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2014年12月27日 (土)

点の移動による面積変化は?(フェリス女学院中学 2013年)

Pic_3582q

上の図のような長方形ABCD があります。

点P は点A を出発し一定の速さで辺AB上をA → B → A の順に動きます。

点Qは、点A を出発し辺AD と直線PQ が平行であるように A → C → Dの順に動きます。

また、点R は四角形APQR が長方形となるような点です。

点P が点A を出発してから 30秒後の長方形APQR の周の長さが 35cm のとき、

次の問に答えなさい。

(1)点Pが点Aを出発して30秒後の長方形APQRの面積を求めなさい。 

(2)点P の速さは毎秒何cmですか。

(3)長方形APQR の面積が長方形ABCD の面積の 4/9倍になるのは、点Pが点A を出発して何秒後と何秒後ですか。

(4)点Pが点A を出発して点Bに着くまでの途中のある30秒間で長方形APQR の面積は 435c㎡ だけ増加します。

それは点Pが点A を出発してから何秒後からの30秒間ですか。

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(1)AP : AR = 39 : 52 = 3 : 4 なので、

35cmを 3 : 4 に分けると、15cm と 20cm です。

これは、それぞれ、たて×2、横×2 の長さなので、

30秒後の長方形APQR の

たて=7.5cm、横=10cmとわかり、

面積は、7.5×10=75c㎡ です。

 

(2)30秒で点Pは、7.5cm移動するので、点Pの速さは

7.5 ÷ 30 = 0.25cm(毎秒)ということです。

 

(3)長方形ABCD の面積の4/9 になるとき、

AP の長さが何cm かを求めればよいわけです。

点QがAC上にあるとき、AP=□cm とすると、

AR=□×4/3 なので、

     □×□×4/3=52×39×4/9  と表すことができ、

      □×□=52×13=13×4×13

          =13×13×2×2  より、

□=26cm とわかります。

 

次に、点QがCD上にあるとき、AP=□cmとすると、

     □×52=39×52×4/9 と表すことができ、

     □=39×4/9=52/3cm とわかります。

よって、点Pが 26cm 進んだとき

      点Pが 39+(39-52/3)=182/3 cm 進んだときの2回が、

長方形APQRの面積が長方形ABCDの面積の4/9になるときで、

  26÷0.25=104秒後

  182/3 ÷ 0.25 = 182/3 ÷ 1/4 = 728/3

                = 242 と 2/3 秒後

と求められます。

 

(4)点QがCからDへ移動するときは、面積は減少するのみなので、

求めるのは、点QがAからCへ移動しているときです。

30秒間に点Pが移動する長さは、0.25×30=7.5cmです。

30秒間に点Rが移動する長さは、点Pの4/3倍で、10cmです。

移動後の点をそれぞれ点P’,Q’,R’とすると、下の図1のように

Pic_3583a

増えた面積は、青い部分と黄色い部分の合計で、

   黄色い部分の面積 = 7.5×10 = 75c㎡

なので、

   青い部分の面積 = 435 - 75 = 360c㎡

とわかります。

さらに、下の図2のように、図1を2.5cmずつ、【1】ずつの部分に分けると、

Pic_3584a

2.5cm × 【1】 が 12+12=24個 できます。

この1つの面積は、360÷24=15c㎡ と求められるので、

   【1】=15÷2.5=6cm

とわかり、【3】=6×3=18cmです。

よって、AP=18cm となるときから 30秒で435c㎡の面積が増えることがわかり、

点Pが点Aを出発してから

   18÷0.25=72秒後

から30秒間と求められます。

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