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2014年12月 2日 (火)

出会った時間は?(高槻中学 2012年)

兄弟が2つの地点AとBの間を散歩します。

兄はA地点から出発し、B地点で折り返してA地点に戻ってきます。

弟はB地点から出発し、A地点で折り返してB地点に戻ってきます。

2人はそれぞれの地点から同時に出発し、出発してから44分後に初めて出会いました。

折り返した後、再び出会い、そのあと同時に元の地点に戻りました。

兄は行きも帰りも同じ速さでしたが、弟の帰りの速さは行きの速さの 2/3 でした。

このとき次の問に答えなさい。

(1)兄と弟の行きの速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)2人が元の地点に戻ったのは出発してから何時間何分後ですか。

(3)2人が2回目に出会うのは出発してから何時間何分後ですか。

9221

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(1)弟の行きの速さを【3】とすると、弟の帰りの速さは【2】です。

弟が行きと帰りにかかった時間は、速さの逆比になるので、

行きが<2>、帰りが<3>で、合計<5>という時間になります。

兄と弟は同時に元の地点に戻るので、兄が行きと帰りにかかった時間は、

共に<2.5>です。

よって、兄は行きに<2.5>、弟は行きに<2>の時間がかかっているので、

二人の速さの比は、時間の逆比で、

 兄の行きの速さ : 弟の行きの速さ = 2 : 2.5

= 4 : 5

と求められます。

(2)(1)より、2人が出会う 44分の間に兄と弟は、

[ 4 ]、[ 5 ] というキョリをそれぞれ移動します。

A地点とB地点の間のキョリは、[ 4 ]+[ 5 ]=[ 9 ] で、

兄が44分間に[ 4 ]のキョリを移動しているので、

残りの[ 5 ] のキョリを移動するのにかかる時間は 55分です。

行きに 44+55=99分 かかるので、帰りも 99分かかり、

元の地点に戻ったのは、99×2=198分後=3時間18分後

とわかります。

(3)弟の帰りの速さは、行きの 2/3 なので、兄と弟の帰りの速さの比は、

  4 : 5×2/3 = 12 : 10 = 6 : 5

です。

2人が2回目に出会ってから、元の地点に戻るまでの様子は下の図1のようになり、

    Pic_4093a

2人が出会った地点は、Aから見て全体の6/11のところです。

兄は、BからAへ99分かかるので、

2回目に出会った地点からA地点までにかかる時間は、

99×6/11=54分 なので、

2人が2回目に出会うのは、

 198-54=144分後=2時間24分後

と求められます。

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