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2014年12月13日 (土)

2人が出会うのはいつ?(灘中学 2014年)

東西方向にまっすぐな道があり、西から順にA地点、B地点、C地点があります。

この道を太郎君と花子さんが歩きます。

太郎君と花子さんの歩く速さは一定で、その比は 3 : 4 です。

また、太郎君は15分歩くたびに2分休むことをくり返し、

花子さんは8分歩くたびに1分休むことをくり返します。

太郎君がA地点からB地点に、

花子さんがB地点からA地点に向かって同時に歩き始めると、

10分後に初めて2人は出会います。

また、太郎君がA地点からC地点に、

花子さんがC地点からA地点に向かって同時に歩き始めると

20分後に初めて2人は出会います。

BC区間のキョリは1500m です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)太郎君、花子さんの歩く速さは毎分何 m ですか。

   また、AB区間のキョリは何 m ですか。

(2)太郎君はA地点を、花子さんはB地点を同時に出発して歩き始め、

     AB区間を1往復します。2回目に2人が出会うのは、

     歩き始めて何分後で、このとき2人はA地点から何 m の地点にいますか。

Aruki_2Ilm19_aa01022s




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(1)2人がA地点とB地点の間を歩いて出会うまで10分かかっているので、

太郎君は休まず、花子さんは1分休んでいるので、

太郎君が10分、花子さんは9分歩いたことになります。

2人がA地点とC地点の間を歩いて出会うまでは20分かかっているので、

太郎君は2分、花子さんも2分休んでいるので、

太郎君が18分、花子さんも18分歩いたことになります。

下の図1のように、花子さんが 9分間に歩いたキョリを【4】とすると、

18分間に歩くキョリは【8】、太郎君が9分間に歩くキョリは【3】、

太郎君が10分間に歩くキョリは、【3】×10/9、

太郎君が18分間に歩くキョリは【6】と表すことができます。

Pic_4100a

 AB区間のキョリ=【10/3】+【4】=【22/3】

 AC区間のキョリ=【6】+【8】=【14】

となり、

 BC区間のキョリ=【14】-【22/3】=【20/3】=1500m

なので、

 AB区間のキョリ : BC区間のキョリ = 11 : 10

より、

 AB区間のキョリ=1500÷10×11=1650m

と求められます。

AC区間のキョリ=1500+1650=3150m で、

これを 3:4 に分けると、1350m と 1800m になり、

太郎君は18分で1350m、

花子さんは18分で1800mをそれぞれ歩いたことがわかるので、

2人の速さは、

 太郎君 : 1350÷18=75m(毎分)

 花子さん : 1800÷18=100m(毎分)

と求められます。

 

(2)太郎君と花子さんは、1回目に出会ったあと(10分後)から

下の図2のような動きをします。

     Pic_4101a

2人とも休まずに歩いたとすると、2回目に出会うまでに、さらに

 (1650×2)÷(100+75)= 3100/175=124/7(分)

=17と5/7(分)

かかりますが、

 太郎君は15分歩いて2分休み、花子さんは8分歩いて1分休む

ことを考えなければいけません。

2人が出発してから2回目に出会うまでに、2人合わせて

 1650×3=4950m

を歩きます。

さきほどの計算で、約28分後と目星がつくので、

出発して28分後までに2人が歩くキョリを計算すると、

 太郎君は、26分間歩くので、75×26=1950m

 花子さんは、25分間歩くので、100×25=2500m

で、2人合わせると4450m なので、残りは

 4950-4450=500m

です。

28分後の地点の次に太郎君が休むのは、4分後で、

花子さんが休むのは、7分後ですが、4分間に2人合わせて

 (75+100)×4=700m

歩くので、この間に出会うことがわかります。

2人が出会うのは、28分後の

 500÷(100+75)=500/175=20/7(分後)

なので、出発してから、

 28+20/7=30と6/7(分後)

と求められます。

花子さんは、20/7分間に、

 100×20/7=2000/7(m)

歩くので、2人が2回目に出会った地点は、A地点からは、

 2500+2000/7-1650

=850+285と5/7=1135と5/7(m)

の地点と求められます。

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