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2014年12月23日 (火)

仕事算の応用! (聖光学院中学 2014年)

聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに取り組みます。

聖さんだけで仕事A を終わらせるには60分、仕事B を終わらせるには80分かかり、

光さんだけで仕事A を終わらせるには100分、

仕事B を終わらせるには120分かかります。

いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに同時に取り組み始めました。

規則1 1つの仕事に2人で同時に取り組むことはできない。

規則2 仕事が2つとも残っているときには、2人ともどちらかに取り組む

規則3 仕事が1つだけ残っているときには、2人のうちどちらかが取り組む

規則4 仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることができる

このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる時間は考えないものとします。

(1)仕事A を終わらせるのにかかった時間が70分だったとすると、聖さんが仕事A に取り組んだ時間は何分ですか。

また、2人が仕事を始めてから仕事B を終わらせるまでにかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。

(2)仕事A,Bを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Aに取り組んでいた時間は何分ですか。

また、仕事が終わったのは、2人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。

Question153729_150

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(1)仕事A を聖さんは、1分で 1/60、光さんは1分で1/100終わらせます。

2人で70分かかって終わらせたので、下の図1を用いて、

つるかめ算で求めることができます。

  Pic_4118a

70分、光さんが仕事A をすると、

  1/100 × 70 = 7/10  が終わり、3/10 が足りないので、

  1/60 - 1/100 = 1/150  より、聖さんが仕事A に

  3/10 ÷ 1/150 = 45分  取り組めばよいことがわかります。

次に、仕事B を聖さんは1分で1/80、光さんは1分で1/120終わらせるので、

仕事A が終わった時点で、仕事B は聖さんが25分、光さんが45分取り組んで、

 1/80 × 25 + 1/120 × 45 = 165/240 = 11/16

が終わっています。残りは、5/16 です。

最も早く終わるのは、聖さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/80=25分

最も遅く終わるのは、光さん1人が取り組んだときで、

 5/16÷1/120=37.5分=37分30秒  かかるので、

仕事B を終わらせるのにかかった時間は、

 95分以上107分30秒以下

です。

 

(2)聖さんが仕事A に取り組むとき、光さんが仕事B に取り組んでいて、

1分間に 聖さんは仕事A を 1/60ずつ、

光さんは仕事B を 1/120 ずつ 終わらせます。

ということは仕事A と仕事B が終わる速さは、1/60 : 1/120 = 2 : 1 で、

聖さんと光さんが入れかわる時点で、下の図2のように仕事が進んでいます。

          Pic_4119a

聖さんが仕事B に取り組むと、光さんが仕事B に取り組んでいて、

1分間に 聖さんは仕事B を 1/80ずつ、

光さんは仕事A を 1/100 ずつ 終わらせます。

仕事A と仕事B が終わっていく速さは、

 1/100 : 1/80 = 4 : 5  なので、

A,B同時に終わるとき、下の図2のようになります。

  Pic_4120a

(たまたま)2つの和が 6 になるので、

聖さんは仕事A の2/6=1/3 を終わらせたので、

聖さんが仕事A に取り組んだ時間は、

  1/3÷1/60=20分  と求められ、

光さんは仕事A の 4/6=2/3 を終わらせたので、

光さんが仕事A に取り組んだ時間は、

  2/3÷1/100=200/3分=66と2/3分=66分40秒

と求められるので、

仕事A,B が同時に終わったのは、

  20分+66分40秒=86分40秒後  です。

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