立体図形の切り口は？（駒場東邦中学 2014年）

下の図のような １辺の長さが ２ｃｍ の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

　　　　　

この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面と、

３点Ａ，Ｃ，Ｈ を通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む方を１つ目の立体とします。

２つ目の立体は、この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面、３点Ａ，Ｃ，Ｈを通る平面、

３点Ｂ，Ｄ，Ｅ を通る平面と３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切って、

面ＥＦＧＨ を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で求められるものとして、次の問に答えなさい。

（１）１つ目の立体の体積を求めなさい。

（２）２つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、１つ目の立体は展開図が下の図２のようになるので、

【正方形１つ、正三角形２つ、直角二等辺三角形４つ】 となります。

　　　

（３）１つ目の立体の表面積から、２つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

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（１）切り取った２つの三角すいの体積の合計は、

　（２×２÷２×２÷３）×２個＝８/３（ｃ㎥）

なので、１つ目の立体の体積は、

　２×２×２－８/３＝１６/３＝５と１/３（ｃ㎥）

です。

（２）まず、１つ目の立体をＢ，Ｄ，Ｅ を通る平面で切ると、下の図３のようになります。

ＡＣ とＢＤの交点をＰ，ＡＦとＢＥ の交点をＱ，ＡＨとＤＥ の交点をＲ としています。

　　　

次に、さらに ３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切ると、下の図４のようになります。

ＢＧ とＣＦの交点をＳ，ＣＨとＤＧ の交点をＴ としています。

　　

図４の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、２つ目の立体には、切り口ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ ができ、下の図５のように、

切り口は正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

　　

ひし形となります。

よって、２つ目の立体の面は、

正方形が１つ （面ＥＦＧＨ）

直角二等辺三角形が４つ （ＥＦＱ，ＥＨＲ，ＦＧＳ，ＧＨＴ）

ひし形が４つ （ＦＳＰＱ，ＨＲＰＴ，ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ）

で構成されていることになります。

（３）図５のひし形ＰＱＥＲ の面積は、

三角形ＢＰＱ と三角形ＤＰＲを合わせた面積と等しくなっています。

もう１つのひし形ＰＳＧＴ も同様になっており、

下の図６の黄色い部分と等しくなっています。

　　

１つ目の立体の表面積と、２つ目の立体の表面積を比べると差し引きで、

図６の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形４個の面積の合計は、正方形ＥＦＧＨ と等しく、

　２×２＝４ｃ㎡

です。　

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