この立体図形の体積は？（世田谷学園中学　2014年）: 中学受験ー算数解き方ポータル

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Pic_4121q

上の図は、１辺の長さが１２ｃｍの立方体です。

（１）４つの頂点Ａ，Ｃ，Ｆ，Ｈを結んでできる立体の体積を求めなさい。

（２）立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

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　（１）求める立体は、下の図１のようになり、

　　　　　 Pic_4122a

立方体から、三角すいＡ－ＥＦＨ４個分の体積を除けばよく、

　１２×１２×１２　－　１２×１２÷２×１２÷３×４個

＝１２×１２×（１２－８）＝１４４×４

＝５７６ｃ㎥

となります。

　（２）求める立体は、下の図２の立体ＰＱＲＳＴＵで、

　　　　　　 Pic_4123a

この立体は、面ＱＲＳＴを底面とする２つの四角すい

Ｐ－ＱＲＳＴとＵ－ＱＲＳＴを合わせたもので、

それぞれの高さは、立方体の１辺の長さの半分の６ｃｍ、

四角形ＱＲＳＴの面積は、正方形ＡＢＣＤの半分の７２ｃ㎡

なので、この立体の体積は、

　７２×６÷３×２個＝２８８ｃ㎥

と求められます。

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(1)の答えを利用すれば、、、
(1)の立体の体積を1とすれば、(2)の立体の体積は
1-(1/2)×(1/2)×(1/2)×4=1/2
となるので、576×1/2=288というのはどうでしょうか？？
この正四面体と正八面体の体積関係はよく見ますね。
初めてこのことを知った時感動したのを覚えてます。。

投稿: こうへい | 2014年12月26日 (金) 18時23分

いつもコメントありがとうございます。

（１）の正四面体から長さ比１/２、体積比１/８の同じ正四面体を４つ分とれば正八面体になるわけですね！美しい立体図形の関係です。
確かに中学受験問題ではよく見かける問題ですね。
できる子は頭の中でイメージできるのでしょう。すごいです。

またよろしくお願いします。

投稿: 管理人 | 2014年12月27日 (土) 07時49分

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