点の移動による面積変化は?(フェリス女学院中学 2013年)
上の図のような長方形ABCD があります。
点P は点A を出発し一定の速さで辺AB上をA → B → A の順に動きます。
点Qは、点A を出発し辺AD と直線PQ が平行であるように A → C → Dの順に動きます。
また、点R は四角形APQR が長方形となるような点です。
点P が点A を出発してから 30秒後の長方形APQR の周の長さが 35cm のとき、
次の問に答えなさい。
(1)点Pが点Aを出発して30秒後の長方形APQRの面積を求めなさい。
(2)点P の速さは毎秒何cmですか。
(3)長方形APQR の面積が長方形ABCD の面積の 4/9倍になるのは、点Pが点A を出発して何秒後と何秒後ですか。
(4)点Pが点A を出発して点Bに着くまでの途中のある30秒間で長方形APQR の面積は 435c㎡ だけ増加します。
それは点Pが点A を出発してから何秒後からの30秒間ですか。
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(1)AP : AR = 39 : 52 = 3 : 4 なので、
35cmを 3 : 4 に分けると、15cm と 20cm です。
これは、それぞれ、たて×2、横×2 の長さなので、
30秒後の長方形APQR の
たて=7.5cm、横=10cmとわかり、
面積は、7.5×10=75c㎡ です。
(2)30秒で点Pは、7.5cm移動するので、点Pの速さは
7.5 ÷ 30 = 0.25cm(毎秒)ということです。
(3)長方形ABCD の面積の4/9 になるとき、
AP の長さが何cm かを求めればよいわけです。
点QがAC上にあるとき、AP=□cm とすると、
AR=□×4/3 なので、
□×□×4/3=52×39×4/9 と表すことができ、
□×□=52×13=13×4×13
=13×13×2×2 より、
□=26cm とわかります。
次に、点QがCD上にあるとき、AP=□cmとすると、
□×52=39×52×4/9 と表すことができ、
□=39×4/9=52/3cm とわかります。
よって、点Pが 26cm 進んだとき
点Pが 39+(39-52/3)=182/3 cm 進んだときの2回が、
長方形APQRの面積が長方形ABCDの面積の4/9になるときで、
26÷0.25=104秒後
182/3 ÷ 0.25 = 182/3 ÷ 1/4 = 728/3
= 242 と 2/3 秒後
と求められます。
(4)点QがCからDへ移動するときは、面積は減少するのみなので、
求めるのは、点QがAからCへ移動しているときです。
30秒間に点Pが移動する長さは、0.25×30=7.5cmです。
30秒間に点Rが移動する長さは、点Pの4/3倍で、10cmです。
移動後の点をそれぞれ点P’,Q’,R’とすると、下の図1のように
増えた面積は、青い部分と黄色い部分の合計で、
黄色い部分の面積 = 7.5×10 = 75c㎡
なので、
青い部分の面積 = 435 - 75 = 360c㎡
とわかります。
さらに、下の図2のように、図1を2.5cmずつ、【1】ずつの部分に分けると、
2.5cm × 【1】 が 12+12=24個 できます。
この1つの面積は、360÷24=15c㎡ と求められるので、
【1】=15÷2.5=6cm
とわかり、【3】=6×3=18cmです。
よって、AP=18cm となるときから 30秒で435c㎡の面積が増えることがわかり、
点Pが点Aを出発してから
18÷0.25=72秒後
から30秒間と求められます。
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