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2014年12月24日 (水)

平行四辺形が回転すると・・・(高槻中学 2012年) 

直線Lと直線Mは垂直に交わっています。

また、下の図のように 平行四辺形ABCD があります。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3207q

(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させてできる立体Pの体積を求めなさい。

(2)平行四辺形ABCDを直線Lのまわりに1回転させてできる立体Qと立体Pの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

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(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させると、

下の図1の三角形OABが回転してできる円すいと

三角形BCDが回転してできる円すいは、合同なので、

 Pic_3208a_2

求める体積は、長方形OADBを直線Mのまわりに1回転させてできる

円柱の体積と等しくなり、立体Pの体積は、

  4×4×3.14×3=48×3.14=150.72(c㎥)

となります。

 

(2)平行四辺形ABCDを直線Lの周りに1回転させたときにできる立体の体積は、

辺CDをのばして直線Lとの交点をE としたとき、

下の図2のように三角形OCE を直線Lの周りに1回転させた円すいから、

三角形ADE,OBAを直線Lの周りに1回転させた円すいを除いたもので、

Pic_3209a

立体Qの体積は、

  6×6×3.14×8÷3-3×3×3.14×4÷3×2個

=(6×6×8-3×3×4×2)×3.14÷3

=(36-9)×8×3.14÷3

=72×3.14   となります。

立体Pの体積=48×3.14

立体Qの体積=72×3.14   なので、

立体Pの体積 : 立体Qの体積 = 48 : 72 

                                           = 2 : 3    となります。

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