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2014年12月12日 (金)

立体図形の切り口は?(駒場東邦中学 2014年)

下の図のような 1辺の長さが 2cm の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

     Pic_4022q

この立方体を3点A,C,F を通る平面と、

3点A,C,H を通る平面で切って、面EFGH を含む方を1つ目の立体とします。

2つ目の立体は、この立方体を3点A,C,F を通る平面、3点A,C,Hを通る平面、

3点B,D,E を通る平面と3点B,D,G を通る平面で切って、

面EFGH を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められるものとして、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)1つ目の立体の体積を求めなさい。

 

(2)2つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、1つ目の立体は展開図が下の図2のようになるので、

 

【正方形1つ、正三角形2つ、直角二等辺三角形4つ】 となります。

   Pic_4023q

(3)1つ目の立体の表面積から、2つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

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(1)切り取った2つの三角すいの体積の合計は、

 (2×2÷2×2÷3)×2個=8/3(c㎥)

なので、1つ目の立体の体積は、

 2×2×2-8/3=16/3=5と1/3(c㎥)

です。

 

(2)まず、1つ目の立体をB,D,E を通る平面で切ると、下の図3のようになります。

AC とBDの交点をP,AFとBE の交点をQ,AHとDE の交点をR としています。

   Pic_4024a

次に、さらに 3点B,D,G を通る平面で切ると、下の図4のようになります。

BG とCFの交点をS,CHとDG の交点をT としています。

  Pic_4025a

図4の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、2つ目の立体には、切り口PQER,PSGT ができ、下の図5のように、

切り口は正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

  Pic_4026a

ひし形となります。

よって、2つ目の立体の面は、

正方形が1つ (面EFGH)

直角二等辺三角形が4つ (EFQ,EHR,FGS,GHT)

ひし形が4つ (FSPQ,HRPT,PQER,PSGT)

で構成されていることになります。

 

(3)図5のひし形PQER の面積は、

三角形BPQ と三角形DPRを合わせた面積と等しくなっています。

もう1つのひし形PSGT も同様になっており、

下の図6の黄色い部分と等しくなっています。

  Pic_4027a

1つ目の立体の表面積と、2つ目の立体の表面積を比べると差し引きで、

図6の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形4個の面積の合計は、正方形EFGH と等しく、

 2×2=4c㎡

です。 

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