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2014年12月15日 (月)

数の並べ方は?(学習院中等科 2010年) 

4けたの整数のある位の数を1つ消し、

その位をつめて3けたの整数を作ったところ、101になりました。

このとき次の問に答えなさい。

 

(1)この数になる4けたの整数のうち、最も小さいものはいくつですか。

(2)この数になる4けたの整数は全部で何個ありますか。

(3)この数になる4けたの整数を全部足すといくつですか。

Ilm11_ad01020s

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(1)3けたの整数「101」から元の4けたの整数を復元すると

          Pic_1387a

上のように、A,B,C,Dの4ヶ所に数を入れて4けたの整数に戻すことができます。

このとき、4けたの整数が最も小さくなるのは、数字の「0」を入れるときで、

B,Cに「0」を入れたときの1001が最小です。

 

(2)Aに入る数は、1~9の9通り、

Bに入る数は、0~9の10通り、

Cに入る数は、0~9の10通り、

Dに入る数は、0~9の10通り、合計39通り が考えられますが、

(1)のように、Bに0を入れたときも、Cに0を入れたときも1001

を作ることができます。同じ数になるので、これは1通りとなります。

このような場合が他にどれくらいあるか考えると、

 ①B=0のときも、C=0のときも、1001 (B,Cの間の0のとき)

 ②A=1のときも、B=1のときも、1101 (A,Bの間の1のとき)

 ③C=1のときも、D=1のときも、1011 (C,Dの間の1のとき)

以上の3通りがあるので、101になる4けたの整数は、

39-3=36個 あることがわかります。

 

(3)Aに入るのは、1~9で、それぞれの和は、

1101+2101+3101+・・・+9101の9個の和で、

=101×9+(1+2+3+・・・+9)×1000

=909+45000=45909 

 

Bに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

1001+1101+1201+・・・+1901 の10個の和で、

=1001×10+(1+2+3+・・・+9)×100

=10010+4500=14510

 

Cに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

 1001+1011+1021+・・・+1091 の10個の和で、

=1001×10+(1+2+3+・・・+9)×10

=10010+450=10460

 

Dに入るのは、0~9で、それぞれの和は、

 1010+1011+1012+・・・+1019 の10個の和で、

=1010×10+(1+2+3+・・・+9)

=10100+45=10145

 

39通りの和は、

 45909+14510+10460+10145=81024 です。

ここから、(2)の1001、1011、1101の3個をのぞいた

 81024-(1001+1011+1101)=77911 が答えです

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