数の並べ方は？（学習院中等科 2010年）

４けたの整数のある位の数を１つ消し、

その位をつめて３けたの整数を作ったところ、１０１になりました。

このとき次の問に答えなさい。

（１）この数になる４けたの整数のうち、最も小さいものはいくつですか。

（２）この数になる４けたの整数は全部で何個ありますか。

（３）この数になる４けたの整数を全部足すといくつですか。

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（１）３けたの整数「１０１」から元の４けたの整数を復元すると

　　　　　　　　　　

上のように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４ヶ所に数を入れて４けたの整数に戻すことができます。

このとき、４けたの整数が最も小さくなるのは、数字の「０」を入れるときで、

Ｂ，Ｃに「０」を入れたときの１００１が最小です。

（２）Ａに入る数は、１～９の９通り、

Ｂに入る数は、０～９の１０通り、

Ｃに入る数は、０～９の１０通り、

Ｄに入る数は、０～９の１０通り、合計３９通り が考えられますが、

（１）のように、Ｂに０を入れたときも、Ｃに０を入れたときも「１００１」

を作ることができます。同じ数になるので、これは１通りとなります。

このような場合が他にどれくらいあるか考えると、

　①Ｂ＝０のときも、Ｃ＝０のときも、１００１　（Ｂ，Ｃの間の０のとき）

　②Ａ＝１のときも、Ｂ＝１のときも、１１０１　（Ａ，Ｂの間の１のとき）

　③Ｃ＝１のときも、Ｄ＝１のときも、１０１１　（Ｃ，Ｄの間の１のとき）

以上の３通りがあるので、１０１になる４けたの整数は、

３９－３＝３６個 あることがわかります。

（３）Ａに入るのは、１～９で、それぞれの和は、

１１０１＋２１０１＋３１０１＋・・・＋９１０１の９個の和で、

＝１０１×９＋（１＋２＋３＋・・・＋９）×１０００

＝９０９＋４５０００＝４５９０９　

Ｂに入るのは、０～９で、それぞれの和は、

１００１＋１１０１＋１２０１＋・・・＋１９０１ の１０個の和で、

＝１００１×１０＋（１＋２＋３＋・・・＋９）×１００

＝１００１０＋４５００＝１４５１０

Ｃに入るのは、０～９で、それぞれの和は、

　１００１＋１０１１＋１０２１＋・・・＋１０９１ の１０個の和で、

＝１００１×１０＋（１＋２＋３＋・・・＋９）×１０

＝１００１０＋４５０＝１０４６０

Ｄに入るのは、０～９で、それぞれの和は、

　１０１０＋１０１１＋１０１２＋・・・＋１０１９ の１０個の和で、

＝１０１０×１０＋（１＋２＋３＋・・・＋９）

＝１０１００＋４５＝１０１４５

３９通りの和は、

　４５９０９＋１４５１０＋１０４６０＋１０１４５＝８１０２４ です。

ここから、（２）の１００１、１０１１、１１０１の３個をのぞいた、

　８１０２４－（１００１＋１０１１＋１１０１）＝７７９１１ が答えです

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