仕事算の応用! (聖光学院中学 2014年)
聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに取り組みます。
聖さんだけで仕事A を終わらせるには60分、仕事B を終わらせるには80分かかり、
光さんだけで仕事A を終わらせるには100分、
仕事B を終わらせるには120分かかります。
いま、以下の規則に従って、聖さん、光さんが2つの仕事A,Bに同時に取り組み始めました。
規則1 1つの仕事に2人で同時に取り組むことはできない。
規則2 仕事が2つとも残っているときには、2人ともどちらかに取り組む
規則3 仕事が1つだけ残っているときには、2人のうちどちらかが取り組む
規則4 仕事の途中で聖さんと光さんは入れかわることができる
このとき、次の問に答えなさい。ただし、入れかわるのにかかる時間は考えないものとします。
(1)仕事A を終わらせるのにかかった時間が70分だったとすると、聖さんが仕事A に取り組んだ時間は何分ですか。
また、2人が仕事を始めてから仕事B を終わらせるまでにかかった時間は何分以上何分何秒以下ですか。
(2)仕事A,Bを同時に終わらせたとすると、聖さんが仕事Aに取り組んでいた時間は何分ですか。
また、仕事が終わったのは、2人が同時に仕事を始めてから何分何秒後ですか。
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(1)仕事A を聖さんは、1分で 1/60、光さんは1分で1/100終わらせます。
2人で70分かかって終わらせたので、下の図1を用いて、
つるかめ算で求めることができます。
70分、光さんが仕事A をすると、
1/100 × 70 = 7/10 が終わり、3/10 が足りないので、
1/60 - 1/100 = 1/150 より、聖さんが仕事A に
3/10 ÷ 1/150 = 45分 取り組めばよいことがわかります。
次に、仕事B を聖さんは1分で1/80、光さんは1分で1/120終わらせるので、
仕事A が終わった時点で、仕事B は聖さんが25分、光さんが45分取り組んで、
1/80 × 25 + 1/120 × 45 = 165/240 = 11/16
が終わっています。残りは、5/16 です。
最も早く終わるのは、聖さん1人が取り組んだときで、
5/16÷1/80=25分
最も遅く終わるのは、光さん1人が取り組んだときで、
5/16÷1/120=37.5分=37分30秒 かかるので、
仕事B を終わらせるのにかかった時間は、
95分以上107分30秒以下
です。
(2)聖さんが仕事A に取り組むとき、光さんが仕事B に取り組んでいて、
1分間に 聖さんは仕事A を 1/60ずつ、
光さんは仕事B を 1/120 ずつ 終わらせます。
ということは仕事A と仕事B が終わる速さは、1/60 : 1/120 = 2 : 1 で、
聖さんと光さんが入れかわる時点で、下の図2のように仕事が進んでいます。
聖さんが仕事B に取り組むと、光さんが仕事B に取り組んでいて、
1分間に 聖さんは仕事B を 1/80ずつ、
光さんは仕事A を 1/100 ずつ 終わらせます。
仕事A と仕事B が終わっていく速さは、
1/100 : 1/80 = 4 : 5 なので、
A,B同時に終わるとき、下の図2のようになります。
(たまたま)2つの和が 6 になるので、
聖さんは仕事A の2/6=1/3 を終わらせたので、
聖さんが仕事A に取り組んだ時間は、
1/3÷1/60=20分 と求められ、
光さんは仕事A の 4/6=2/3 を終わらせたので、
光さんが仕事A に取り組んだ時間は、
2/3÷1/100=200/3分=66と2/3分=66分40秒
と求められるので、
仕事A,B が同時に終わったのは、
20分+66分40秒=86分40秒後 です。
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