたとき、145が何番目の奇数か数えると、
10番目なので、145は
第7グループの小さい方から10番目
です。
(3)(2)の続きで、第9グループの1番目は、511、
第10グループの1番目は、1023、
第11グループの1番目は、2047
とわかるので、第10グループは、
1023から2045までの512個の奇数なので、その和は、
(1023+2045)×512÷2=785408
と求められます。
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