点の移動による面積変化は？（フェリス女学院中学 2013年）

上の図のような長方形ＡＢＣＤ があります。

点Ｐ は点Ａ を出発し一定の速さで辺ＡＢ上をＡ → Ｂ → Ａ の順に動きます。

点Ｑは、点Ａ を出発し辺ＡＤ と直線ＰＱ が平行であるように Ａ → Ｃ → Ｄの順に動きます。

また、点Ｒ は四角形ＡＰＱＲ が長方形となるような点です。

点Ｐ が点Ａ を出発してから ３０秒後の長方形ＡＰＱＲ の周の長さが ３５ｃｍ のとき、

次の問に答えなさい。

（１）点Ｐが点Ａを出発して３０秒後の長方形ＡＰＱＲの面積を求めなさい。 

（２）点Ｐ の速さは毎秒何ｃｍですか。

（３）長方形ＡＰＱＲ の面積が長方形ＡＢＣＤ の面積の ４/９倍になるのは、点Ｐが点Ａ を出発して何秒後と何秒後ですか。

（４）点Ｐが点Ａ を出発して点Ｂに着くまでの途中のある３０秒間で長方形ＡＰＱＲ の面積は ４３５ｃ㎡ だけ増加します。

それは点Ｐが点Ａ を出発してから何秒後からの３０秒間ですか。

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（１）ＡＰ　：　ＡＲ　＝　３９　：　５２　＝　３　：　４　なので、

３５ｃｍを ３ ： ４ に分けると、１５ｃｍ と ２０ｃｍ です。

これは、それぞれ、たて×２、横×２　の長さなので、

３０秒後の長方形ＡＰＱＲ の

たて＝７．５ｃｍ、横＝１０ｃｍとわかり、

面積は、７．５×１０＝７５ｃ㎡ です。

（２）３０秒で点Ｐは、７．５ｃｍ移動するので、点Ｐの速さは

７．５　÷　３０　＝　０．２５ｃｍ（毎秒）ということです。

（３）長方形ＡＢＣＤ の面積の４/９ になるとき、

ＡＰ の長さが何ｃｍ かを求めればよいわけです。

点ＱがＡＣ上にあるとき、ＡＰ＝□ｃｍ　とすると、

ＡＲ＝□×４/３ なので、

　　　　　□×□×４/３＝５２×３９×４/９ 　と表すことができ、

　　　　  □×□＝５２×１３＝１３×４×１３

　　　　　　　　　 ＝１３×１３×２×２　　より、

□＝２６ｃｍ とわかります。

次に、点ＱがＣＤ上にあるとき、ＡＰ＝□ｃｍとすると、

　 　　　□×５２＝３９×５２×４/９　と表すことができ、

　　　　 □＝３９×４/９＝５２/３ｃｍ　とわかります。

よって、点Ｐが ２６ｃｍ 進んだとき

　　　　  点Ｐが ３９＋（３９－５２/３）＝１８２/３ ｃｍ 進んだときの２回が、

長方形ＡＰＱＲの面積が長方形ＡＢＣＤの面積の４/９になるときで、

　 ２６÷０．２５＝１０４秒後

　 １８２/３　÷　０．２５　＝　１８２/３　÷　１/４　＝　７２８/３

　　　　　　　　　　　　　　  ＝　２４２ と ２/３ 秒後

と求められます。

（４）点ＱがＣからＤへ移動するときは、面積は減少するのみなので、

求めるのは、点ＱがＡからＣへ移動しているときです。

３０秒間に点Ｐが移動する長さは、０．２５×３０＝７．５ｃｍです。

３０秒間に点Ｒが移動する長さは、点Ｐの４/３倍で、１０ｃｍです。

移動後の点をそれぞれ点Ｐ’，Ｑ’，Ｒ’とすると、下の図１のように

増えた面積は、青い部分と黄色い部分の合計で、

　　　黄色い部分の面積　＝　７．５×１０　＝　７５ｃ㎡

なので、

　　　青い部分の面積　＝　４３５　－　７５　＝　３６０ｃ㎡

とわかります。

さらに、下の図２のように、図１を２．５ｃｍずつ、【１】ずつの部分に分けると、

２．５ｃｍ　×　【１】　が １２＋１２＝２４個 できます。

この１つの面積は、３６０÷２４＝１５ｃ㎡ と求められるので、

　　　【１】＝１５÷２．５＝６ｃｍ

とわかり、【３】＝６×３＝１８ｃｍです。

よって、ＡＰ＝１８ｃｍ となるときから ３０秒で４３５ｃ㎡の面積が増えることがわかり、

点Ｐが点Ａを出発してから

　　　１８÷０．２５＝７２秒後

から３０秒間と求められます。

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